概率高考题

概率与统计高考题汇编

14．（本小题满分12分）

购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1-0.999（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 15．（本小题满分12分）

甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为

104

．

2221

，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间3332

没有影响．用ξ表示甲队的总得分． （Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；

（Ⅱ）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ) ．

16．（本小题满分12分）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．

17（本小题满分12分）

如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p ；

（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；

（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．

(18)(本小题满分12分)

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3． 各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．

19某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有ABCD 四个问题，规则如下：

①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题ABCD 分别加1分2分3分6分，打错任一题减2分; ②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数不足14分时，答题结束，淘汰出局。 ③每位参加者按问题ABCD 顺序作答，直至答题结束。 假设甲同学对问题ABCD 回答正确的概率依次为Ⅰ求甲同学能进入下一轮的概率

Ⅱ用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望

20 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为

0．3, 设各车主购买保险相互独立

（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率； （Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X 的期望。

21 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。

3111

, , , ，且各题回答正确与否相互之间没有影响， 4234

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和

数学期望。

22 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为时还车的概率分别为

（注：方差s =

2

221⎡

x 1-x +x 2-x +⎢n ⎣

()()

2

+x n -x ⎤，其中x 为x 1，x 2，…… x n 的平均数）

⎥⎦

()

11

, ；两小时以上且不超过三小42

11

, ；两人租车时间都不会超过四小时。 24

（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ

23 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟。如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人，现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p 1, p 2, p 3，假设p 1, p 2, p 3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立。

（Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q 1, q 2, q 3，其中q 1, q 2, q 3是p 1, p 2, p 3的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数学期望）EX ；

（Ⅲ）假定1>p 1>p 2>p 3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小。

24 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、 2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中，

（i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率；

（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X ) .

26 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）. 下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时, 该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数 的分布列极其均值（即数学期望）

27 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102

的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A 配方的频数分布表

指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]

8 20 42 22 8 频数

B 配方的频数分布表

指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]

4 12 42 32 10 频数

（I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；

（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为

⎧-2, t

y =⎨2,94≤t

⎪4, t ≥102⎩

从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．

16 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．

（1）求X 的分布列；

（2）求此员工月工资的期望。

25 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.

18 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频．．．．．率视为概率。

(Ⅰ）求当天商品不进货的概率； ．．．

（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望。

17 某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中： （Ⅰ）恰有2人申请A 片区房源的概率；

（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望

19 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望； （II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产

2分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

1

附：样本数据x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n 的的样本方差s 2

=[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+⋅⋅⋅+(x n -x ) 2]，其中为样本平均

n

数．

20 如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

20~30 30~40 40~50 50~60 时间（分钟） 10~20

L 1的频率 0．1 0．2 0．3 0．2 0．2

0 L 2的频率 0．1 0．4 0．4 0．1

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（Ⅱ）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X 的

分布列和数学期望。

14．解：

各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ， 则ξ~B (104

，p ) ．

（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当ξ=0，P (A ) =1-P (A )

=1-P (ξ=0)

=1-(1-p ) 104

，

又P (A ) =1-0.999104

，

故p =0.001． ························································································································ 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 10000ξ+50000，

盈利 η=10000a -(10000ξ+50000) ，

盈利的期望为 E η=1000a

0-100E ξ0-0

5，0 ·0····················································· 9分

由ξ~B (104

，10-3

) 知，E ξ=10000⨯10-3

，

E η=104a -104E ξ-5⨯104

=104a -104⨯104⨯10-3-5⨯104．

2分

E η≥0⇔104a -104⨯10-5⨯104≥0

⇔a -10-5≥0 ⇔a ≥15（元）．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ········································································· 12分 15解：（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且

12⎛2⎫2⎛2⎫1

，P (ξ=1) =C 3P (ξ=0) =C ⨯ 1-⎪=⨯⨯ 1-⎪=，

3⎝3⎭9⎝3⎭27

3

32

8⎛2⎫⎛2⎫43⎛2⎫． P (ξ=2) =C 32⨯ ⎪⨯ 1-⎪=，P (ξ=3) =C 3⨯ ⎪=

339327⎝⎭⎝⎭⎝⎭

所以ξ的分布列为

23

ξ的数学期望为E ξ=0⨯

1248+1⨯+2⨯+3⨯=2． 279927

解法二：根据题设可知，ξ~B 3⎪，

⎛

⎝2⎫3⎭

⎛2⎫⎛2⎫k

因此ξ的分布列为P (ξ=k ) =C 3⨯ ⎪⨯ 1-⎪

⎝3⎭⎝3⎭

因为ξ~B 3⎪，所以E ξ=3⨯

k 3-k

2k

1，2，3． =C ⨯3，k =0，

3

k 3

⎛⎝2⎫3⎭

2

=2． 3

（Ⅱ）解法一：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB =C D ，且C ，D 互斥，又

⎛2⎫⎛2⎫⎡211121111⎤10

P (C ) =C ⨯ ⎪⨯ 1-⎪⨯⎢⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⎥=4，

⎝3⎭⎝3⎭⎣332332332⎦3

23

2

⎛111⎫43⎛2⎫P (D ) =C 3⨯ ⎪⨯ ⨯⨯⎪=5，

⎝3⎭⎝332⎭3

由互斥事件的概率公式得P (AB ) =P (C ) +P (D ) =

3

1043434+5=5=． 4

333243

1，2，3． 解法二：用A k 表示“甲队得k 分”这一事件，用B k 表示“乙队得k 分”这一事件，k =0，

由于事件A 3B 0，A 2B 1为互斥事件，故有P (AB ) =P (A 3B 0由题设可知，事件A 3与B 0独立，事件A 2与B 1独立，因此

A 2B 1) =P (A 3B 0) +P (A 2B 1) ．

P (AB ) =P (A 3B 0) +P (A 2B 1) =P (A 3) P (B 0) +P (A 2) P (B 1)

22⎛1112⎫34⎛2⎫⎛11⎫21

． = ⎪⨯ 2⨯⎪+C 3⨯2⨯ ⨯2+⨯C 2⨯2⎪=

3⎝2323⎭243⎝3⎭⎝32⎭

16．解：

对于乙：

3

0.2⨯0.4+0.2⨯．

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为E ξ=2⨯0.4+3⨯0.4+4⨯0.2=2.8

17

1819

P(ξ=4)=

[1**********]⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=， [1**********]

所以ξ的分布列为

数学期望E ξ=2⨯

1101110+3⨯+4⨯=。 824324

8．解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买； （I ）P (A ) =0.5, P (B ) =0.3, C =A +B , P (C ) =P (A +B ) =

„„„„6分

„„„„3分

P (A ) + P (B =) 0.

（II ）D =C , P (D ) =1-P (C ) =1-0.8=0.2,

X ~B (100,0.2)，即X 服从二项分布，

所以期望EX =100⨯0.2=20.

„„„„10分 „„„„12分

二．北京17．本小题共13分 （17）（共13分）

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为

x =

8+8+9+1035

=;

44

方差为

[1**********]

s 2=[(8-) 2+(8-) 2+(9-) 2+(10-) 2]=.

4444416

（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵

数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=同理可得P (Y =18) =

21=. 168

1111; P (Y =19) =; P (Y =20) =; P (Y =21) =. 4448

18

19

20

21

所以随机变量Y 的分布列为：

Y P

17

1 8

14

14

14

1 418

1 41 41 8

EY=17×P （Y=17）+18×P （Y=18）+19×P （Y=19）+20×P （Y=20）+21×P （Y=21）=17×+18×+20× =19

三．四川18、； 解析：

1

8

（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为P 1=

111111

⋅=，付2元为P 2=⋅=，付4元为428248

P 3=

111

⋅= 4416

5 16

则所付费用相同的概率为P =P 1+P 2+P 3=

(2)设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8

P (ξ=0) =P (ξP (ξP (ξP (ξ

1

8

11115=2) =⋅+⋅=

442216

1111115=4) =⋅+⋅+⋅=

[1**********]13=6) =⋅+⋅=

442416111=8) =⋅=

4416

分布列

E ξ=+++=

84822

16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等

基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力. 满分13分. （I ）（i ）解：设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i =(i =0,1,2,3), 则

1

C 32C 21

P (A 3) =2⋅2=.

C 5C 35

（ii ）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B =A 2

2111

C 32C 2C 2C 2C 21

P (A 2) =2⋅2+ , ⋅=22

C 5C 3C 5C 32

A 3，又

且A 2，A 3互斥，所以P (B ) =P (A 2) +P (A 3) =

117+=. 2510

（II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.

729) =, 10100

72117 P (X =1) =C 2(1-) =,

101050749

P (X =2) =() 2=.

10100

P (X =0) =(1-

所以X 的分布列是 X P

1

2

921 [1**********]+1⨯+2⨯=. X 的数学期望E (X ) =0⨯100501005

五．安徽（20）（本小题满分13分）

49

100

解：（Ⅰ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1-p 1)(1-p 2)(1-p 3) ，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于

1-(1-p 1)(1-p 2)(1-p 3) =p 1+p 2+p 3-p 1p 2-p 1p 3-p 2p 3+p 1p 2p 3

（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q 1, q 2, q 3时，随机变量X 的分布列为

所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX 是 EX=q 1+(1-q 1) q 2+(1-q 1)(1-q 2) =3-2q 1-q 2+q 1q 2

（Ⅲ）（方法一）由（Ⅱ）的结论知，当甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， EX=3-2q 1-q 2+q 1q 2

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值。 下面证明：对于p 1, p 2, p 3的任意排列q 1, q 2, q 3，都有

3-2q 1-q 2+q 1q 2≥3-2p 1-p 2+p 1p 2

事实上，

（＊）

∆=(3-2q 1-q 2+q 1q 2) -(3-2p 1-p 2+p 1p 2) =2(p 1-q 1) +(p 2-q 2) -p 1p 2+q 1q 2

=2(p 1-q 1) +(p 2-q 2) -(p 1-q 1) p 2-q 1(p 2-q 2) =(2-p 2)(p 1-q 1) +(1-q 1)(p 2-q 2) ≥(1-q 1)[(p 1+p 2) -(q 1+q 2)]≥0

即（＊）成立。

（方法二）（ⅰ）可将（Ⅱ）中所求的EX 改写为3-(q 1+q 2) +q 1q 2-q 1，若交换前两人的派出顺序，则变为3-(q 1+q 2) +q 1q 2-q 2。由此可见，当q 2>q 1时，交换前两人的派出顺序可减少均值。

（ⅱ）也可将（Ⅱ）中所求的EX 改写为3-2q 1-(1-q 1) q 2，若交换后两人的派出顺序，则变为

3-2q 1-(1-q 1) q 1。由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q 2

可减少均值。

综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当(p 1, p 2, p 3) =(q 1, q 2, q 3) 时，EX 达到最小。即完成任务概率大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的。

六．山东18．（本小题满分12分）

18．解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，

乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，

则D , E , F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件。 因为P (D ) =0.6, P (E ) =0.5, P (F ) =0.5, 由对立事件的概率公式知

P (D ) =0.4, P (E ) =0.5, P (F ) =0.5,

红队至少两人获胜的事件有：

DEF , DEF , DEF , DEF .

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为

P =P (DEF ) +P (DEF ) +P (DEF ) +P (DEF )

=0.6⨯0.5⨯0.5+0.6⨯0.5⨯0.5+0.4⨯0.5⨯0.5+0.6⨯0.5⨯0.5 =0.55.

（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3。

又由（I ）知DEF , DEF , DEF 是两两互斥事件， 且各盘比赛的结果相互独立，

因此P (ξ=0) =P (DEF ) =0.4⨯0.5⨯0.5=0.1,

P (ξ=1) =P (DEF ) +P (DEF ) +P (DEF )

=0.4⨯0.5⨯0.5+0.4⨯0.5⨯0.5+0.6⨯0.5⨯0.5=0.35

P (ξ=3) =P (DEF ) =0.6⨯0.5⨯0.5=0.15.

由对立事件的概率公式得

P (ξ=2) =1-P (ξ=0) -P (ξ=1) -P (ξ-3) =0.4,

所以ξ的分布列为：

ξ

P

0 0．1

1 0．35

2 0．4

3 0．15

因此E ξ=0⨯0.1+1⨯0.35+2⨯0.4+3⨯0.15=1.6.

（3）七．广东17. 。

17．解：（1）乙厂生产的产品总数为5÷（2）样品中优等品的频率为

14

=35； 98

22

，乙厂生产的优等品的数量为35⨯=14； 55

i 2-i

C 2C 3

(i =0, 1, 2) ，ξ的分布列为

（3）ξ=0, 1, 2， P (ξ=i ) =

C 52

均值E (ξ) =1⨯

314+2⨯= 5105

八．全国（2）19．（本小题满分12分）

19）解

（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的

B

Ｓ

平率为

22+8

=0.3，所以用A 配方生产的产品的优质品率100

0.3。

A

Ｓ

的估计值为

Ｓ

由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为的优质品率的估计值为0.42

32+10

=0.42，所以用B 配方生产的产品100

（Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94), [94,102), [102,110]的频率分别为0.04，，054，0.42，因此

P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42， 即X 的分布列为

X P

－2 0.04

2 0.54

4 0.42

X 的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68

九．江西。16．（本小题满分12分） 16．（本小题满分12分）

解：（1）X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4

14-i

C 4C 4

P (X =i ) =(i =0,1,2,3,4) 4

C 5

即

（2）令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100，2800，3500

则P

(Y =3500) =P (X =4) =P (Y =2800) =P (X =3) =

170

835

53

P (Y =2100) =P (X ≤2) =

70

11653

EY =3500⨯+2800⨯+2100⨯=2280.

707070

所以新录用员工月工资的期望为2280元. 十．湖南18.

解析：（I ）P （“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）商品销售量1件”）=

153

+=。 202010

+P（“当天

（II ）由题意知，X 的可能取值为2，3.

P (x =2) =P ("当天商品销售量为1件") =

51=； 204

P (x =3) =P ("当天商品销售量为0件")+P ("当天商品销售量为2件")+P ("当天商品销售

故X 的分1953

量为3件") =++=

2020204

布列为

X 的数学期望为EX =2⨯+3⨯=。

444

十二。重庆17．（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分） 17．（本题13分）

解：这是等可能性事件的概率计算问题.

2

（I ）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式C 4⋅22种，从而恰

有2人申请A 片区房源的概率为

2

C 4⋅228

=. 4

273

解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A 片区房源”为事件A ，则P (A ) =

1

. 3

从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为

821222

P 4(2)=C 4() () =.

3327

（II ）ξ的所有可能值为1，2，3. 又

31=, 3427

2132224

C (C C +C C ) 14C (2-2) 14

P (ξ=2) =324442=(或P (ξ=2) =34=)

272733P (ξ=1) =

12123

C 3C 4C 24C 4A 34

P (ξ=3) ==(或P (ξ=3) ==).

44

9933

从而有

E ξ=1⨯

114465+2⨯+3⨯=. 2727927

19．解：

（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且

P (X =0) =

11=, 4

C 870

13C 4C 48

P (X =1) ==, 4

35C 822

C 4C 418

P (X =2) ==, 4

35C 831

C 4C 48

P (X =3) ==, 4

35C 8

P (X =4) =

11=. C 8470

即X 的分布列为

„„„„„„4分 X 的数学期望为

E (X ) =0⨯

181881+1⨯+2⨯+3⨯+4⨯=2. „„„„„„6分 7035353570

（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1

x 甲=(403+397+390+404+388+400+412+406) =400,

8

1

S 甲=(32+(-3) 2+(-10) 2+42+(-12) 2+02+122+62) =57.25.

8

„„„„„„8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1

x 乙=(419+403+412+418+408+423+400+413) =412,

8

12

S 乙=(72+(-9) 2+02+62+(-4) 2+112+(-12) 2+12) =56.

8

„„„„„„10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.

20．解（Ⅰ）A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50

分钟内赶到火车站”，i=1,2．用频率估计相应的概率可得

P （A 1）=0．1+0．2+0．3=0．6，P （A 2）=0．1+0．4=0．5，

P （A 1） ＞P （A 2）,

∴甲应选择L

i

P （B 1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P （B 2）=0．1+0．4+0．4=0．9，

P （B 2） ＞P （B 1）, ∴乙应选择L 2．

（Ⅱ）A,B 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知P (A ) =0.6, P (B ) =0.9, 又由题意知，A,B 独立，

∴P (X =0) =P (AB ) =P (A ) P (B ) =0.4⨯0.1=0.04

P (X =1) =P (AB +AB ) =P (A ) P (B ) +P (A ) P (B )

=0.4⨯0.9+0.6⨯0.1=0.42

P (X =2) =P (AB ) =P (A ) P (B ) =0.6⨯0.9=0.54

∴X 的分布列为

X 0 1

P 0．04 0．42 2 0．54