③离散型随机变量及其分布列.期望及方差课后限时作业

课后限时作业（六十六）

（60分钟，150分） (详解为教师用书独有)

A 组

一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）

1．抛掷一颗骰子，设向上一面的数字为ξ，则ξ的可能取值有 ( ) A ．6个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 解析：ξ的可能取值为：1,2,3,4,5,6，故选A. 答案：A

2. 随机变量ξ

则E ξ= ( ) A.1 B.2.2 C.3.2 D.4 解析：E ξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2. 答案：B

3. 袋中有3个黑球，1个红球. 从中任取1个，取到黑球得0分，取到红球得2分，则所得分数ξ的数学期望为 ( ) A.0.5 B.0.8 C.1.4 D.1.6 解析：ξ的可能值有0，2，P(ξ=0)＝所以E ξ=0×答案：A

31，P(ξ=2)=. 44

13

+2×=0.5. 44

)

1

, 现连续抽取4次，其次品数记为ξ, 则D ξ的值为( 3

4881A. B. C. D. 3399

128⎛1⎫

解析：ξ~B 4, ⎪, 所以D ξ=npq=4∙∙=.

339⎝3⎭

4. 一批产品中，次品率为

答案：C

5. 已知随机变量ξ的概率分布如下：

B.

C.

A.

11 D. 39310

2⎛1⎫ 1-9⎪

2222133解析：由题意知+2+3+⋅⋅⋅+9+m =1，即+m =1，1-9+m =1,

1333331-3

1

所以m =9. 选C.

3

答案：C

2

392

310

6. 口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望EX 的值是 （ ） A ．4 B ．4.5 C ．4.75 D ．5 解析：X 的可能值为3,4,5, P (X =3) =

1， 10

36, P (X =5) =, 1010136

所以EX =3⨯+4⨯+5⨯=4. 5.

101010P (X =4) =

答案：B

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

7. 已知随机变量X 等可能的取值1,2,3，„，n ，若P (X

1

所以P (X ＝i ) ＝i ＝1,2,3，„，n ) ，

n

1113

又P (X

n n n n

所以n ＝10. 答案：10

8. 设随机变量X 的分布列为P (X ＝k ) ＝ak (k ＝1,2，3，„，n ) ，则常数a 等于 . 解析：由题设知a ＋2a ＋3a ＋„＋na ＝1， n n ＋12即a ＝1，所以a 2n n ＋12

答案：n n ＋19. 已知某离散型随机变量ξ的数学期望E ξ=

则a ＝解析：因为E ξ=0·a+1·答案：

7

, 其分布列为： 1171111+2·+3·b=, 所以b=. 又a+++b=1,所以a=. 3666363

1

3

1

(k=1,2,3,4)，则E ξ= . n

10. 设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=

解析：因为P （ξ=1）+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=1,

11111+++=1⇒n =4. 即P （ξ=k）=, n n n n 4

11115

所以E ξ=1×+2×+3×+4×=.

444425答案：

2

所以

三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 11. 今有4种股票和3种基金，李先生欲购买其中的任意3种，记购买基金的种数为ξ, 求ξ

的分布列及数学期望.

所以E ξ=0⨯+1⨯+2⨯+3⨯==.

[1**********]

12. 已知某运动员投篮命中率为0.6．现重复投篮5次，记命中次数为X ，求X 的期望和方差． 解：由题知，X~B(5,0.6)，所以EX ＝np=5×0.6=3, DX=npq=5×0.6×0.4=1.2.

B 组

一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 1. （2011届·广州质检）随机变量ξ的概率分布规律为P (ξ＝k ) ＝5⎛1

其中C 是常数，则P ξ＜的值为

2⎭⎝2

234

A. B. C. 345

51

解析：P ξ＜＝P (ξ＝1) ＋P (ξ＝2) ．

2⎭⎝2

由P (ξ＝1) ＋P (ξ＝2) ＋P (ξ＝3) ＋P (ξ＝4) ＝1得 C C C C 60＋1，C 26122048

3010405

则P (ξ＝1) ＋P (ξ＝2) ＝＋.

4848486

答案：D

2. 设ξ是离散型随机变量，P (ξ=x 1) =

C

，k ＝1,2,3,4，

k k ＋1

( )

5D. 6

21

, P (ξ=x 2) =，且x 1

D.

( )

42

E ξ=, D ξ=, 则x 1+x2的值为

3957

A. B. C.3 33

214

解析：E ξ=x 1+x 2=⇒2x 1+x 2=4. .

3332⎛4⎫1⎛4⎫2

又D ξ= x 1-⎪+ x 2-⎪=,

3⎝3⎭3⎝3⎭9

2

2

11

3

解得x 1=1,x2=2,所以x 1+x2=3. 答案：C

二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

3．P (ξ≤n ) ＝1－a ，P (ξ≥m ) ＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n ) 等于 . 解析：根据随机变量所有取值的概率的和为1，

则P (m ≤ξ≤n ) ＝P (ξ≤n ) ＋P (ξ≥m ) －1

＝1－(a ＋b ) ． 答案：1－(a ＋b )

则EX 的最大值为 ，DX 的最大值为 .

111-p ≤，且0≤p ≤, 222113

所以0≤p ≤,EX=p+1≤+1=,

222

解析：因为0≤

11⎫5⎛1⎫⎛22

DX = -p ⎪(p +1)+p ∙p 2+(p -1)=- p +⎪+,

22⎭4⎝2⎭⎝

13

所以当p =时，(E ξ)m ax =,

22

当p=0时，(D ξ)m ax =1.

3

答案： 1

2

三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）

5. （2009·安徽）某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染的. 对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是

2

11

, 同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是, 在这种假定下，B 、C 、D 23

中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量. 写出X 的分布列，并求出X 的均值（数学期望）.

解：由题知，感染渠道有6种，如下所示：

6. （2009·浙江）在1，2，3，„，9这9个自然数中，任取3个数. （1）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；

（2）记ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ值为2），求随机变量ξ的分布列及数学期望. 解：(1)记“这3个数中恰有1个是偶数”的事件为A ，

12C 4C 510

=则P (A ) =. 2

C 921

（2）随机变量ξ的取值为0，1，2，ξ的分布列为：

所以E ξ=0⨯+1⨯+2⨯=.

152123