周长最小问题
周长最短问题
1、在直角坐标系中, 设A （4，-5）B （8，-3）C （m ，0）D （0，n ）,,, 当四边形
分析：设A 点关于x
轴的对称
点
为A ′，则A ′（-6，-3），B 点关于y 轴的对称点是B ′（2，5），设直线A ′B ′解析式为y=kx+b，把A ′（-6，-3），B ′（2，5）代入得k=1，b=3，所以y=x+3，令x=0，得y=3，令y=0，得x=-3，即m=3，n=-3，即m+n=0． 2．（2008•内江）如图，当PABN 的周长最小时，3、．如图：已知ABCD ，∠BAD=120°，CB ⊥AB ，CD ⊥AD 且AB=AD=3，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，那么△AEF 的周长．
4、在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为A （3，2），B （1，5）． （1）若点P 的坐标为（0，m ），当m= 时，△PAB 的周长是 ； （2）若点C 、D 的坐标分别为（0，a ）、（0，a+4），则当a= 时，ABDC 的周长最短．
5、如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB=30°，OP=3
，则△PMN 的周长的最小值为．
6、如图，A 、B 是直线a 同侧的两定点，定长线段PQ 在a 上平行移动，问PQ 移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？
作法：(假设P'Q' 就是在直线L 上移动的定长线段)
1) 过点B 作直线L 的平行线, 并在这条平行线上截取线段BB', 使它等于定长P'Q'
； 2) 作出点A 关于直线L 的对称点A' ，连接A'B' ，交直线L 于P ； 3) 在直线L 上截取线段PQ=P'Q. . 则此时AP+PQ+BQ最小.
略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB' 与P'Q'BB' 均为平行四边形
. 下面只要说明AP+BQ
点A 与A' 关于直线L 对称，则AP=A'P,AP'=A'P'. 故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B';
AP'+BQ'=A'P'+B'P'.显然,A'B'
7、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A ) 和世界级自然保护区星斗山(B ) 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和
S 1=PA +PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2=PA +PB ．
（1）求S 1、S 2，并比较它们的大小；
（2）请你说明S 2=PA +PB 的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、
B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
提示：涉及勾股定理、点对称、设计方案。 第（3）问是“三折线”转“直”问题 。
再思考-------设计路线要根据需要设计，是P 处分别往A 、B 两处送呢，还是可以先送到A 接着送到B 。本题是对所给方案进行分析，似乎还容易一些，若要你设计方案，还需
Q
图(1)
x
P
考虑一个方案路线，P →A →B 。 (1)在图(1)中
过点A 作AC ⊥BQ 于点C ，则BC = BQ-CQ =40-10= 30， AB= 40，在Rt △ABC 中，
根据勾股定理，得AC = 40，所以PQ = 40
在Rt △BPQ 中，根据勾股定理，得PB = 402 ， 所以S 1= PA+PB = 10+40 在图(2)中
S 1 = A'B = PA+PB =A'C + BC = 50 + 40 = 1041 (2)如图(2)在△EA'B 中，有EB+EA'>A'B 因为S 1= EB+EA'，S 2= A'B ，所以S 1> S2 (3)如图(3)
分别作点A 、B 关于x 轴、y 轴的对称点A' ，B' ，连接A'B' ，交x 轴、y 轴于点P 、Q ，则四边形PABQ 的周长最小，
构造如图在Rt △A'B'C 中，B'C = 30+30+40 = 100， A'C = 10 +40 =50 ，所以A'B' = 100 + 50 =505