直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理
一、选择题
1. (2014•山东枣庄,第3题3分)如图,AB∥CD,AE交CD于C,∠A=34°,∠DEC=90°,则∠D的度数为( )
是斜边AC的中垂线,分别交AB、AC于D、E两点.若BD=2,则AC的长是( )
连接AC交DE于点F,点G为AF的中点,∠ACD=2∠ACB.若DG=3,EC=1,则DE的长为( )
BE的垂直平分线MN恰好过点C.则矩形的一边AB的长度为( )
A. C. D. 2
考点: 勾股定理;线段垂直平分线的性质;矩形的性质.
分析: 本题要依靠辅助线的帮助,连接CE,首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC.求出EC后根据勾股定理即可求解.
解答: 解:如图,连接EC.
∵FC垂直平分BE,
∴BC=EC(线段垂直平分线的性质)
又∵点E是AD的中点,AE=1,AD=BC,
故EC=2 1 B.
利用勾股定理可得AB=CD=
故选:C. =.
点评: 本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质,本题的关键是要画出辅助线,证明BC=EC后易求解.本题难度中等.
二、填空题
1. (2014•山东威海,第17题3分)如图,有一直角三角形纸片ABC,边BC=6,AB=10,∠ACB=90°,将该直角三角形纸片沿DE折叠,使点A与点C重合,则四边形DBCE的周长为 18 .
2. (2014•山东枣庄,第18题4分)图①所示的正方体木块棱长为6cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图②的几何体,一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 (3+3) cm.
二丈周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?,题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是__________尺.
考点:平面展开-最短路径问题;勾股定理的应用.
分析:这种立体图形求最短路径问题,可以展开成为平面内的问题解决,展开后可转化下图,所以是个直角三角形求斜边的问题,根据勾股定理可求出.
解答:解:如图,一条直角边(即木棍的高)长20尺,
另一条直角边长5×3=15(尺),因此葛藤长20=25(尺).
故答案为:25
点评:本题考查了平面展开最短路径问题,关键是把立体图形展成平面图形,本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解.
4. 半径为2,点O2在射线OB上运动,且⊙O2始终与OA相切,当⊙O2和⊙O1相切时,⊙O2
的半径等于 .
22
考点:圆和圆相切的性质,勾股定理.
分析: 作O2C⊥OA于点C,连接O1O2,设O2C=r,根据⊙O1的半径为2,OO1=7,表示出O1O2=r+2,O1C=7﹣r,利用勾股定理列出有关r的方程求解即可.
解答:如图,作O2C⊥OA于点C,连接O1O2,
设O2C=r,∵∠AOB=45°,∴OC=O2C=r,
∵⊙O1的半径为2,OO1=7,
∴O1O2=r+2,O1C=7﹣r,
∴(7﹣r)2+r2=(r+2)2,解得:r=3或15,
故答案为:3或15.
点评:本题考查了圆与圆的位置关系,解题的关键是正确的作出图形,难度中等.
5. (2014•江西抚州,第14题,3分)如图,两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C'重合在一起,将三角板A'B'C'绕其顶点C'按逆时针方向旋转角α(0°
①当α=30°时,A'C与AB的交点恰好为AB的中点;
②当α=60°时,A'B'恰好经过点B;
③在旋转过程中,存在某一时刻,使得AA'BB';
④在旋转过程中,始终存在AA'BB',
其中结论正确的序号是 ① ② ④ .(多填或填错得0分,少填酌情给分)
解析:如图1,∵α=30°,∴∠ACA′=∠A=30°,∠BCA′=∠B=60°,∴DC=DA,DC=DB,∴DA=DB,∴D是AB的中点.正确
如图2,当α=60°时,取A′B′的中点E,连接CE,则∠B′CE=∠B′CB=60°,又CB=CB′,∴E、B重合,∴A′、B′恰好经过点B.正确
如图3,连接AA′,BB′,则⊿CAA′∽⊿CBB′,
∴AAACtan60∴AA′
′.BBBC
错误
如图4,∠A′B′D=∠CBB′-60°,∠B′A′D=180°-(∠CA′A+30°),
∴∠A′B′D+∠B′A′D=90°+∠CBB′-∠CA′A
∵ ∠CBB′=∠CA′A ,
∴∠A′B′D+∠B′A′D=90°,即∠D=90°,
∴AA′⊥BB′.正确
∴①,②,④正确
.
6. (2014年湖北咸宁13.(3分))如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°,点C是上的一个动点(不与A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.若DE=1,则扇形OAB的面积为
.
考点: 三角形中位线定理;垂径定理;扇形面积的计算.
分析: 连接AB,由OD垂直于BC,OE垂直于AC,利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点,即ED为三角形ABC的中位线,即可求出AB的长.利用勾股定理、OA=OB,且∠AOB=90°,可以求得该扇形的半径.
解答: 解:连接AB,
∵OD⊥BC,OE⊥AC,
∴D、E分别为BC、AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴AB=2DE=2.
又∵在△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,
∴OA=OB=AB=,
∴扇形OAB的面积为:故答案是:.
=.
点评: 此题考查了垂径定理,勾股定理,扇形面积的计算以及三角形的中位线定理,熟练掌握定理是解本题的关键.
7. (2014•年山东东营,第14题3分)如图,有两棵树,一棵高12米,另一棵高6米,两树相距8米,一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,问小鸟至少飞行 10 米.
考点: 勾股定理的应用.
分析: 根据“两点之间线段最短”可知:小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,所行的路程最短,运用勾股定理可将两点之间的距离求出.
解答: 解:如图,设大树高为AB=12m,
小树高为CD=6m,
过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是矩形,
连接AC,
∴EB=6m,EC=8m,AE=AB﹣EB=12﹣6=6(m),
在Rt△AEC中,AC=
故小鸟至少飞行10m.
故答案为:10.
=10(m).
点评: 本题考查了勾股定理的应用,根据实际得出直角三角形,培养学生解决实际问题的能力.
8.(2014•四川宜宾,第14题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕,则EB′= 1.5 .
三边长为 5或
.
10.(2014•
四川凉山州,第26题,5分)如图,圆柱形容器高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 20 cm.
11.(2014•甘肃白银、临夏,第13题4分)等腰△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是 cm.
三、解答题
1. (2014•上海,第22题10分)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH.
(1)求sinB的值;
(2)如果CD=,求BE的值.
2. (2014山东济南,第27题,9分)如图1,有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4,正方形ABCD的四个顶点分别在l1,l2,l3,l4上,EG过点D且垂直于l1于点E,分别交l2,l4于点F,G,EFDG1,DF2.
(1)AE ,正方形ABCD的边长= ;
EG绕点A顺时针旋转得到AED,旋转角为(090),点D(2)如图2,将A
在直线l3上,以AD为边在的ED左侧作菱形ADCB,使点B,C分别在直线l2,l4上. ①写出BAD
与的函数关系并给出证明;
②若30,求菱形ADCB的边长.
RTGDC【解析】(1)在RTAED, 中,AD=DC,又有ADE和DAE互余,ADE和
CDG互余,故DAE和CDG相等,AEDGDC,知AEGD1,
22 又AD123,所以正方形ABCD的边长为3.
’,RTAEDABM (2)①过点B作BM垂直于l1于点M,在RT中,
’BM=AE’,AD=AB,故RTAE’DRTABM,所以DAE,BAM互余,BAD
与之和为90,故BAD=90-.
②过E点作ON垂直于l1分别交l1,l2于点O,N,
若30,EDN60,AE=1,故EO=15, E
N=, ED,
223
3.(( 2014年河南) 22.10分)(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE 填空:(1)∠AEB的度数为 60 ;
(2)线段AD、BE之间的数量关系是。
解:(1)①60;②AD=BE. …………………………………………2分
提示:(1)①可证△CDA≌△CEB,
∴∠CEB=∠CDA=1200,
又∠CED=600,
∴∠AEB=1200-600=600.
②可证△CDA≌△CEB,
∴AD=BE
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等边三角形,∠ACB=∠DCE=900, 点
A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE。
请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明
理由。
解:(2)∠AEB=900;AE=2CM+BE. …………………………4分
(注:若未给出本判断结果,但后续理由说明完全正确,不扣分)
理由:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB =∠DCE= 900,
∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE
∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………………6分
∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=1350-450=900.……………………………7分
在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,
∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.
∴AE=DE+AD=2CM+BE……………………………………………………8分
(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD中,CD
P满足PD=1,且∠BPD=900,请直接写出点A到BP的距离。
(3)
11或………………………………………………………10分 22
【提示】PD =1,∠BPD=900,
∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线,点P为切点.
第一种情况:如图①,过点A作AP的垂线,交BP于点P/,
可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1,
CD
∴BD=2,BP
∴AM=1/1PP=(PB-BP/
22 第二种情况如图②,
可
AM
得1/1PP=(PB+BP/
22