031D.平行四边形
一、选择题
1. （2012内蒙古包头6,3分）如图，过□ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与 GH，
那么图中的□AEMG的面积S1与□HCFM的面积S2的大小关系是（ ）
A.s1>S2 B.S1
【答案】C
2. （2012黑龙江绥化，20，3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC=2:3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则SDEF：SEBF：SABF=（ ）
A
第20题图
C
A. 2:5:25 B. 4:9:25 C. 2:3:5 D. 4:10:25 【答案】D
3. （2012广西南宁，6，3分）如图2，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是
A
B
图
2
C
B．2cm＜OA＜8cm D．3cm＜OA＜8cm
D
A．3cm＜OA＜5cm C．1cm＜OA＜4cm 【答案】C
4. (2012辽宁阜新，8，3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G，若使EF=
14
AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（ ）
A．∠ABC=60° B.AB:BC=1:4 C.AB:BC=5:2 D.AB:BC=5:8
【答案】D 5. 7. 8. 10.
11. 12. 13. 14. 15. 17. 18. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38.
39.
二、填空题
1. （2012黑龙江龙东，3，3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件 使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．
答案:本题答案不唯一，如AF=CE．
2. （2012新疆乌鲁木齐，13，4分）如图，在周长为20的□ABCD中，AB
.
【答案】10
3. （2012辽宁本溪，16，3分）如图，在□ABCD中，ABC的平分线BE交AD边于点E，交对角线AC于点
F．若
ABBC
35
AFAC
，则
______
．
【答案】
83
4. 5. 7. 8. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 37. 38.
三、解答题
1. （2012内蒙古包头25,12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm,
现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以l厘米／秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1. 25厘米／秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ.设动点运动时间为t秒(t>O)． (1)连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？ 请说明理由； (2)连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与 线段AB平行，为什么？ (3)当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
【答案】（1）能。经过1秒后，DQ=5－3－1.25=0.75。因为EP∥BC，所以△AEP∽△ADC，所以所以
14EP3
APAC
EPDC
，
，所以EP=0.75。所以EP∥DQ，所以四边形EQDP是平行四边形。
CDBC
5-1.25t5
=4-t4
（2）CQ=5－1.25t，CP=4－t，所以，
CPAC
4-t4
，所以
CDBC
=
CPAC
，所以△CDP∽△CBA，
所以∠PDC=∠ABC，所以PQ∥AB。故不论t取何值时，总有线段PQ与 线段AB平行。 （3）由题意可知，当Q位于CD之间时，△EDQ才可能为直角三角形。 若∠EQD为直角，则△EDQ相似于△ADC，即
3（51.25x）3
,得x=2.5。
4-x4
DQEQ
=
DCAC
34
,
列出方程式
若∠DEQ为直角，则△EDQ∽△CDA，即
AEAD
DEDQ
=
x4
DCAD
35
.
因为△ADC相似于△AEP，所以=
APAC
，AD=5，AE=1.25x。
所以DE=AD－AE=5－1.25x，DQ=3－（5－1.25x）。 列出方程式
3
，得x=3.1。
3（51.25x）551.25x
经验证，x=2.5和x=3.1都符合题意。
综上所述，当x=2.5或x=3.1时，△EDQ为直角三角形。
14.2. （2012黑龙江鸡西，28，10分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别
2
在y轴和x轴上，并且OA和OB的长分别是方程x7x120的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点A开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒. ⑴求A、B两点的坐标. ⑵当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标. ⑶当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接
写出M点的坐标；若不存在请说明理由.
2
【答案】解：⑴x7x120 解得：x1=3，x2=4 ∵OA＜OB ∴OA=3，OB=4. ∴A（0，3），B（4，0）
⑵由题意得，AP=t，AQ=5—2t. 可分两种情况讨论： ①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB
如图1：
t352t5
解得：t=
15
所以可得Q（
11
2011
，
1811
）
②当∠AQP=∠AOB时，△APQ∽△ABO 如图2： 解得：t=
t5
251352t3
1213
所以可得Q（
，
3013
）
⑶存在M1（
45
，
225
），M2（
45
，
25
），M3（—
45
，
85
）
3. （2012广西贵港，23，8分）
如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DECD，连接BE交AD于点F，交AC于点G。 （1）求证：AFDF
（2）若BC2AB，DE1，ABC60，求FG的长。
【答案】解：（1）在□ABCD中，AB∥CD ∴∠ABG＝∠E
又∵∠AFB＝∠EFD，AB＝CD＝DE ∴△ABF≌△DEF ∴AF＝DF （2）连结CF，
∵BC2AB，AB＝CD，AD＝BC，AF＝DF， ∴CD＝DF
又∠ADC＝∠ABC＝600 ∴△DCF是等边三角形 ∴CF＝DF＝
12
AD
∴∠ACD＝900
∴∠GCF＝90-60＝30 ∵FD＝CD＝∴CF⊥EF
又∵CF＝CD＝DE＝1，∠GCF＝30
∴GF＝
CF仔tan
GCF=1?tan30
12
CE
3
4. （2012福建莆田，19,8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC. （1）（4分）请根据以下语句画图，并标上相应的字母（用黑色字迹的钢笔或签字笔画）.
．．
①过点A画AE⊥BC于点E；
②过点C画CF∥AE，交AD于点F；
（2）（4分）在完成（1）后的图形中（不再添加其它线段和字母），请你找出一堆全等三角形，并予以证明.
【答案】解：（1）
（2）△ABE≌△CDF
证明：四边形ABCD是平行四边形
∴∠B＝∠D,AB=CD,AD∥BC ∵AE⊥BC, CF∥AE ∴CF⊥BC 又AD∥BC ∴CF⊥AD ∴∠AEB=∠CFD＝90°
∴△ABE≌△CDF
5. （2012福建南平，21，8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件，使四边形AECF是平行四边形，并予以证明。
备选条件： AE＝CF，BE＝DF，∠AEB＝∠CFD 。 我选择添加的条件是： 。
（注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明）
D
B
第21题图
【答案】一：选BE＝DF，如图：
D
B
E
C
证法一：∵ABCD是平行四边形 ∴AD＝BC，AD∥BC ∵BE＝DF ∴AF＝CE
∴四边形AECF是平行四边形 证法二：∵ABCD是平行四边形 ∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D， ∵BE＝DF ∴△ABE≌△CDF ∴AE＝CF ∵AD＝BC ∴AF＝CE
∴四边形AECF是平行四边形 二：选∠AEB＝∠CFD，如图：
F
D
B
E
C
证法一：∵ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC ∴∠AEB＝∠EAF ∵∠AEB＝∠CFD ∴∠EAF＝∠CFD
∴AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形
证法二：∵∠AEB＝∠CFD ∴∠AEC＝∠CFA ∵ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠DCB ∴△ABE≌△CDF ∴∠BAE＝∠DCF
∴∠FAE＝∠ECF
∴四边形AECF是平行四边形
26.（2012甘肃白银，26,10分）如图，△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF＝EF，求证：AE＝AD.
A
E
BD
第26题图
C
【答案】证明：
（1） ∵△ABC是等边三角形