模糊互补判断矩阵排序的一种算法

第16卷第4期系　统　工　程　学　报Vol.16No.4

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2001年8月JOURNALOFSYSTEMSENGINEERINGAug.,2001

短　文

模糊互补判断矩阵排序的一种算法

徐泽水

(东南大学经济管理学院,南京210096)

①

摘要:对模糊一致性判断矩阵转换公式的参数进行了对比分析,给出了模糊互补判断矩阵排序的一个通用公

式,并且把它推广到群体决策的情形.该公式不仅充分包含了模糊一致性判断矩阵的优良特性及其判断信息,而且所需计算量小、简洁、合理、有效,在实际应用中将给人们带来很大的方便..关键词:模糊一致性判断矩阵;排序;算法

中图分类号:C934,O223　　　文献标识码:A:(2001)2Algorithmforjudgementmatrix

XUZe-shui

(CoicsandManagement,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China)Abstract:Thispapergivesananalysisfortheparametersinthetransformationformulasofthefuzzyconsistentjudgementmatrixandpresentsaformulaforpriorityoffuzzycomplementaryjudgementmatrix,andextendsittogroupdecisionmaking.Thepriorityformulanotonlycontainsthedesiredpropertiesofthefuzzyconsistentcomplementaryjudgementmatrixandmostjudgementinformation,butalsoneedslesstimeincalculationandissimple,reasonableandeffective.Itcanbringpeoplegreatconvenienceinpracticalapplications.Finally,anumericalexampleisalsogiven.

Keywords:fuzzyconsistentjudgementmatrix;priority;algorithm

0　引　言

层次分析法(AHP)作为一种实用有效的决策方法,在社会、经济、管理、军事等众多领域已得到了广泛的应用.其关键是需要以一定的标度把人的主观感觉数量化并构造判断矩阵,再运用适当的排序方法求出排序向量.出现最早的标度和排序方法分别是1～9标度(用于构造互反判断矩阵)和特征根排序法[1](即(1 9,9)EM法,后来

又出现了(0,2)EM法[2]和(-2,2)EM法[3]等).

但随着AHP理论的发展和实际应用的需要,人们把模糊思想和方法引入到层次分析之中,这正好符合人类思维和客观事物本身所具有的模糊特性.文[4]采用0.1～0.9五标度(见表1)构造模糊互补判断矩阵(或称为互补判断矩阵),通过转换公式把模糊互补判断矩阵变成模糊一致性判断矩阵,并利用行和归一化方法求出排序向量.文[5]研究了2类标度(用于构造互反判断矩阵的标

①收稿日期:2000201204;修订日期:2000208228.

基金项目:国家自然科学基金资助项目(79970093).

—312—系　统　工　程　学　报　　　　　　　　　　第16卷　第4期

度和用于构造模糊互补判断矩阵的标度)之间的转换关系.文[6]利用0～1三标度(见表1)和转换公式(同文[4])构造模糊一致性判断矩阵.文[7]给出了0.1～0.9九标度(见表1)及另一种转换公式.文[8]提出了广义模糊一致性矩阵及其排序方法.本文对文[4,7]中2种转换公式的参数详细地进行了对比分析,并提出了一个求解模糊互补判断矩阵排序向量的通用公式.最后进行了算例分析.

aji=1,则称矩阵A是模糊互补矩阵.

定义3　设有模糊互补矩阵A=(aij)n×n,若对任意k,有aij=aik-ajk+0.5,则称矩阵A是模糊一致性矩阵.

(l)

)n×n,(l定义4　设模糊互补矩阵Al=(aij

s

s

lij

=1,2,…,s),令aij=

∑Κa

l=1

(l)

,Κl>0,

∑Κ=

l

l=1

1,

则称矩阵A=(aij)n×n为Al(l=1,2,…,s)的合成矩阵,记为A=Κ.1A1 Κ2A2 … ΚsAs

显然,模糊一致性矩阵的合成矩阵仍为模糊一致性矩阵.模糊一致性矩阵的合成运算具有明确的实际意义,[4,6,7]所给的3种标度.

含　　义

表示乙元素极端重要于甲元素

表示乙元素强烈重要于甲元素表示乙元素明显重要于甲元素表示乙元素稍微重要于甲元素表示甲元素与乙元素同样重要表示甲元素稍微重要于乙元素表示甲元素明显重要于乙元素表示甲元素强烈重要于乙元素1　主要结果

先给出有关定义:

定义1　设矩阵A=(aij)n×n,若有0≤aij≤1,则称矩阵A是模糊矩阵.

定义2　设模糊矩阵A=(ij)naij+

0～0

0.3

0.51

0.50.70.9

.90.1

0.1～0.9九标度

0.10.1380.3250.4390.50.5610.6750.8620.9

　　0.2,0.4,0.6,0.8可以取为0.1～0.9五标度相邻的判断中值.

　　可以看出上述3种标度构成的判断矩阵A=(aij)n×n具有下述性质

　　　aij+aji=1　　　aii=0.5

因此判断矩阵A是模糊互补矩阵.

定理1　如果对模糊互补矩阵A=(aij)n×n

按行求和,记为

n

(1)(2)

　　ri=

∑a

k=1

ik

,i=1,2,…,n(3)

并施之如下数学变换

　　rij=

+0.5a

(4)

则矩阵R=(rij)n×n是模糊一致的.文[7]中取a=2(n-1).而文[4,6]中取a为2n.

取a=2n是不合理的.因为若这样,则rij的取值范围将明显缩小.例如:对于2阶矩阵,若采用0～1标度,则rij的取值范围将是0.25≤rij≤0.75(正常范围是0≤rij≤1);若采用0.1～0.9标度,则rij的取值范围将是0.3≤rij≤0.7(正常范围是0.1≤rij≤0.9).对于3阶矩阵,若采用0～1标度,则rij的取值范围将是0.167≤rij≤0.833(正常范围是0≤rij≤1);若采用0.1～0.9标度,则rij的取值范围将是0.233≤rij≤0.767(正常范围是0.1≤rij≤0.9)等等.如此得到的模糊一致性判断矩阵与原判断矩阵的贴近度较差,而且不能充分利用原矩阵的判断信息.

取a=2(n-1)的理由如下:

若采用0～1标度,则判断元素rij的取值范围应为0≤rij≤1,结合式(1)可得

(5)　　　　a≥2(n-1)

2001年8月　　　　　　　　　　　徐泽水:模糊互补判断矩阵排序一种算法—313—

n

ij

若采用0.1～0.9标度,式(2)同样成立.当a取值越大,则由公式(4)得到的rij的取值范围越小,从而所构造出的模糊一致性判断矩阵与原判断矩阵的贴近度越差(即由原矩阵中提取越少的判断信息量);反之,则贴近度越好.故当

a取最小值(a=2(n-1))时,由公式(4)所构造

n

　　==2

+222n

+0.5∑(n)　　=2

∑r

∑r

ij

n

∑n-1

2

+n

n

出的模糊一致性判断矩阵能最大限度地利用原判

断矩阵中的判断信息,且这2种判断矩阵中对应元素之间的偏差也相应地减少到最低程度(显然,这种偏差是由模糊一致性判断矩阵对原判断矩阵的一致性修正所造成的).再者,对不同阶数的判断矩阵,a的取值将随着判断矩阵阶数n的变化而变化,故更能同实际情况相适应.

文[6]已论证了由转换公式(4)得到的模糊一致性矩阵符合人类决策思维的一致性,并且具有很好的鲁棒性(即从R)传递性.

对于原模补判断矩阵A=(aij)n×n,运用转换公式(4)得到模糊一致性判断矩阵R=(rij)n×n之后,可以把矩阵R的行和归一化求其排序向量.

利用上述思想,提出了一个求解模糊互补判断矩阵排序向量的通用公式.

定理2　设模糊互补判断矩阵A=(aij)n×n,对矩阵A按行求和

n

2

=

-12　　(=,

nn-1)n(n-1)　　　　i=1,2,…,n

ri+

n

-1

∑

aij+

故定理成立.

由公式),(aij)n×n,kikaa≤jk),则wi≥wj(wij);wi=wj.根据定理2可知,本文所提出的模糊互补判断矩阵排序方法具有以下特点:可以直接由原模糊互补判断矩阵利用排序公式(7)求出较为理想的排序向量;该法不仅充分利用了模糊一致性判断矩阵的优良特性及其判断信息,而且所需计算量远远小于其它相关方法(如文[4,6]等);并省略了许多不必要的中间环节,简洁、合理、有效.在实际应用中将给人们带来很大的方便.

在现代社会中,大型决策一般需要诸多专家参与.在这种情况下,可以把上述结论推广到群决策中.设有s个专家给出模糊互补判断矩阵Al=(l)(aij)n×n(l=1,2,…,s).对矩阵Al(l=1,2,…,s)按行求和

n

ri=

∑a

k=1

ik

,　i=1,2,…,n

并施之如下数学变换

(6)+0.5

2(n-1)

得到模糊一致性矩阵R=(rij)n×n,由矩阵R采用

　　rij=

ri=

(l)

∑a

k=1

(l)ik

,i=1,2,…,n;l=1,2,…,s

(l)

行和归一化求得的排序向量w=(w1,w2,…,

T

wn)满足

n

并施之如下数学变换

rij=+0.5,l=1,2,…,s(8)

2(n-1)

()

得到模糊一致性矩阵Rl=(rijl)n×n(l=1,2,…,

(l)

(l)

-12

wi=,　i=1,2,…,n(7)

n(n-1)

(6),有证明　根据题意及由式(1)2(3)、

ij

n

n

ij

∑a

+

s),并构造合成的模糊一致性矩阵R=(rij)n×n,其

s

s

lij

中　rij=

∑Κr

l=1

(l)

,　Κl>0,

∑Κ=

l

l=1

1

∑r

w

i

=

∑r

=

ij

ij

nn

∑∑r

i=1j=1

1≤i

∑

(rij+rji)+0.5n

则类似定理2和定理3,可得

定理4　由合成的模糊一致性矩阵R采用行和归一化求得的排序向量Ξ=(Ξ1,Ξ2,…,Ξn)T满足

=

—314—

s

n

lij

系　统　工　程　学　报　　　　　　　　　　第16卷　第4期

Ξi=

∑∑Κa

(l)

+1)

2

-1

,　i=1,2,…,n(9)

=(0.255,0.280,0.225,0.240)T

由转换公式(6)分别得到模糊一致性矩阵

w

(3)

n(n-

定理5　设模糊互补判断矩阵Al=(l)(l)(aij)n×n,(l=1,2,…,s)若对任意k,l有aik≥

(l)(l)(l)

ajk(aik≤ajk),则Ξi≥Ξj(Ξi≤Ξj);且当前者所

0.5

R1=

0.4170.50.083

0.8330.9170.5

0.0.6670.250

,

0.5830.1670.4170.5

有的等式成立时有Ξi=Ξj.

0.3330.7500.50.4500.5830.0.50.367

0.6330.5

0.5830.450

,

2　算例分析

设对某一决策问题,专家分别利用0

～1三标度,0.1～0.9五标度和0.1～0.9九标度给出下列3个模糊互补判断矩阵

0.501110.510.5

A1=,

000.5000.51.0.0.50.5

A2=,

0.30.50.40.30.50.60.0.50.3250.5610.A

3

R2=

0.5500.417

0.46730.4170.5500.5

0.50.4520.5600.R3=

0.5480.4400.471

0.50.3920.60850.577.4700.5

本文对模糊一致性判断矩阵转换公式的参数

进行了对比分析,并给出了一个求解模糊判断矩阵排序向量的通用公式,丰富和发展了模糊决策理论.本文所提出的排序方法具有下述特点:

(1)运用公式(7)(或(9))可以直接由原模糊互补判断矩阵求出较为理想的排序向量.

(2)充分利用了模糊一致性判断矩阵的优良特性及其判断信息.

(3)省略了许多不必要的中间环节,减少了计算量,简洁、合理、有效.

=

0.6750.439

0.50.325

0.6750.5

0.50.439

0.3250.50.5610.5

由排序公式(7)求得的排序向量分别为

ww

(1)(2)

=(0.292,0.333,0.125,0.250)T=(0.258,0.283,0.217,0.242)

T

参考文献:

[1]　王莲芬,许树柏.层次分析法引论[M].北京:中国人民大学出版社,1990.9218[2]　左　军.层次分析中判断矩阵的间接给出法[J].系统工程,1988,9(6):56263[3]　徐泽水.层次分析新标度法[J].系统工程理论与实践,1998,18(10):74277

[4]　杜　栋.AHP判断矩阵一致性问题的数学变换解决方法[A].决策科学及其应用[C].北京:海洋出版社,1996.992

104

[5]　徐泽水.AHP中两类标度的关系研究[J].系统工程理论与实践,1999,19(7):982101[6]　姚　敏,黄燕君.模糊决策方法研究[J].系统工程理论与实践,1999,19(11):61264[7]　林钧昌,徐泽水.模糊AHP中一种新的标度法[J].运筹与管理,1998,7(2):37240

[8]　徐泽水.广义模糊一致性矩阵及其排序方法[J].解放军理工大学学报,2000,1(6):97299[9]　徐泽水.综合判断矩阵的一致性及特征值问题研究[J].系统工程学报,2000,15(3):2582261

作者简介:

徐泽水(19682),男,安徽南陵人,讲师.现在东南大学经济管理学院攻读博士学位.研究方向:系统工程,决策分析,运筹学等.已在国内外重要学术期刊发表学术论文近80篇.