抛物线的焦点弦问题
抛物线的焦点弦问题
知识回顾:
已知AB 是抛物线的焦点弦,F 为抛物线焦点,为抛物线的准线,过A 、B 分别作准线l 的垂线,垂足分别为C 、D 。求证:
p 2
(1)x 1x 2=y 1y 2=-p 2 4
(2)AB =x 1+x 2+p =
(3)S ∆AOB 2p (θ为直线AB 与y 轴的夹角) 2sin θp 2= 2sin θ
(4)11为定值。 +AF BF
(5)以AB 为直径的圆与抛物线准线l 相切。
(6)以AF 为直径的圆与y 轴相切。
(7)CF ⊥DF 。
(8)A 、O 、D 共线。
典型例题:
1. 过抛物线y =4x 的焦点作直线,交抛物线于A(x 1, y 1) ,B(x 2, y 2) 两点,如果x 1+ x 2=6,那么|AB|=( )
A .8
2、2. 过抛物线y =ax (a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ,则2 2 B.10 C.6 D.4 11+等于( ) p q
B. A.2a 14 C .4a D . 2a a
23. 已知F 是拋物线y =x 的焦点,A ,B 是该拋物线上的两点,|AF |+|BF |=3,则线段AB 的中点到y 轴的
距离为 ( )
3 A. 4
1
既然选择了远方,便只顾风雨兼程。 5B .4 7D. 4
4. 已知点A(2,0),抛物线C:x=4y的焦点为F, 射线FA 与抛物线C 相交于点M, 与其准线相交于点N, 则
|FM|:|MN|= ( )
A .2:
5. 已知抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点弦AB 的两端点为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) , 则关系式 B .1:2 C .1: D .1:3 2y 1y 21x 2值一定等于 ( )
B .-4 C .p 2A .4
D .-p
6. 已知抛物线C :y 2=8x 与点M (-2, 2), 过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A , B 两点, 若 MA MB =0, 则k =( )
A .
7. 过抛物线y 2=ax (a >0) 的焦点F 作一直线交抛物线于A , B 两点,若线段AF , BF 的长分别为m , n ,则mn 等于 ( ) m +n 1 2B
. 2C
D .2
A.
1 B. 1 C. 2a D. a 2a 44a
28. 直线l 经过抛物线y =2px (p >0)的焦点F ,且与抛物线交于A 、B 两点,与其准线相交于点C , 若
BC =2BF , AF =3, 则此抛物线方程可能为( )
A .y =23x 9x 2 B .y 2=9x C .y = D .y 2=3x 22
9. 已知直线y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点.若|F A |=2|FB |,则k =___________。
10. 设O 为抛物线y =2px (p >0)的顶点,PQ 为其过焦点F 的弦,若OF =a , =b ,求S ∆OPQ . 。 2
2
既然选择了远方,便只顾风雨兼程。
11.以抛物线y 2=2px (p >0)的一条焦点弦AB 为直径的圆与准线相切于点(-2, -3),求此抛物线和圆的方程。
12. 直线y =x -2与抛物线y 2=2x 相交于A , B 两点,求证:OA ⊥OB
13. 如图已知∆AOB 的一个顶点为抛物线y 2=2x 的顶点O ,A 、B 两点都在抛物线上,
∠AOB =
900.
(1) 证明直线AB 必过一定点;
(2) 求∆AOB 面积的最小值.
3
既然选择了远方,便只顾风雨兼程。 且