2.1 直线与方程典型习题
§2.1 直线与方程典型习题
一、选择题
1.若直线过点(1,2),(4,2+3) ,则此直线的倾斜角是 A .30° C .60°
B .45° D .90°
( )
( )
2.如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行,则系数a 为 A .-3 3
C .-
2
B .-6 2D. 3
1
3.若经过点(3,a ) 、(-2,0) 的直线与经过点(3,-4) 且斜率为则a 的值为 ( )
25A. 2
2
B. C .10 5
D .-10
( )
4.过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是 A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0
5.实数x ,y 满足方程x +y -4=0,则x 2+y 2的最小值为 A .4 C .8
B .6 D .12
( )
6.点M (1,2)与直线l :2x -4y +3=0的位置关系是 A .M ∈l C .重合
B .M ∉l D .不确定
( )
7.直线mx +ny -1=0同时过第一、三、四象限的条件是 A .mn >0
B .mn
( )
C .m >0,n
8.若点A (-2,-3) ,B (-3,-2) ,直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交,则l 的斜率k 的取值范围是
( )
3443
A .k k ≥ B .k ≤-或k ≥-
43343443
C. ≤k D .-≤k ≤- 4334
9.已知直线l 1:ax +4y -2=0与直线l 2:2x -5y +b =0互相垂直,垂足为(1,c ) ,则a +b +c 的值为
( )
A .-4 C .0
B .20 D .24
( )
10.过点P (0,1)且和A (3,3),B (5,-1) 距离相等的直线的方程是 A .y =1 B .2x +y -1=0
C .y =1或2x +y -1=0 D .2x +y -1=0或2x +y +1=0
11.直线mx +ny +3=0在y 轴上的截距为-3,而且它的倾斜角是直线3x -y =3倾斜角的2倍,则
( )
A .m 3,n =1 B .m =-3,n =-3 C .m =3,n =-3 D .m 3,n =1
7
0,与B (7,0)的直线l 1与过点(2,1),(3,k +1) 的直线l 2和两坐标轴围成的四边12.过点A ⎛⎝3形内接于一个圆,则实数k 等于 A .-3 C .-6 二、填空题
13.若O (0,0),A (4,-1) 两点到直线ax +a 2y +6=0的距离相等,则实数a =________. 14.甲船在某港口的东50 km,北30 km处,乙船在同一港口的东14 km,南18 km处,那么甲、乙两船的距离是________.
15.已知直线l 与直线y =1,x -y -7=0分别相交于P 、Q 两点,线段PQ 的中点坐标为(1,-1) ,那么直线l 的斜率为________.
y
16.已知实数x ,y 满足y =-2x +8,当2≤x ≤3时,则的最大值为________.
x 三、解答题
17.已知点M 是直线l 3x -y +3=0与x 轴的交点,将直线l 绕点M 旋转30°,求所得到的直线l ′的方程.
18.求直线l 1:2x +y -4=0关于直线l :3x +4y -1=0对称的直线l 2的方程.
B .3 D .6
( )
19.在△ABC 中,已知A (5,-2) 、B (7,3),且AC 边的中点M 在y 轴上,BC 边的中点N 在x 轴上,求: (1)顶点C 的坐标; (2)直线MN 的方程.
20.如图,已知△ABC 中A (-8,2) ,AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x +2y -5=0,AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x -5y +8=0,求直线BC 的方程.
21.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入,遇直线l :3x -2y +7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
22.某房地产公司要在荒地ABCDE (如图) 上划出一块长方形地面(不改变方位) 建一幢公寓,问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积(精确到1 m2) .
参考答案: 一、选择题
1.答案 A
23-23
解析 利用斜率公式k =tan θ,可求倾斜角为30°.
34-12.答案 B
a 22
解析 ,可求得a =-6.
3-1-23.答案 D
a -0
解析 ∵2,∴a =-10.
3-(-2)4.答案 A
解析 ∵所求直线与直线x -2y -2=0平行, 1
∴所求直线斜率k C 、D.
2又直线过点(1,0),排除B ,故选A. 5.答案 C
解析 令t =x 2+y 2,则t 表示直线上的点到原点距离的平方,所以t min =8. 6.答案 B
解析 ∵2×1-4×2+3≠0, ∴M ∉l . 7.答案 C
解析 由题意知,直线与x 轴不垂直,
m 1m 1
故n ≠0. 直线方程化为y =-+,则-,即m >0,n
n n n n
8.
答案 C
4334
解析 (如图) 计算得:k P A =,k PB =≤k ≤34439.答案 A
解析 垂足(1,c ) 是两直线的交点,且l 1⊥l 2, a 2
故-=-1,
45
∴a =10. l :10x +4y -2=0. 将(1,c ) 代入,得c =-2; 将(1,-2) 代入l 2:得b =-12. 则a +b +c =10+(-12) +(-2) =-4. 10.答案 C
解析 ①所求直线平行于AB ,
∵k AB =-2,∴其方程为y =-2x +1,即2x +y -1=0. ②所求直线过线段AB 的中点M (4,1) ∴所求直线方程为y =1. 11.答案 D
3m
解析 3,-=tan 120°=-3,∴m =3,n =1. 故选D.
n n 12.答案 B
1
解析 由题意知l 1⊥l 2,∴kl 1·kl 2=-1. =-1,k =3.
3二、填空题
13.答案 -2或4或6
|4a -a 2+6|62
解析 由题意得6, ,即4a -a +6=±a +a a +a 解之得a =0或-2或4或6. 检验得a =0不合题意, 所以a =-2或4或6. 故填-2或4或6.
14.答案 60 km 解析 以港口为坐标原点建立直角坐标系.则甲船位置为(50,30),乙船的位置为(14,-18) (50-14)+(30+18)=60 (km). 215.答案 3
解析 设P (x, 1) ,则Q (2-x ,-3) ,将Q 坐标代入x -y -7=0得,2-x +3-7=0. 2
∴x =-2,∴P (-2,1) ,∴k l .
316.答案 2
y y -0解析 =(x ,y ) 与原点连线的直线的斜率.
x x -0
点(x ,y ) 满足y =-2x +8,且2≤x ≤3,则点(x ,y ) 在线段AB 上,并且A 、B 两点的坐标分别为A (2,4),B (3,2),如图所示.
2y
则k OA =2,k OB = 所以得2.
3x 三、解答题
17.解 在3x -y +3=0中,令y =0,得x =-3,即M (3,0) . ∵直线l 的斜率k =3,
∴其倾斜角θ=60°. 若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°,则直线l ′的倾斜角为60°+30°
=90°,此时斜率不存在, 故其方程为x 3.
若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°,则直线l ′的倾斜角为60°-30°=30°,此时斜率为tan 30°3, 3
3
x +3) ,即x -3y +3=0. 3
故其方程为y =
综上所述,所求直线方程为x =0或x y =0.
18.解 设直线l 2上的动点P (x ,y ) ,直线l 1上的点Q (x 0, 4-2x 0) ,且P 、Q 两点关于直线l :3x +4y -1=0对称,则有
|3x +4y -1||3x +4(4-2x )-1|
⎧5⎪5⎨y -(4-2x )4⎪x -x 3⎩
00
消去x 0,得2x +11y +16=0或2x +y -4=0(舍) . ∴直线l 2的方程为2x +11y +16=0. 19.解 (1)设C (x 0,y 0) ,则AC 中点M ⎛
5+x 0y 0-2⎝22,
BC 中点N ⎛
7+x 0y 0+3⎫⎝22⎭.
∵M 在y 轴上, ∴
5+x 0
0,x 0=-5. 2
∵N 在x 轴上, ∴
y 0+3
0,y 0=-3,即C (-5,-3) . 2
(2)∵M ⎛⎝
0,-5
2⎫⎭,N (1,0). ∴直线MN x y
1=1. -52
5x -2y -5=0.
即
20.解 设B (x 0,y 0) ,则AB 中点E 的坐标为⎛
x 0-8y 0+2⎝2,2⎭,
2x -5y 0+8=0⎧⎧⎪0⎪2x 0-5y 0+8=0
由条件可得:⎨x 0-8,得⎨, y 0+2
⎪x +2y -14=0⎩+5=000⎪2⎩2
⎧⎪x 0=6
解得⎨,即B (6,4),同理可求得C 点的坐标为(5,0).
⎪y =4⎩0
y -0x -5故所求直线BC 的方程为=4x -y -20=0.
4-06-5
⎧⎪x -2y +5=0,
21.解 方法一 由⎨
⎪3x -2y +7=0,⎩
⎧⎪x =-1,
得⎨ ⎪y =2.
⎩
∴反射点M 的坐标为(-1,2) .
又取直线x -2y +5=0上一点P (-5,0) ,设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0,y 0) , 2y 由PP ′⊥l 可知,k PP ′=-=3x 0+5而PP ′的中点Q 的坐标为⎛
x 0-5y ⎝22,
x 0-5y Q 点在l 上,∴-+7=0. 由
223
x -5)-y 0+7=0. 20
⎧⎨y 2
,
3x 0+5
⎧
得⎨32
y =-⎩13
17x 0=-,
13
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x -2y +33=0. 方法二 设直线x -2y +5=0上任意一点P (x 0,y 0) 关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ) , 则
y 0-y 2
,
3x 0-x
x +x 0y +y 02,2在l 上,
又PP ′的中点Q x +x 0y +y 0
∴3×-2×7=0,
22
y -y 2
=-,⎧⎪x -x 3
由⎨x +x
3×⎪⎩2(y +y )+7=0.
00
可得P 点的坐标为x 0=
-5x +12y -42
,y 0=
13
12x +5y +28
,代入方程x -2y +5=0中,化简得29x -2y +33=0,
13
∴所求反射光线所在的直线方程为29x -2y +33=0.
22.解 在线段AB 上任取一点P ,分别向CD 、DE 作垂线划出一块长方形土地,以BC ,EA 的交点为原点,以BC ,EA 所在的直线为x 轴,y 轴,建立直角坐标系,
2x x y
x ,20-, 则AB 的方程为+=1,设P ⎛3⎝3020
⎛202x ⎤(0≤x ≤30) . 则长方形的面积 S =(100-x ) ⎡80-3⎦⎣⎝
220
化简得S =-x 2+x +6 000(0≤x ≤30) .
3350
当x =5,y =时,S 最大,其最大值为6 017 m2.
3