16.混沌现象的实验研究

实验十六 混沌现象的实验研究

【实验目的】

1、观察非线性电路振荡周期混沌现象, 从而对非线性电路及混沌理论有一个深刻了解。 2、了解有源非线性单元电路的特性。

【实验仪器】

1、非线性电路混沌实验仪 2、示波器 3、电感 4、电位器 5、测试用表棒和连接导线

非线性电路混沌实验仪

【实验原理】

目前，科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够完美处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。

混沌的发现和混沌学的建立，同相对论和量子论一样，是对牛顿确定性经典理论的重大突破，为人类观察物质世界打开了一个新的窗口。所以，许多科学家认为，20世纪物理学永放光芒的三件事是：相对论、量子论和混沌学的创立。

非线性动力学及分岔与混沌现象的研究是近二十多年来科学界研究的热门课题，已有大量论文对此学科进行了深入的研究。混沌现象涉及物理学、计算机科学、数学、生物学、电子学和经济学等领域，应用极其广泛。

1、非线性电路与非线性动力学

实验电路如图1所示，图1中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件，电感器L 和电容器C2组成一个损耗可以忽略振荡回路：可变电阻Rv1+Rv2和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出，较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。图2所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的，由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。

图(1) 图(2)

图1 电路的非线性动力学方程为：

C 1

dVc 1

=G ⨯(Vc 2-Vc 1)-g ⨯Vc 1 dt dVc 2C 2=G ⨯(Vc 1-Vc 2)+i L

dt

di

L L =-Vc 2 dt

式中，导纳G=1/（Rv1+Rv2）,Vc1和Vc2分别表示加在C1和C2上的电压，iL 表示流过电感器L 的电流，g 表示非线性电阻的导纳。

2、实验电路及实现

R6 220 R5 220

图(3) 图(4)

这个实验的电路如图（3）所示，其中R 是有源非线性负阻，其I –V 曲线如图（5）所示。

C1，C2 是电容，L 是电感，G 是可变电导，实验中通过改变电导值来改变参数的目的。

非线性元件的实现方法有许多种，这里使用的是Kennedy 于１993年提出的方法：使用两个运算放大器和六个电阻来实现的，其电路图如图（4）所示。它的特性曲线示意如图（5）所示。由于我们研究的只是元件的外部效应，即其两端电压及流过其电流的关系。因此，在允许的范围内，我们完全可以把它看成一个黑匣子，我们也可以利用电流或电压反位相等技术来实现负阻特性，这里就不一一讨论了。负阻的实现是为了产生振荡。非线性的目的是为了产生混沌等一系列非线性的现象。其实，得难说哪一个绝对线性的，我们这里特意去做一个非线性的元件只是想让非线性的现象更加明显。

图(5)

3、 实验现象的观察

将示波器调至CH1—CH2波形合成档，调节可变电阻器的阻值，我们可以从示波器上观察到一系列现象，最初仪器刚打开时，电路中有一个短暂的稳态响应现象，这个稳态响应被称作系统的吸引子（attractor ）, 这意味着系统的响应部分虽然初始条件各异，但仍会变化到一个稳态，在本实验中对于初始电路中的微小正负扰动，各对应于一个正负的稳态，当电导继续平滑增大时，到达某一值时，我们发现响应部分的电压和电流开始周期性地回到同一个值，产生了振荡，这时，我们就说，我们观察到了一个单周期吸引子（penod-one attractor）, 它的频率决定于电感与非线性电阻组成的回路的特性。 再增加电导时，我们就观察到了一系列非线性的现象，先是电路中产生了一个不连续的变化；电流各电压的振荡周期变成了原来的二倍。也称分岔（bifurcation ）。继续增加电导。我们还会发现二周期倍增到四周期，四周期倍增到八周期，如果精度足够，当我们连续地，越来越小地调节时就会发现一系列永无止境的周期倍增，最终在有限的范围内会成为无穷周期的循环，从而显示出混沌吸引（chaotic attractor ）的性质。

图（6）

需要注意的是，对应于前面所述的不同的初始稳态，调节电导会导致两个不同的但却是稳定的混沌吸引子，这两个混沌吸引子是关于零电位对称的。

实验中，我们很容易地观察到倍同期和四周期现象，再有一点变化，就会导致一个单漩涡状的混沌吸引子，较明显的是三周期窗口，观察到这些窗口表明了我们得到的混沌的解，而不是嗓声，在调节的最后，我们看到吸引子突然充满了原本两个混沌吸引子所占据的空间，形成了双漩涡混沌吸引子（double scroll chaotic attractor）。由于示波器上的每一点对应着电路中的每一个状态，出现双混沌吸引子就意味着电路在这个状态时，相当每一点对应着电路中的每一个状态，出现双混沌吸引子就意味着电路在这个状态时，相当于电路处于在最初的那个响应状态，最终会到达哪一个状态完全取决于初始条件。

【实验内容】

1、把电感器接入电路中，调节Rv1+Rv2阻值，在示波器上观测CH1—地和CH2地所构成的相图（李萨如图），调节电阻Rv1+Rv2值由大至小时（仪器中W1为粗调电位器，W2为细调电位器），描绘相图周期的分岔及混沌现象，将一个环形相图的同期定为P ，那么要求观测并记录2P ，4P ，阵发混沌，3P ，单吸引子（混沌），双吸引子（混沌）共六个相图和相应的CH1—地和CH2—地两个输出波形。

2、断开C1、C2，用电位器取代电感, 测量非线性单元电路在电压V 0时的伏安特性，作I —V 关系图。

实验数记录表格：

【思考题】

1、非线性负阻电路（元件），在本实验中的作用是什么？

2、通过本实验请阐述：倍同期分岔，混沌，奇怪吸引子等概念的物理含义。