差分进化算法综述

第２ｌ卷第４期２００８年８月

模式识别与人工智能

ＰＲ＆ＡＩ

Ｖｂｌ．２ｌＡｕｇ

Ｎｏ．４２００８

差分进化算法综述

杨启文

蔡亮薛云灿

（河海大学常州校区计算机与信息工程学院常州２１３０２２）

摘要差分进化算法是一类基于种群的启发式全局搜索技术，对于实值参数的优化具有较强的鲁棒性．为了提高差分进化算法的寻优速度、克服启发式算法常见的早熟收敛问题，许多学者对差分进化算法进行改进．本文综述差分进化的基本形式及其多种改进形式，讨论它们的优缺点，指出下一步的改进方向．关键词差分进化，启发式优化，遗传算法中图法分类号ＴＰ

１８１

ＡＳｕｒｖｅｙｏｆＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｖｏｌｕｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍｓ

ＹＡＮＧ

Ｑｉ－Ｗｅｎ，ＣＡＩ

Ｌｉａｎｇ，ＸＵＥＹｕｎ－Ｃａｎ

（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨｏｈａｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｚｈｏｕ２１３０２２）

ＡＢＳＴＲＡＣＴ

Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｒｏｂｕｓｔｆｏｒ

ｒｅａｌ

ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ（ＤＥ）ｉｓ

ｐａｒａｍｅｔｅｒ

ａ

ｈｅｕｒｉｓｔｉｃｇｌｏｂａｌｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅｂａｓｅｄ

ｓｐｅｅｄ

ｕｐ

ｏｎ

ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ．Ｉｔｉｓｔｈｅ

ｐｒｅｍａｔｕｒｅ

ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．Ｔｏ

ｔｈｅ

ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｎｄ

ａｒｅ

ｏｖｅｒｃｏｍｅｍａｄｅ

ｔｏ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｏｆｔｈｅ

ｈｅｕｒｉｓｔｉｃｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｍａｎｙｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ

ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ

ａｒｃ

ＤＥ．Ｔｈｅｂａｓｉｃ

ａｒｅ

ａｌｓｏ

ｖｅｒｓｉｏｎｏｆＤＥａｎｄｉｔｓ

ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ａｎｄｔｈｅｉｒａｄｖａｎｔａｇｅｓａｎｄ

ｏｎ

ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ

ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｓｏｍｅｉｓｓｕｅｓｆｏｒｆｕｒｔｈｅｒｒｅｓｅａｒｃｈ

ＤＥ

ａｒｅ

ａｄｄｒｅｓｓｅｄ．

Ｋｅｙ

Ｗｏｒｄｓ

ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｖｏｌｕｔｉｏｎ，ＨｅｕｒｉｓｔｉｃＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＧｅｎｅｔｉｃＡｌｇｏｒｉｔｈｍ

引言

局寻优能力，因而成为最优化领域的一个研究热点…．

在众多启发式优化方法中，差分进化（Ｄｉｆｆｅｒｅｎ－

ｔｉａｌ

最优化方法分为传统优化方法和启发式优化方法两大类．传统优化方法大多利用目标函数的梯度（或导数）信息实现单可行解的惯序、确定性搜索；启发式优化方法以仿生算法为主，通过启发式搜索策略实现多可行解的并行、随机优化．启发式搜索算法不要求目标函数连续、可微等信息，具有较好的全

Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ，ＤＥ）是一种基于群体差异的启发式随

机搜索算法，该算法是Ｒ．Ｓｔｏｒｅ和Ｋ．Ｐｒｉｃｅ为求解Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ多项式而提出的心‘４Ｊ．差分进化算法因原理简单、受控参数少、鲁棒性强等特点，引起越来越多的学者关注＂“１．近年来，ＤＥ在约束优化计算【１】、

收稿日期：２００７—０７—１０；修回日期：２００７—１２—０７

作者简介杨启文，男，１９６９年生，副教授，博士，主要研究方向为进化计算及其应用、智能控制．Ｅ—ｍａｉｌ：ｑｗｙａｎｇ＠ｗｅｂｍａｉｌ．ｈｈｕｃ．ｅｄｕ．ｅ１１．蔡亮，男，１９８２年生，硕士研究生，主要研究方向为进化计算．薛云灿，男，１９６５年生，教授，博士后，主要研究方向为智能控制与优化、生产计划与调度．

万方数据　

４期杨启文等：差分进化算法综述

聚类优化计算㈣、非线性优化控制１９Ｊ、神经网络优化‘１０］、滤波器设计‘¨】、阵列天线方向图综合‘１２—３１及其它方面‘¨一６１得到广泛应用．

２基本差分进化算法

ＤＥ采用实数编码方式，其算法原理与遗传算法十分相似¨７｜，进化流程与遗传算法相同：变异、交叉和选择．ＤＥ算法中的选择策略通常为锦标赛选择，而交叉操作方式与遗传算法也大体相同，但在变异

操作方面使用差分策略，即利用种群中个体间的差

分向量对个体进行扰动，实现个体变异．ＤＥ的变异方式，有效利用群体分布特性，提高算法的搜索能力，避免遗传算法中变异方式的不足¨８。．

对于优化问题：

ｒａｉｎ／．（ｚ１，戈２，…，石Ｄ）

ｓ．ｔ

咒Ｌｆ≤茗ｉ≤石？，，＝１，２，…，Ｄ，

其中，Ｄ是解空间的维数，石？、石？分别表示第』个分量

算，取值范围的上界和下界．ＤＥ算法流程如下．

１）初始化种群．初始种群｛Ｘｉ（ｏ）ｌ戈ｉｉ≤ｚ¨（０）

≤算！ｉ，ｉ＝１，２，…，Ⅳ尸；．『＝ｌ，２，…，Ｄ｝随机产

生：

勺．ｆ（０）＝《ｉ＋ｒａｎｄ（Ｏ，１）・（ｘｊＵｉ一《ｉ），

其中，ｘｉ（０）表示种群中第。代的第ｉ条“染色体”（或个体），戈“（０）表示第０代的第ｉ条“染色体”的第，个“基因”．ＮＰ表示种群大小，ｒａｎｄ（０，１）表示在（０，１）区间均匀分布的随机数．

２）变异操作．ＤＥ通过差分策略实现个体变异，这也是区别于遗传算法的重要标志．

在ＤＥ中，常见的差分策略是随机选取种群中两个不同的个体，将其向量差缩放后与待变异个体进行向量合成，即

ｌ，；（ｇ＋１）＝ｘ，。（ｇ）＋Ｆ・（戈彪（ｇ）一戈ｒ３（ｇ）），

ｉ≠７Ｉ≠７２≠７３，

其中，Ｆ为缩放因子，菇ｉ（ｇ）表示第ｇ代种群中第ｉ个个体．

在进化过程中，为了保证解的有效性，必须判断“染色体”中各“基因”是否满足边界条件，如果不满足边界条件，则“基因”用随机方法重新生成（与初始种群的产生方法相同）．

第ｇ代种群｛戈ｊ（ｇ）ｌ

ｚｉｉ≤勺，ｉ（ｇ）≤ｚ！ｉ，ｉ＝ｌ，

２，…，ＮＰ；歹：ｌ，２，…，Ｄ｝通过变异后，产生～个中间体｛Ｖｉ（ｇ＋１）Ｉ《ｊ≤ｖｊ．ｉ（ｇ＋１）≤Ｖ川Ｕ，ｉ＝ｌ，

２，…，ＮＰ；．『＝１，２，…，Ｄ１．

万　

方数据３）交叉操作．对第ｇ代种群｛算ｉ（ｇ）｛及其变异

的中间体ｈ（ｇ＋１）｝进行个体间的交叉操作：％．ｉ（ｇ＋１）＝

ｈｉ（ｇ＋１），

ｉｆ

ｒａｎｄ（Ｏ，１）≤ＣＲｏｒｊ＝Ｊ‘ｒａ耙

ｋｊ（ｇ），

ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

其中，ＣＲ为交叉概率，，，洲为［１，２，…，Ｄ］的随机整

数．

图ｌ为６个基因位的“染色体”交叉操作示意图．为了确保变异中间体｛Ｖｉ（ｇ＋１）｝的每个“染色体”至少有一个“基因”遗传给下一代，第一个交叉

操作的基因是随机取出ｑ（ｇ＋１）中的第，删位“基因”作为交叉后“染色体”％（ｇ＋１）第Ｌ一位等位

“基因”．后续的交叉操作过程，则是通过交叉概率ＣＲ来选取ｘｉ（ｇ）还是秽ｉ（ｇ＋１）的等位基因作为Ｍｉ（ｇ＋１）的等位基因．

４）选择操作．ＤＥ采用贪婪算法来选择进入下

—代种群的个体：

气（ｇ＋１）：ｆＵｉ｝ｇ、＋１’，ｉｆｆ，（ｕｉ（．ｇ＋１’’≤以气‘ｇ’’

１

２３

４

５

１２

２６

Ｓ１

８

３０

５０

Ⅲ

且ｒ。＜ＣＲ型ｌ｝儿

Ｊ【ｒｚ＜ＣＲ

７

２６

６８

８

３０

１１

）＾＞ＣＲ

。枞Ｒ

仪司『

Ｕ７

１０４

６８

１３

４４

１１

图１

交叉操作过程

Ｆｉｇ．１

Ｃｒｏｓｓｏｖｅｒｏｐｅｒａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓ

３

差分进化算法的改进

由于选择作用的影响，随着进化代数的增加，个

体间的差异会逐渐降低．个体差异性的减少又影响变异所带来的多样性，从而导致算法过早收敛到局部极值附近时，形成早熟收敛现象．

为了提高ＤＥ的寻优能力、加快收敛速度、克服启发式算法常见的早熟收敛现象，许多学者对ＤＥ算法进行改进．

３。ｌ

控制参数的改进

ＤＥ主要涉及种群规模ＮＰ、缩放因子Ｆ、交叉概

率ＣＲ这３个控制参数．通常的做法是根据经验选取一组固定参数旧ｑ’坶１：种群规模ＮＰ∈［５Ｄ，１０Ｄ］，缩放因子ＦＥ［０．５，１］，交叉概率ＣＲＥ［０．８，１］．这样

５０８

模式识别与人工智能２１卷

既保证较高的寻优成功率，也保证较快的收敛速度．

经验参数反映的是统计学上的性能效果，指导ＤＥ算法的整个搜索过程．由于它们在寻优的过程中没有改变，无法较好地满足进化各阶段中算法性能对控制参数的特殊要求．因此，产生不少参数自适应’

的ＤＥ算法．

根据缩放因子Ｆ、交叉概率ＣＲ在寻优过程中的作用，文献［２０］提出一种线性的变化策略：

ＣＲ（ｇ＋１）：ＣＲ（ｇ）一堕些，

Ｆ（ｇ＋１）＝Ｆ（ｇ）＋Ｆ一一Ｆ（Ｏ）

’

Ｇ一

其中，ＣＲ（Ｏ）和，（０）分别代表变异概率和缩放因子的初始值，ＣＲ向。表示进化过程中变异概率的最小值，Ｆ。表示进化过程中缩放因子的最大值，Ｇ一为最大进化代数．随着进化代数的增加，ＣＲ线性减小，Ｆ线性增加．这种参数自调整的目的，是希望ＤＥ算法在搜索初期能够保证较大的种群多样性，而到后期具有较快收敛速度．其不足之处是，如果在搜索后期还没有找到满意解的话，算法很容易早熟收敛．

与线性变化不同，Ｍｅｎｄｅｓ和Ｍｏｈａｉｓ提出Ｆ和ＣＲ的随机选取原则心１‘２２１．文献［２３］在此基础上进一步将Ｆ修正为（０．５，１）间的均匀分布随机数，即Ｆ—ｕ（ｏ．５，１）．而文献［５］则将缩放因子Ｆ建议为Ｆ—Ｕ（０，１），减少需调整的参数．随机选择在一定程度上避免控制参数所影响的早熟收敛．

在进化过程中，种群中各个体可共享一个控制参数值，也可独立使用它们Ⅲ瑙Ｊ．

维持种群的多样性是克服算法早熟收敛的一个关键因素．但是，Ｆ和ＣＲ不论采取上述线性变化还是随机改变，都没有与种群的多样性有直接的联系．在文献［２７］中，这种不足得到改善．

Ｌｉｕ【２刊等人利用个体位置多样性：

ＰＣ＝．／击∑∑（＿，ｉ（ｇ）一“ｇ＋１））２Ｙ…‘＝ｌ』。１

及个体适应值多样性

Ｆｃ＝．／击∑ｆ（ｘｊ（ｇ））－ｆ（ｘｉ（ｇ＋１）））２Ｖ…￡２Ｉ

等信息，进行控制参数的模糊自适应调节（其中以石ｉ（ｇ））表示第ｇ代种群中第ｉ个个体的适应度）．当个体位置多样性ＰＣ和个体适应度值多样性，Ｇ都很小时，算法将缩小Ｆ和ＣＲ的值，提高局部搜索能力，加速算法收敛速度．反之，增加Ｆ和ＣＲ的值，提高算法的全局搜索能力．

相对于参数的线性改变或随机改变策略，文献

万　

方数据［２７］有效利用种群的分布情况来针对性地调整控

制参数，能够最大限度地提高对进化信息的利用率，增强对解空间的探测能力．因此，这是参数自适应的一个方向．但由于需要进行种群多样性评估，如何减少由此产生的计算负荷，也是一个需要注意的问题．

３．２

差分策略的改进

ＤＥ算法以差分策略为主要特征．Ｐｒｉｃｅ和Ｓｔｏｒｎ

一共提出十余种不同的差分策略来实现变异操作…．

表１以二项式交叉（ｂｉｎ）为例列举其中的７种差分策略，其中，ＤＥ／ｘ／ｙ／ｚ含义为：工表示变异基向量，它既可以是种群中的随机（ｒａｎｄ）向量Ｘ¨也可以是当前种群中的最优（ｂｅｓｔ）向量工。，还可以是当前（ｃｕｒｒｅｎｔ）个体ｚ。；，，表示差分向量的个数；ｚ代表交叉的模式，而Ａ为组合因子．

表１

差分策略

Ｔａｂｌｅ１

Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ

差分策略

差分表达式ＤＥ／ｒａｎｄ／ｌ／ｂｉｎ工Ｉ＋Ｆ（Ｘ２一工３）ＤＥ／ｒａｎｄ／２／ｂｉｎ工ｌ＋Ｆ（工２＋工３一丘一工５）

ＤＥ／ｂｅｓｔ／ｌ／ｂｉｎ

工６＋Ｆ（工２一工３）ＤＥ／ｂｅｓｔ／２／ｂｉｎ

工６＋Ｆ（Ｘ２＋工３一工４一工５）ＤＥ／ｒａｎｄ．ｔｏ．ｂｅｓｔ／ｂｉｎ

ＸＩ＋Ａ（Ｘ６一工１）＋Ｆ（托一而）ＤＥ／ｃｕｒｒｅｎｔ－ｔＯ．ｒａｎｄ／ｂｉｎｊ。＋Ａ（Ｘｌ一工。）＋，（而一工３）

ＤＥＥ／ｃｕｒｒｅｎｔ．ｔｏ－ｂｅｓｔ／ｂｉｎ

Ｊ。＋Ａ（ｚ６～Ｘｉ）＋Ｆ（ｘｌ—ｚ２）

ＤＥ／ｒａｎｄ／ｌ／ｂｉｎ和ＤＥ／ｂｅｓｔ／２／ｂｉｎ是目前使用

最广、应用最为成功差分策略．前一种策略有利于保持群体的多样性，后一种策略则更强调算法的收敛速度．

除此之外，Ｆａｎ等人‘圳还提出一种三角形差分策略：

Ｘｉ（ｇ）＝÷ＥＩ，Ｉ（ｇ）＋工，２（ｇ）＋工ｒ３（ｇ）］＋

（Ｐ２一Ｐ１）（工，ｌ（ｇ）一工，２（ｇ））＋（Ｐ３一Ｐ２）（Ｘ，２（ｇ）一Ｘ，３（ｇ））＋（Ｐｌ—Ｐ３）（Ｘｒ３（ｇ）一ｚ，ｌ（ｇ）），

其中

Ｉ以Ｘ，（ｇ））Ｉ

Ｐｉ—Ｉ八ｘ，，（ｇ））＋八ｊ，：（ｇ））＋Ａｘ，，（ｇ））Ｉ’

ｉ≠■≠ｒ２≠厂３．

３．３

选择策略的改进

基本差分进化算法采用的贪婪算法，有利于加

快算法的收敛速度，但由于降低了种群多样性，增加了早熟收敛的风险．

４期杨启文等：差分进化算法综述

文献［２３］、［２９］通过改变评价标准来解决有用个体可能被丢弃的问题，从而有效维持种群的多样性信息．

文献［ｚ３］的选择策略为

Ｉｆ以Ｍ。（ｇ＋１））一八戈ｉ（ｇ））≤ｋ・盯２（ｇ）

Ｔｈｅｎ

ｘｉ（ｇ＋１）＝ｕｉ（ｇ＋１），

其中，盯２（ｇ）是一个关于进化代数的函数，ｋ为指定的常系数．在进化过程中，每代的选择标准有所不同．这种方法，采取与文献［２０］相似的思想，根据不同进化阶段对选择策略的要求，构造一个以进化代数为函数的评价函数，算法简单且具有较好的物理可解释性．但这种方法忽略进化过程中种群的具体信息，因此，算法性能受到最大进化代数以及求解问题的复杂性的影响．

此外，文献［２３］还提出一个随机选择策略．用个体的适应度函数，子代取代父代的概率为

Ｐｓｃｌｃｃｔｉｍ

２

ｍｉｎ（１而了几

，．“ｚ。）、

这意味着，如果八石。）＜以％），子代被选中进入下一

代种群，如果八互。）≥八Ｘｐ），则按照以％）优算。）的

概率在石。和茗。中选取一个个体进入下一代．这种方法可以看作是锦标赛策略的一种广义形式．不同之处在于，在锦标赛策略中，如果八石。）≥八％），则了子代的存活率．

不同于文献［２３］的选择策略，文献［２９］提出采用如下方式对个体进行选择．

初始化Ｇ，Ｔ

Ｗｈｉｌｅ

Ｇ＜Ｇ一

产生个体Ⅱ；（ｇ＋１）

Ｉｆ八ｔｔｉ（ｇ＋１））≤（１＋ｒ）・火气（ｇ））Ｔｈｅｎ茗ｉ（ｇ＋１）＝址；（ｇ＋１），Ｇ＝Ｇ～

‘Ｅｌｓｅ

Ｔ＝口一ｅｘｐ（一ｓｉｎ（ＪＬ＃｝））Ｓｍｘ１－ｕ“

Ｇ＝Ｇ＋１

ＥｎｄｉｆＥｎｄｗｈｉｌｅ

其中，Ｇ表示当前个体在进化时间７１内的更新次数，Ｇ一表示在进化时间ｒ内所允许的最大更新次数，ｇ

表示算法当前的进化代数，ｇ～表示算法最大的进化代数，口是与问题有关的常数．这种选择方式的特点是对个体适合度进行加权比较，然后择优录取．在进化的初始阶段，权系数（１＋７１）的变化较大，因而适合度差的个体也存在一定的生存概率，这有利于维持种群的多样性．到了进化的后期，权系数趋近于

万　

方数据ｌ，个体的生存就直接依赖于它们的适合值，这样就

加速了种群的收敛．３．４种群重构

种群重构是将已收敛的种群通过外部作用在一定有效范围内重新分布个体的位置，增加种群的多样性．

Ｂｌａｃｋｗｅｌｌ和Ｂｒａｎｋｅ根据量子力学中电子的量子状态，提出在最优个体附近随机产生重构个

体［驯：

ｒ‘Ｐｉ

算ｉ

５互６＋—了弓矛＝二’

√酗

其中，Ｐｉ—Ｎ（０，１），ｒ～ｔＹ（０，ｒ。Ⅲ），ｒ。。。ｄ为指定的粒子云半径．

另一种简单方法是在最优个体附近应用高斯分布函数产生重构个体‘２¨：毛＝石６＋Ｎ（ｏ，盯），其中茗。为当前种群中最优个体．

根据种群信息来确定种群重构时机是防止种群早熟收敛的一种有效方法．

Ｙ．Ｃ．Ｌｉｎ［３１１提出当种群多样性指数

ＮＰ

Ｄ

Ⅱ２斫丽丽＜占ｌ，

∑∑研，ｉ

僦尸１

即超过临界指数时，执行迁移操作来进行种群重构：茁ｊ．ｉ（ｇ＋１）＝

勺．６（ｇ）＋ｒａｎｄ（Ｏ，１）・（考一ｘｊ，６（ｇ）），

’

ｉｆ

ｒａｎｄ（０，１）＜掣乒≠

巧一ｘｊ

ｘｊ，６（ｇ）＋ｒａｎｄ（Ｏ，１）・（矽一＿，６（ｇ）），

ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

其中，ｘｊ．。（ｇ）表示到第ｇ代种群为止种群最优个体的第，维分量，占。∈（０，１）为预定义的聚集程度指标常数，占：∈（０，１）表示基因多样性程度指标常数，

玑为第ｉ个个体与种群最优个体在第』维分量上的

相似度：

研，；＝｛。ｘｊ．６

ｆ１，ｉｆ

Ｉ啦ｌ＞占，

‘

ｔｏ．ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

吴亮红等人‘１４３则根据群体适应度方差

ＮＰ

铲＝罗，ｌ乜≠坚ｌｆ

ｆ

２

置，

来进行种群重构（式中Ｚ为第ｉ个个体的适应度，小于预先制定的阈值时，种群重构算法如下：

以％）表示父代个体的适应度函数，ｆｔｚ。）为其子代八扎）被选中的概率为０．因此，随机选择相对增加工，。为种群目前的平均适应度）．当种群适应度方差

５１０

模式识别与人工智能２１卷

ｘｊ，６＝菇，．６・（１＋０．５７１），

ｘｊ，产石¨・（１＋Ｏ．５叩），

其中７７为服从Ｇａｕｓｓ（０，１）分布的随机变量．

作为预防早熟收敛的一种手段，种群重构时机对算法性能的影响要大于重构方式对算法的影响．基于此，此方面的改进工作应加强种群重构条件的研究，即加强对种群多样性的评估，减少重构方式的复杂性．

多种群差分进化算法

当多个种群共同执行进化搜索时，即使单个种

群出现多样性的丧失，由于种群间存在差异，通过种

群间的信息共享和交换，依然可以保证整个算法继续进化．

Ａｌｉ∞２１采用双种群Ｐ。、Ｐ２进行差分进化算法．每个种群包含ＮＰ个个体，Ｐ：作为辅助种群，用于存放Ｐ。在选择时被舍弃的个体．Ｐ：中的个体虽然较“差”，但Ｐ２却具有较好的种群多样性．

种群Ｐ。通过种群间的交叉操作叶．ｉ（ｇ＋１）＝

ｆａｊ，。（ｇ），ｉｆｒａｎｄ（０，１）≤ＣＲｏｒＪ＝．『。蒯

Ｉ巧．ｉ（ｇ），。ｔｈｅｒｗｉ。ｅ

实现与Ｂ的交换（ａｊ．ｉ∈Ｐ：）．这种措施，以较少的计Ｔａｓｇｅｔｉｒｅｎ旧引则提出基于多个子种群的多种群其中，ｋ≠口≠ｂ≠ｃ表示不同的子种群，ｉ为个体编号Ｊ为个体中的分向量编号．

图２

多种群进化的圆环结构

Ｆｉｇ．２

Ｃｉｒｃｌｅ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｆｏｒｍｕｌｔｉ—ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｅｖｏｌｕｔｉｏｎ

图２是多种群进化的一种拓扑结构——圆环当前的最优个体，用来指导本种群的进化过程．

万　

方数据在多种群进化算法中，各子种群规模既可固定，也可动态改变‘３

５Ｉ．

４

相关混合算法

在最优化技术中，除差分进化外，还有许多启发

式搜索方法．结合不同搜索思想的混合差分进化算法，可提高寻优性能．

混合差分进化算法的一个切入点是如何通过父代种群的个体信息智能确定下一代个体在解空间的位置‘蚓．

４．１

与传统最优化技术相结合

Ａｈｕｊａ和Ｏｒｌｉｎ认为，好的进化操作应兼具随机

搜索与方向性搜索的优点，能够组合父代的优秀性状而产生优于父代的子代个体ⅢＪ．因此，为了能够在差分进化中实现确定性搜索，最直接的方法就是利用传统的最优化技术．

１）利用梯度信息．当种群适应度不再下降时，利用当前最优点的梯度信息旧１‘，加速种群向全局最优点的移动：戈６（ｇ＋１）＝ｆⅡ６（ｇ＋１），

ｉｆ八ｕ６（ｇ＋１））＜八戈６（ｇ＋１）））

ｔｘ６（ｇ）一ａｖｆ（ｚ６（ｇ）），

ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ

当前种群最优个体戈。（ｇ）的梯度信息可利用

［以省。（ｇ））一以ｚ。（ｇ一１））］［戈。（ｇ）一茗。（ｇ—１）］。１

近似估计，步长ａ∈（０，１）．如果

八髫。（ｇ））一ｄｖｆ（ｚ。（ｇ））≤八石６（ｇ）），则加速过程结束；否则减少ａ的值继续搜索．

２）借鉴单纯形方法．Ｋａｅｌｏ借鉴单纯形搜索方法，在差分进化算法中引入反射和压缩算子来提高局部搜索效率口引，具体方法如下．

ｓｔｅｐｌ

判断父代个体气，子代个体ｕ，，种群最优个体戈。的适应度大小．

ｓｔｅｐ

２

如果八髫ｉ）＜以蚝）＜以‰）且ｒａｎｄ（Ｏ，１）

＜∞，执行ｓｔｅｐ３；否则转ｓｔｅｐ

５．

ｓｔｅｐ

３

反射操作产生反射点ｒｊ．如果八ｒ。）＜

５；否则，继续执行ｓｔｅｐ

４．

ｓｔｅｐ

４

压缩操作产生压缩点ｃｉ．如果八ｃｉ）＜ｓｔｅｐ

５

ｚｉ＝Ｍｉ，ｉ＝、ｉ＋ｌ，转至０

ｓｔｅｐ

１．

其中，∞是小于ｌ的常数，控制着反射和压缩操作发生的概率．

传统的最优化技术具有较高的局部搜索效率，它与差分进化算法相结合，可明显改善差分进化算

３．５

算量来增加种群Ｐ．的多样性．

差分进化模式．子种群之间每隔Ｒ代进行重组：ｖｊ＾＾（ｇ＋１）＝ｘｊ＾。（ｇ）＋，‘（勺＾６（ｇ）一勺＾。（ｇ）），八Ｍｉ），菇ｉ＝ｒｉ，转到ｓｔｅｐ八ｕｊ），戈ｉ＝ｃｊ．

结构㈨．各子种群间的最优个体通过一个循环路径

实现信息共享和交换，子种群从上一级子种群继承

４期

杨启文等：差分进化算法综述

５１１

法的寻优速度，同时也能提高寻优精度．

４．２

与模拟退火算法相结合

模拟退火算法也是一种启发式寻优算法，杨静

宇等人‘３８３采用模拟退火的选择方式来确定选择概率Ｐ（ｇ）：

ｐ（ｇ＋１）２丽Ｊｏｇ书：告ｇ面，

Ｌ

ｌｕ十

ｘ

Ａ．），

其中ＡＳ为退火速度．选择概率随进化代数的增加而减少，与种群的分布信息无关．因此，这种方式与其它任何以进化代数为函数的改进措施相似，不能为算法性能带来本质上的提高．

４．３

与ＰＳＯ算法相结合

ＰＳＯ算法是目前启发式搜索算法的一个分支．

Ｃｈａｋｒａｂｏｒｔｙ采用ＰＳＯ算法形式实现实现变异操

作㈨：

￡ｉ＝算ｊ＋Ａ’（工ｂ髑ｔ一名ｊ）＋，（’（算Ｐ一彳口），Ｇｉ＝ｚｉ＋Ａ（并ｂｅ。ｌ一菇ｉ）＋Ｋ（ｘ，一石，），

ｌｇｉ＝ｔｏｇｆ＋（１一∞）￡ｉ，

其中，￡ｉ和Ｇｉ分别为局部搜索向量和全局搜索向量，ｒ，ｓ∈（１，ＮＰ），Ｐ，ｑ∈（ｉ—ｋ，ｉ＋后）．石Ｐ和戈ｑ为菇ｉ的ｋ邻域：｛石ｉ—Ｉ，…石ｆ，…石ｉ＋ｋ｝．

在进化初期，∞取值较大，算法侧重全局搜索；进化后期，∞取值较小，算法侧重于局部搜索．

４．４

与蚁群算法相结合

Ｊ．Ｐ．Ｃｈｉｏｕｍ３将蚁群算法的思想引入到ＤＥ中

用于对差分策略进行最优选择．每代由ＮＰ个蚂蚁通过空间的信息素和个体差异信息来寻找最优的差分策略．个体信息素的更新公式如下：

ｒ？“＝・ｒｆ０Ｍ＋ＡｚＰｒｉ

＝

。ｒｆ

＋

肿ｊ

．ｆＱ巡焘掣，

ｉ，

２

１

ｉｆｆ（Ｕｉ（ｇ＋１））＜以ｘｉ（ｇ））

【ｏ．

。ｔｈｅｒｗｉｓｅ

其中，Ｐ是信息素挥发因子，Ｑ为常数．相应差分策略

的选择概率为

ｐｉ

２可Ｆ一’

ｒ？臂

娑群ｉ

∑ｒ？臂

其中，个体差异叼。定义为

旷ｃ砉１

）２）∽．

』＝

＾ｆ．＼５’１，

这种混合算法的复杂性以及计算负荷均较高．

ｃ４．５

与遗传算法相结合

受遗传算法选择压力的启发，Ｂｅｒｇｅｙ［４¨根据父

代个体适应度的大小将种群重新排序，然后按照独

万　

方数据立伯努力实验，在选择压力下生成变异的基向量．

５

结束语

ＤＥ的卓越性能已初露锋芒，吸引众多研究者的

关注，并提出许多有效的改进方法．但是还有很多方面有待完善，需要加强并进行深入研究．

１）加强ＤＥ算法理论基础和系统分析方法的研究．目前ＤＥ以及各种改进方法均缺乏成熟的理论和系统的分析方法作指导，如何避免局部极值以及如何在多样性和收敛性之间进行平衡缺少更好的指导原则．

２）加强ＤＥ各种改进方法的综合研究．作为一种优化工具，它自身也存在许多待优化问题．研究ＤＥ算法各要素之间的相互关系，并以此指导各控制

参数的优化配置，对于提高ＤＥ算法的性能具有重要的意义．

３）加强ＤＥ与其他算法的结合．结合不同算法的寻优思想对ＤＥ进行改进，使ＤＥ在全局寻优能力和局部寻优能力都得到改进也是以后的一个研究方向．

４）加强ＤＥ与应用的结合．根据不同的工程求解问题，进一步改进和完善ＤＥ算法，使其在应用领域发挥更大的作用．

参考文献

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Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ

ｏｎ

５１２

模式识别与人工智能

２１卷

ＮｕｍｅｒｉｃａｌＢｅｎｃｈｍａｒｋＰｒｏｂｌｅｍｓ／／Ｐｒｏｃｏｆｔｈｅ

ＩＥＥＥ

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ｅｇｙ

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ｔｉｏｎ

ＭｅｔＩｌｏｄｓｆｏｒＵｎｓｕｐｅｒｖｉｓｅｄ

Ｉｍａｇｅ

Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ／／ＰｒｅｃｏｆｔｈｅＩＥＥＥＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ

ｏｎ

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，１１ｌａｉｌａｎｄ．２００６：１—６［９］ＺｈａｎｇＲｅｎｑｉａｎ，ＤｉｎｇＪｉａｎｘｕｎ．Ｎｏｎ－ＬｉｎｅａｒＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌｏｆＭａｎ－

ｕｆａｃｔｕｒｉｎｇＳｙｓｔｅｍＢａｓｅｄ

ｏｎ

ＭｏｄｉｆｉｅｄＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｖｏｌｕｔｉｏｎ／／Ｐｒｏｃ

ｏｆｔｈｅＩＭＡＣＳＭｕｌｔｉｅｏｎｆｅｒｅｎｃｅ

ｏｎ

ＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ

ｉｎ

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ｔｅｒｎｓ

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ＲＢＦ（ＭＤＥ—ＲＢＦ）ＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋｆｏｒ

Ｔｉｍｅ

ＳｅｒｉｅｓＰｒｅｄｉｃｔｉｏｎ／／

Ｐｒｏｃ

ｏｆｔｈｅＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｉｎｔＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ

ｏｎ

ＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋｓ．Ｖａｎ—

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Ｙ

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Ｔｉｍｅ－Ｍｏｄｕｌａｔｅｄ

Ｌｉｎｅａｒ

Ａｒｒａｙｓｂｙｔｈｅ

Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ

ＥｖｏｌｕｔｉｏｎＡｌｇｏ－

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ａ

Ｍｏｎｏｐｕｌｓｅ

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ａ

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ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｖｏｌｕｔｉｏｎ

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Ｉｔｓ

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杨启文等：差分进化算法综述

５１３

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Ｋ

Ｅ，Ｔａｓｏｕｌｉｓ

Ｄ

Ｋ，Ｐａｖｌｉｄｉｓ

Ｎ

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ｕａｔｅｄ

ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｖｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒ

Ｍｕｌｔｉ－ＯｂｊｅｃｔｉｖｅＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，，Ｐｒｏｃ

ｏｆｔｈｅ

ＩＥＥＥＣｏｎｇｒｅｓｓ

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Ｃ．Ｍｏｄｉｆｉｅｄ

Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ

Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ：Ａ

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Ｓｃｉｅｎｃｅ，２００５，３３（３）：２５５—２６５

差分进化算法综述

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

杨启文， 蔡亮， 薛云灿， YANG Qi-Wen， CAI Liang， XUE Yun-Can河海大学常州校区,计算机与信息工程学院,常州,213022模式识别与人工智能

PATTERN RECOGNITION AND ARTIFICIAL INTELLIGENCE2008,21(4)111次

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本文读者也读过(4条)

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引证文献(66条)

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5.王艳茹 用于Web用户聚类的基于差分进化的模糊聚类算法[期刊论文]-电脑知识与技术 2011(30)

6.蔡思捷,于舒娟,张昀 差分算法在盲均衡中的应用与研究[期刊论文]-计算机技术与发展 2012(06)

7.沈佳杰,江红,王肃 基于自适应缩放比例因子的差分进化算法[期刊论文]-计算机工程与设计 2014(01)

8.乔俊飞,傅嗣鹏,韩红桂 基于混合变异策略的改进差分进化算法及函数优化[期刊论文]-控制工程 2013(05)

9.王永皎 改进差分进化算法求解整数任务分配[期刊论文]-计算机工程与应用 2012(31)

10.蔡延光,宋康,张敏捷,武鑫 自适应多目标混合差分进化算法在联盟运输调度中的应用[期刊论文]-计算机应用2010(11)

11.周雪,孙梦雅,于晨晨,韩羞草,李晓飞 短期火电系统的节能减排优化调度[期刊论文]-科技视界 2015(05)

12.李亚军 基于粗糙集属性理论和差分进化算法的交通事故黑点成因分析[期刊论文]-现代交通技术 2014(02)

13.王英博,聂娜娜,李仲学 基于HSDM的企业财务危机预警[期刊论文]-计算机工程与设计 2014(01)

14.王芳芳,缑锦 具有局部定向繁殖策略的自学习进化算法[期刊论文]-小型微型计算机系统 2013(03)

15.陆文林 量子差分进化算法在二次背包问题中的应用[期刊论文]-微计算机信息 2010(27)

16.李运娣,文政颖,于海鹏 基于k-means算法和相关反馈信息的图像检索方法[期刊论文]-福建电脑 2015(05)

17.宁桂英,周永权 基于差分进化算法的收敛性分析[期刊论文]-南通大学学报（自然科学版） 2014(03)

18.李丽莉,章卫国,刘小雄,章萌 基于混沌差分进化FCM算法的舵回路故障诊断[期刊论文]-测控技术 2009(05)

19.毕晓君,李安宁 基于差分进化算法的认知无线电频谱分配[期刊论文]-计算机工程与应用 2014(16)

20.沈佳杰,江红,王肃 基于多变异个体的多目标差分进化改进算法[期刊论文]-计算机工程 2014(05)

21.朱爱军,李智,朱望纯,许川佩 基于多目标差分进化的测试封装扫描链设计[期刊论文]-仪表技术与传感器2014(05)

22.王少蕾,陈维义,顾雪峰 改进差分进化算法求解舰艇编队防空火力分配[期刊论文]-现代防御技术 2013(05)

23.王少蕾,陈维义,顾雪峰 自适应差分进化算法求解多平台多武器-目标分配问题[期刊论文]-系统工程与电子技术 2013(10)

24.毕晓君,张梦莹,朱瞳 块对角化下用户天线联合选择的改进[期刊论文]-计算机工程与设计 2013(04)

25.张照生,罗健旭 基于DE-BP算法的模糊神经网络控制器及其在污水处理溶解氧浓度控制上的应用[期刊论文]-华东理工大学学报（自然科学版） 2013(01)

26.张照生,罗健旭 基于差分进化算法的模糊神经网络控制器[期刊论文]-计算机与应用化学 2011(12)

27.赵霞 基于智能优化算法的期权定价模型参数估计[学位论文]硕士 2011

28.邵玲玲,牛文娟,唐凡 基于PSO与DE混合算法的水资源优化配置[期刊论文]-人民黄河 2014(11)

29.任甜甜,张宏立 基于改进差分进化算法的非线性系统辨识[期刊论文]-计算机仿真 2014(07)

30.王明威,洪琦,叶志伟 基于差分进化的图像自适应增强方法[期刊论文]-湖北民族学院学报（自然科学版）2014(04)

31.拓守恒 自适应蚁群差分进化算法[期刊论文]-计算机工程与设计 2012(07)

32.张军丽,周永权 人工萤火虫与差分进化混合优化算法[期刊论文]-信息与控制 2011(05)

33.李科,朱云峰,王章国,李云飞,桑凯,孙磊 动力煤选煤厂分级重选产品结构优化[期刊论文]-工矿自动化2015(06)

34.姜凯,苑金海 融合差分进化和 SOM 的组合文本聚类算法[期刊论文]-计算机与现代化 2015(05)

35.沈佳杰,江红,王肃 基于速度概率和自适应速度值的差分进化算法[期刊论文]-计算机工程与设计 2014(04)

36.路有兵,耿焕同,张明,刘景发 利用改进的差分进化算法求解等圆Packing问题[期刊论文]-计算机与现代化2012(06)

37.封朋成 改进的差异进化算法求解高维全局优化问题研究[学位论文]硕士 2010

38.基于差分进化的离散粒子群算法求解TS P问题[期刊论文]-微处理机 2014(03)

39.熊杰,邹长春 基于差分进化的感应测井反演算法[期刊论文]-计算机应用 2014(03)

40.卢金鑫 基于全局和局部搜索的整型权值神经网络混合学习算法[期刊论文]-计算机应用与软件 2014(02)

41.郑慧涛,梅亚东,胡挺,黄春雷,唐海华 改进差分进化算法在梯级水库优化调度中的应用[期刊论文]-武汉大学学报（工学版） 2013(01)

42.姜凯,左风朝 Weka平台上解决聚类的改进差分进化算法[期刊论文]-计算机工程与设计 2012(02)

43.拓守恒,周涛 基于维度分组交叉的自适应差分进化算法[期刊论文]-计算机工程与设计 2011(09)

44.陶玲,高晓智 基于微分进化的改进杂草优化算法[期刊论文]-重庆理工大学学报（自然科学版） 2014(10)

45.王永皎 改进自适应差分进化算法求解大规模整数任务分配[期刊论文]-计算机应用 2012(08)

46.张照生,罗健旭 基于差分进化算法的模糊神经网络控制器[期刊论文]-计算机与应用化学 2011(12)

47.刘佳俊,胡昌华,周志杰,常雷雷,杜党波 基于置信规则库和差分进化的设备寿命评估方法[期刊论文]-科学技术与工程 2015(01)

48.张大斌,杨添柔,温梅,孙莹,周茜 基于差分进化的鱼群算法及其函数优化应用[期刊论文]-计算机工程 2013(05)

49.傅嗣鹏,乔俊飞,韩红桂 基于锦标赛选择变异策略的改进差分进化算法及函数优化[期刊论文]-计算机科学2013(z1)

50.宁桂英,周永权 求绝对值方程的改进自适应差分进化算法[期刊论文]-计算机仿真 2015(06)

51.熊伟丽,刘欣,陈敏芳,徐保国 基于差分蜂群算法的无线传感器网络节点分布优化[期刊论文]-控制工程2014(06)

52.金瑶,蔡之华,梁丁文 基于差分演化算法的自适应无迹卡尔曼滤波[期刊论文]-电子与信息学报 2013(04)

53.王芳芳,缑锦 具有局部定向繁殖策略的自学习进化算法[期刊论文]-小型微型计算机系统 2013(03)

54.林永俐 基于差分进化算法的罩式炉退火优化调度方法[学位论文]硕士 2009

55.扈本娜 浅层电震非线性反演理论的研究[学位论文]硕士 2013

56.袁建涛 宽波束宽频带八木天线的设计与优化[学位论文]硕士 2013

57.刘明亮 多维传感器动态解耦研究[学位论文]硕士 2011

58.杨思燕,陈为胜 基于数据同化的图像融合方法研究[期刊论文]-计算机技术与发展 2014(11)

59.盛冠群,李振春,王维波,王振宇,朱海伟,彭国民 水力压裂微地震粒子群差分进化定位算法[期刊论文]-石油学报 2014(06)

60.李坤,黎明,陈昊 基于探索与利用平衡理论的灾变粒子群算法[期刊论文]-模式识别与人工智能 2015(07)

61.刘文盼 多目标差分进化算法的自适应策略研究[学位论文]硕士 2012

62.陈洁 无人驾驶旋翼机飞行控制与仿真技术研究[学位论文]硕士 2012

63.车林仙 面向机构分析与设计的差分进化算法研究[学位论文]博士 2012

64.曹飞凤 基于MCMC方法的概念性流域水文模型参数优选及不确定性研究[学位论文]博士 2010

65.李明 异构传感器网络覆盖算法研究[学位论文]博士 2011

66.杨建国 电站锅炉煤粉空气富氧直接点火技术的理论及应用研究[学位论文]博士 2010

引用本文格式：杨启文.蔡亮.薛云灿.YANG Qi-Wen.CAI Liang.XUE Yun-Can 差分进化算法综述[期刊论文]-模式识别与人工智能 2008(4)