量子力学 第三章 表象理论
第三章表象理论
本章提要：本章讨论态矢和算符的具体表示形式。首先，重点讨论了本征矢和本征函数、态矢量和波函数之间的关系，指出了函数依赖于表象。之后，引入投影算符，讨论了不同表象下的态矢展开，尤其是位置和动量表象，并顺带解决了观测值问题。接着，用投影算符统一了态矢内积与函数内积。最后，简单介绍了一些矩阵力学的内容。
1. 表象：完备基的选择不唯一。因此可以选用不同的完备基把态矢量展开。除了态矢量，算符在不同表象下的具体表示也不同。因此，我们把态矢量和算符的具体表示方式统称为表象 ①使用力学量表象：我们还知道每个力学量对应的（厄米）算符的本征矢都构成一组完备基。若选用算符G 的（已经标准正交化（离散谱）或规格正交化（连续谱））的本征矢作为态空间的基，就称为使用G 表象的描述
②波函数：把态矢展开式中各项的系数（“坐标”）定义为G 表象下的波函数
ˆψ(G )=Q ψ(G ) ˆψ=λψ又可写作Q ③本征函数与本征矢的关系：设本征方程Q
ˆψ=G Q ψ=Q G ψ=Q ψ(G )=Q ˆψ(G )=Q ˆψ 则两边乘G 有G Q
ˆ下的“坐标”ˆ的本征态ψ在表象G 因此：本征函数ψ(G )=G ψ就是Q （波函数） ˆ的G 方向上的“坐标” ˆ的本征态ψ在表象G 如果离散谱：ψ(G i )=i ψ就是Q i
④结论：算符和态矢量的抽象符号表示不依赖于表象，具体形式依赖于表象选择
但本征函数和波函数相当于“坐标”，依赖于态矢（向量）和表象（基）
*注意：第二章在展开态矢量、写算符和本征函数时使用都是位置表象（也称坐标表象）
2. 投影算符：我们将使用这个算符统一函数与矢量的内积符号
ˆ=（1）投影算符：令P
∑i i (离散谱)=⎰G
i
G (连续谱)，称为投影算符
（2）算符约定：求和或积分遍历算符G 的标准（或规格）完备正交基矢量
ˆψ=ψ=I ˆψ，表明投影算符就是单位算符 （3）本征方程：P
ˆ=（4）单位算符代换公式：I ∑i i (离散谱)=⎰G G (连续谱)
i
3. 不同表象下的态矢量展开和波函数：
①离散谱：=
∑F
i
i
ˆ表象下的波函数 F i ，ψi =F i 为F
{ψi }可表示为一列矩阵，第i 行元素就是ψi =
ˆ
表象展开=观测值恰为Q i 的概率：用Q
i
F i ψ
2
2
∑Q i Q i ，Pr ob =i =i
概率归一等价于波函数归一
∑i ==1
i
2
ˆ=ˆ
的观测平均值：Q 算符Q
ˆ
ψ=②连续谱：=I
2
ˆψ
Q ∑i i =Q i
⎰G
2
ˆ表象下的波函数 G dG ，ψ=称为G
ˆ
表象展开=观测值落在Q ~Q +dQ 范围内的概率：用Q
Pr ob =dQ =2
⎰Q
Q ψdQ ，
dQ ，满足概率归一⎰dQ =1
2
ˆ=Q (Q )2dQ =ψ, Q ˆψ ˆ的观测平均值：Q 算符Q
⎰
()
③本征函数和态矢量的内积统一：设f =f ，g =Q g ，有
ˆg =f Q g dQ =Q f f g =f I ⎰⎰
*
g dQ =⎰f *gdQ =(f , g )
结论：量子态f g 在同一表象Q 下投影得波函数f ,
g ，则f g =(f , g )
ˆϕ=Q ˆψ, ϕ=算符对本征函数作用：ψ, Q
ˆp ˆϕ=I ˆϕ=示例：p
()()
ˆϕ=Q ˆϕ=Q ˆ Q
**
ˆˆˆϕdx =(ψ, p ˆϕ)x x p ϕdx =ψp x ϕdx =ψ⎰⎰⎰p
④位置表象与动量表象：
4. 力学量的测量值问题：
ˆψ=Q ψ，对系统中所有粒子的测量结果都是①当待测系统处于算符本征态：此时Q
ˆ=Q 。这相当于对非本本征态ψ对应的本征值Q i ，显然Q i 的统计平均值还是Q i ，Q i
征态做了第二次测量的情况（已经坍缩了！）
ˆ的本征值，但对任一粒子都无法②当待测系统处于非算符本征态：此时测量结果一定是Q
确定得到哪一个本征值，只能计算出测到某个本征值的概率。这时，使用统计力学观点考察
ˆ=系综平均值，就是Q
2
ˆ=Q (Q )2dQ =ψ, Q ˆψˆψ或Q Q =Q ∑i i ⎰i
(
)
（思路解说：对每个本征值Q i 找到对应的本征矢Q i ，计算波函数Q i 测值恰为Q i ”的概率i ，再乘上本征值求和）
2
的模方得到“观
ˆ=③两个不等价的定义式：根据动量算符推导过程我们自然地定义Q
⎰
∞
-∞
ˆψdx 。但这ψ*Q
个定义与上面提出的系综平均公式并不总是等价的，其适用范围甚至比后者要小！
ˆ=ψ(p )(p )ψdp ，所以与x ˆ形式相（1）再考察平均值：实际上，在动量表象中有p
⎰
*
ˆ=ψ, Q ˆψ 匹配的真正的平均值定义式应该是Q
（2）异类波函数：并非所有波函数都能归一化，譬如自由粒子波函数就像动量本征函数那样无法归一化，换而言之平方不可积，此时
5. 算符和态矢在Q 表象下的矩阵形式（离散谱）： ①算符作用于态矢：
()
⎰
∞
-∞
ˆψdx 失效，但系综公式仍可用 ψ*Q
ˆα=β⇒∑Q M ˆQ Q α=Q β⇒∑M α=β⇒M α=β M i j j i ij j i ij j i
j
j
ˆ=β⇒∑Q Q M ˆQ =βQ ⇒∑α*M =β*⇒α*M =β* M j j i i j ji i j ji i
j
j
ˆ为算符M ˆ在Q 表象下的矩阵元 （1）矩阵元：M ij =Q i M j
（2
）右矢：αj =Q j α为右矢
α在Q 表象下的（第j 行）列矩阵元
*
（3）左矢：αj =Q j 为共轭左矢
在Q 表象下的（第j 列）行矩阵元
ˆ=ψM ˆψ=②算符的期望值：M
∑
i , j
ˆQ Q ψ=∑α*M α ψQ i Q i M j j i ij j
i , j
ˆ③算符的本征方程：M
α=λα⇒
∑M α
ij j
j
=λ∑δij αj
j k
k
④表象变换：若αk =k
，βj =R j ψ，则βj =∑R j Q k k =∑S jk αk
H H
把矩阵S jk =R j Q k 称为表象Q 到R 的变换矩阵，有性质SS =S S =I ，数学上称它
为幺正矩阵（或酉矩阵），特征是向量的范数在变换前后保持不变
ˆ=6. 附录1：Q
2
ˆψ的推导 Q ∑i i =Q i
投影
本征方程
ˆ=已知i =
ψi ，Q
因此
算符
ˆQ =∑Q i i
i
∑Q Q
i i
i
Q i ψ=∑Q i (Q i i )
i
2*ˆψ=()()Q Q Q Q =ψQ ψ=Q ∑i i i ∑i i i ∑i i
i
i
i
ˆ附录二：本征方程M
α=λα矩阵形式的推导
ˆQ ∑M
i j j
j
ˆα=等式左边乘Q i = i M
等式右边乘Q i = i
前三章总论
Q j α=∑M ij αj
j j
j
λα=λ∑Q i Q j Q j α=λ∑δij αj =∑M ij αj
①态矢量与狄拉克符号描述的优势：从以上两公式的推导中显然易见括号表示的优势——尖端的左右朝向内含了左右矢共轭关系、括号按从左到右顺序来结合，写态矢不需要给出表象，写内积不需要写长积分式，能简单地区分本征矢（带括号）和本征值（不带括号）等。但这套符号被沿用至今的最重要的一点还是在于表述简洁，毕竟简单就是美。
②量子力学选择希尔伯特空间的理由
（1）物理要求上，玻恩指出波函数的模方应该能代表概率密度。
（2）从双缝实验得到的启示是状态应该具有可加性，所以态用矢量描述最合适。 （3）态是矢量，概率是数，描述由矢量到数的映射，可以选择的最合适的数学工具就是内积，但内积有正负，所以取内积模方为几率。定义这样的内积就得到内积空间。
（4）状态有无穷多个，所以内积空间维数无穷大。有限维下不会有向量跑出空间，但无限维下就要谨慎考虑这个问题。为了不让任何一个物理态跑出空间，数学上来说就要求空间要完备。没有完备性这个保证，无法保证任何态都能表示成一些本征态的叠加，也无法保证左右矢是一一对应的。
（5）综上，要找的是完备的内积空间，这就是希尔伯特空间。