数列的极限教学设计
第三节 数列的极限
西北师范大学数学与统计学院
汪媛媛
引言:
极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如,我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如,春秋战国时期的哲学家庄子(公元4世纪)在《庄子. 天下篇》一书中对“截丈问题”,有一段名言:“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”,其中也隐含了深刻的极限思想. 极限是研究变量的变化趋势的基本工具,高等数学中许多基本概念,例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义.
分布图示
★ 极限概念的引入 ★ 数列的定义
★ 数列的极限 ★ 数列极限的严格定义
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 收敛数列的有界性
★ 极限的唯一性 ★ 例9
★ 子数列的收敛性 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-3 ★ 返回
教学目的:1.理解极限的概念,了解极限的ε-N , ε-δ定义; 2.会用极限的严格定义证明极限. ; 3.了解极限的性质;
教学重难点:理解掌握数列极限的概念 内容要点
一、数列的定义
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如,我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术,就是极限思想在几何学上的应用。
设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为A 1;再作内接正十二边形,其面积记为A 2;再作内接正二十四边形,其面积记为A 3;循此下去,每次边数加倍,一般地把内接正6⨯2
n -1
边形的面积记为A n (n ∈N )。这样,就得到一系列内接正多边形的面积:
A 1 A 2 A 3 ...... A n .......
它们构成一列有次序的数。当n 越大,内接正多边形与圆的差别就越小,从而以A n 作为圆面积的近似值也越精确。但是无论n 取得如何大,只要n 取定了,A n 终究只是多边形的面积,而还不是圆的面积。因此,设想无限增大(记为n →∞,读作n 趋于无穷大),即内接正多边形的边数无限增加,在这个过程中,内接正多边形无限接近于圆,同时A n 也无限接近于某一确定的数值,这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数(所谓数列)A 1 A 2 A 3 ...... A n ....... 当n →∞时的极限。在圆面积问题中我们看到,正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。
在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法,已成为高等数学中的一种基本方法,因此有必要作进一步的阐明。
先说明数列的概念。如果按照某一法则,有第一个数x 1,第二个数x 2,„这样依次序排列着,使得对应着任何一个正整数n 有一个确定的数x n ,那么,这列有次序的数
x 1 x 2 x 3 ..... x n .....
就叫做数列。
数列中的每一个数叫做数列的项,第n 项x n 叫做数列的一般项。例如:
123n
(1) , ;234n +11111(3) n , ;2482n +(-1)14(5)2 23n
n -1
(2)2,4,8, 2n , ;(4)1,-11,, ,(-1)
n +1
, ;
,
都是数列的例子,它们的一般项依次为
n 1n +(-1)(-1)n +1,2n n ,
n +1n 2
以后,数列
n -1
。
x 1 x 2 x 3 .... x n ......
也简记为数列{x n }。
注:打印错误:L 等为省略号。。。。。
二、数列的极限
如果数列x n ,当n 无限增大时,数列x n 的取值能无限接近常数l ,我们就称l 是x n 当
n →∞时的极限,记作
lim x n =l ,
n →∞
它的解析
1.定义:
如果数列x n 与常数a 有下列关系:对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得对于n >N 时的一切x n ,不等式
x n -a
都成立,则称常数a 是数列x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim x n =a ,
n →∞
或 x n →a 如果数列没有极限,就说数列是发散的。 显然
(n →∞)。
1
=0,n →∞n
n +1lim =1。n →∞n lim
ε-N 论证法,其论证步骤为:
(1)对于任意给定的正数ε, 令 |x n -a |ϕ(ε) ; (3)取 N =[ϕ(ε)],再用ε-N 语言顺述结论.
下面我们将学习数列极限的性质:
三、极限的唯一性
性质1(极限的唯一性) 数列{x n }不能收敛于两个不同的极限。
四、收敛数列的有界性
性质2(收敛数列的有界性) 如果数列{x n }收敛,那么数列{x n }一定有界。
五、子数列的收敛性
性质3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{x n }收敛于a ,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a 。
例题选讲
例1 (E01)下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出其收敛于何值.
⎧1⎫⎧n -1⎫
(1)2n ; (2)⎨⎬; (3)(-1) n +1; (4)⎨⎬.
⎩n ⎭⎩n ⎭
{}{}
解 (1)数列2n 即为
{}
2, 4, 8,..., 2n ,...
易见, 当n 无限增大时, 2n 也无限增大, 故该数列是发散的;
⎧1⎫
(2)数列⎨⎬即为
⎩n ⎭
1111, , ,.., ,... 23n
易见, 当n 无限增大时,
1
无限接近于0, 故该数列是收敛于0; n
(3)数列(-1) n +1即为
{}
1, -1, 1, -1,.., (-1) n +1,....
易见, 当n 无限增大时, (-1) n +1 无休止地反复取1、-1两个数, 而不会接近于任何一个确定的常数, 故该数列是发散的;
⎧n -1⎫
(4)数列⎨⎬即为
⎩n ⎭
123n -10, , , ,..., ,..... 234n
易见, 当n 无限增大时,
n -1
无限接近于1, 故该数列是收敛于1. n
n +(-1) n -1
=1. 例2 (E02) 证明lim
n →∞n
1n +(-1) n -11
证 由|x n -1|=-=,故对任给ε>0, 要使|x n -1|
n n n
即n >
⎡1⎤
. 所以,若取N =⎢⎥, 则当n >N 时,就有 ε⎣ε⎦
1
n +(-1) n -1 -1
n
n +(-1) n -1
=1. 即 lim
n →∞n
例3 设x n ≡C (C 为常数) ,证明lim x n =C .
n →∞
证 因对任给ε>0, 对于一切自然数n , 恒有|x n -C |=|C -C |=0
lim x n =C . 即:常数列的极限等于同一常数.
n →∞
注:用定义证数列极限存在时,关键是:对任意给定的ε>0, 寻找N , 但不必要求最小的N .
例4 证明lim q =0, 其中|q |
n →∞
n
证 任给ε>0, 若q =0, 则lim q =lim 0=0; 若0
n →∞
n →∞
n
必须n ln |q |
⎡ln ε⎤ln ε
, 故对任给ε>0, 若取N =⎢⎥, 则当n >N 时,就有 ln |q |ln |q |⎣⎦
|q n -0|
n →∞
例5 设x n >0, 且lim x n =a >0, 求证lim x n =
n →∞
n →∞
a .
证 任给ε>0, 由 |要使|
x n -a |=
|x n -a |x n +a
|x n -a |
a
,
x n -a |x n -a |
n →∞
lim x n =a , ∴对ε0=a ε>0, ∃N >0, 当n >N 时,|x n -a |
n →∞
从而当n >N 时,恒有|
例6 用数列极限定义证明 lim
5+2n 2
=-.
n →∞1-3n 3
证 由于
175+2n ⎛2⎫1717
9n -31-3n ⎝3⎭3(1-3n ) 9n -3
n >
171⎡171⎤
+. 因此,对任给的ε>0, 取N =⎢+⎥, 则n >N 时, 9ε3⎣9ε3⎦
5+2n ⎛2⎫
- -⎪
1-3n ⎝3⎭
5+2n 2
=-.
n →∞1-3n 3
即 lim
n 2-2
=1. 例7 (E03) 用数列极限定义证明 lim 2
n →∞n +n +1
n 2-23+n n +n 2n 2-2
证 由于2要使2-=23) ,-
n n +n +1n +n +1n n +n +1
只要
22⎡2⎤
, 因此,对任给的ε>0, 取N =⎢⎥, 当n >N 时,有 n ε⎣ε⎦
n 2-2n 2-2
=1. -1
2n →∞n +n +1n +n +1
例8 (E04) 证明:若lim x n =A , 则存在正整数N , 当n >N 时,不等式|x n |>
n →∞
|A |
成2
立.
证 因lim x n =A , 由数列极限的ε-N 定义知,对任给的ε>0, 存在N >0, 当
n →∞
n >N 时,恒有|x n -A |N 时,恒有
|A |
, 则当n >N 时,||x n |-|A ||≤ε, 从而有|A |-ε
|A |
恒有 |x n |>. 证毕.
2
例9 (E05) 证明数列x n =(-1) n +1是发散的 证 设lim x n =a , 由定义,对于ε=
n →∞
11
, ∃N >0, 使得当n >N 时,恒有|x n -a |
即当n >N 时,x n ∈ a -
⎛
⎝11⎫
, a +⎪, 区间长度为1. 而x n 无休止地反复取1,-1两个数,22⎭
不可能同时位于长度为1地区间. 因此改数列是发散的. 证毕.
注:此例同时也表明:有界数列不一定收敛.
课堂练习
1.设p >0, 证明数列 x n =
1
的极限是0. n p