概率论公式
概率论公式
1.随机事件及其概率
A ⋃Ω=Ω
A ⋂Ω=A
吸收律:A ⋃∅=A
A ⋂∅=∅
A ⋃(AB ) =A
A ⋂(A ⋃B ) =A
A -B =A B =A -(AB )
反演律:A ⋃B =A B AB =A ⋃B
n
n
n
n
A
i
=
A
i
A
i
=
A
i
i =1
i =1
i =1
i =1
2.概率的定义及其计算
P (A ) =1-P (A )
若A ⊂B ⇒P (B -A ) =P (B ) -P (A )
对任意两个事件A , B , 有 P (B -A ) =P (B ) -P (AB )
加法公式:对任意两个事件A , B , 有
P (A ⋃B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB )
1
P (A ⋃B ) ≤P (A ) +P (B )
n
n
n
P ( A i ) =
∑P (A
i
) -
∑P (A
i
A j ) +
∑P (A
i
A j A k ) + +(-1)
n -1
P (A 1A 2 A n )
i =1
i =1
1≤i
1≤i
3.条件概率
P (B A )=
P (AB ) P (A )
乘法公式
P (AB ) =P (A ) P (B A )(P (A ) >0)
P (A 1A 2 A n ) =P (A 1) P (A 2
A 1) P (A n A 1A 2 A n -1)
(P (A 1A 2 A n -1) >0)
全概率公式
n
n
P (A ) =
∑P (AB
i
) =
∑P (B i
) ⋅P (A
B i )
i =1
i =1
Bayes 公式 P (B ) P (A B k )
k A ) =
P (AB k ) P (A )
=
P (B k n
∑P (B i
) P (A
B i )
i =1
4.随机变量及其分布
2
分布函数计算
P (a
=F (b ) -F (a )
5.离散型随机变量
(1) 0 – 1 分布
P (X =k ) =p k
(1-p )
1-k
, k =0, 1 期望为p, 方差为pq 。
(2) 二项分布 B (n , p ) 若P ( A ) = p
P (X =k ) =C k
k
k
n p (1-p )
n -, k =0, 1, , n
期望np ,方差npq 。
*Possion 泊松定理
lim →∞
np n =λ>0
n 有
lim C k k n -k
n →∞
n p n
(1-p n )
=e
-λ
λ
k
k !
k =0, 1, 2,
期望与方差均为λ。
(3) Poisson 泊松分布 P (λ)
3
k
P (X =k ) =e
-λ
λ
k !
, k =0, 1, 2,
6.连续型随机变量
(1) 均匀分布 U (a , b ) ⎧1
f (x ) =⎪
a
, a
⎪⎩
0, 其他
⎧0, ⎪
F (x ) =⎪⎨x -a
b -a ,
⎪⎪⎩
1期望为(a+b)/2, 方差为(b-a )²/12 (2) 指数分布 E (λ)
⎧-λx
f (x ) =⎪λe ,
x >0⎨
⎪⎩0,
其他
F (x ) =⎧0,
x
,
x ≥0
期望
1/λ
,方差为1/λ²。
(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
4
-
(x -μ) 2
f (x ) =
12πσ
e 2σ
2
-∞
-μ) 2
F (x ) =
1x -
(t 2σ
2
2πσ
⎰
-∞
e d t
*N (0,1) — 标准正态分布 x
2
ϕ(x ) =
12πe
-
2
-∞
2
Φ(x ) =
12π
⎰
x
-
t
2
-∞
e
d t -∞
7. 多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数 F (x , y ) =
⎰x y
-∞
⎰
-∞
f (u , v ) dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数 F x +∞
X (x ) =
⎰-∞
⎰
-∞
f (u , v ) dvdu
f X (x ) =⎰
+∞
-∞f (x , v ) dv
F ⎰y
+∞
Y (y ) =-∞
⎰
-∞
f (u , v ) dudv
f Y (y ) =
⎰
+∞
-∞
f (u , y ) du
5
8.
连续型二维随机变量
(1)
区域G 上的均匀分布,U ( G )
⎧f (x , y ) =⎪1⎨,
(x , y ) ∈G
⎪A
⎩0,
其他
(2)
二维正态分布
1
⎡21
-
⎢(x -μ1
) 2(x -μ1)(y -μ2) (y -μ2) ⎤f (x , y ) =
⨯e
2(1-ρ2
) ⎣⎢σ2-2ρ+⎥1σσ2
1σ22⎥⎦
2πσ1σ
2
-ρ
2
-∞
9.
二维随机变量的 条件分布f (x , y ) =f X (x ) f Y
X
(y x )
f X (x ) >0 =f Y (y ) f X Y (x y ) f Y (y ) >0
f X (x ) =
⎰+∞
+∞
-∞
f (x , y ) dy =
⎰-∞
f X Y (x y ) f Y (y ) dy
f ⎰
⎰
+∞
Y (y ) =
+∞-∞
f (x , y ) dx =
-∞
f Y
X
(y x ) f X (x ) dx
f X (x y ) =
f (x , y ) f =
f Y
X
(y x ) f X (x ) Y (y ) f Y (y )
f f (x , y ) Y
X
(y x ) =f =
f X Y (x y ) f Y (y )
X (x )
f X (x )
10.
随机变量的数字特征
数学期望
+∞
E (X ) =
∑x
k
p k
k =1
E (X ) =
⎰
+∞
-∞
xf (x ) dx
随机变量函数的数学期望
6
E ((X -E (X ))(Y -E (Y )) )
X 的 k 阶原点矩
E (X k
)
X 的 k 阶绝对原点矩
E (|X |k
)
X 的 k 阶中心矩
E ((X -E (X )) k
)
X 的 方差
E ((X -E (X )) 2
) =D (X )
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
E (X k
Y l
)
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
E (
(X -E (X )) k (Y -E (Y ))
l
)
X ,Y 的 二阶混合原点矩
E (XY )
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
X ,Y 的相关系数
E ⎛ (X -E (X ))(Y -E (Y )) ⎫
⎪D (X ) D (Y ) ⎪=ρXY ⎝
⎭
X 的方差
D (X ) = E ((X - E(X ))2)
D (X ) =E (X 2
) -E 2
(X )
协方差
cov(X , Y ) =E ((X -E (X ))(Y -E (Y )) )
=E (XY ) -E (X ) E (Y )
=±
12
(D (X ±Y ) -D (X ) -D (Y ) )
相关系数
ρcov(X , Y ) XY =D (X )
D (Y )
7