2013年工程硕士班应用概率统计试卷与答案

2013年工程硕士班应用概率统计试卷

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1. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有80%的可能考试不及格.据调查，学生中有70%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}。由题意知

PA0.7，PA0.3，又设B={被调查学生考试及格}。由题意知PBA0.9，

PBA0.8，故由贝叶斯公式知

（1）PAB





PBAPA0.30.22

PPABBPBAP

APBAPA0.70.90.30.223

2 23

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占

PBAPAPBA0.70.17

 （2）PAB

PPBAPAPBAPA0.70.10.30.831



7

31

即考试不及格的学生中努力学习的学生占

2.已知随机变量X的密度函数为

fxAe

2x

,x

求：（1）A值；（2）P0x2; (3) Fx 【解】（1） 由







f(x)dx1得 1Ae

2



2x

dx2Ae2xdxA，故A1



1

1e4 0

2x12x2x

(3) 当x

2

(2) P0x2

e2xdx



当x≥0时，Fx

x12x2x2x

edxedx1e 0

20

12x

e,x02

故 Fx

11e2x,x02

3.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（45，15）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（55，4）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有50分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N（45，152），则

2

2

X456045

PX60P1.00.8413

1515

若走第二条路，X~N（55，4），则

2

X556055

PX60P1.250.8944

44

故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2） 若X~N（45，152），则

X455045

PX50P0.33330.6305

1515

若X~N（55，4），则

2

X555055

PX50P1.25 4411.250.1056

故走第一条路乘上火车的把握大些.

求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； 【解】（1）P{X2|Y2}

P{X2,Y2}PX2,Y20.055



0.2626P{Y2}

PXi,Y2

i0

PX0,Y20.021P{Y3,X0} P{Y3|X0}3

0.063P{X0}

PX0,Yj

j0

5. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1

名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有900名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1） 求参加会议的家长数X超过980的概率？

（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于750的概率.

【解】（1） 以X

900i1

易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,…,900. 而X

900i1

X

i

,由中心极限定理得

X

于是

i

9001.1



0.19

X9001.1

~N0,1

19

9809001.1

PX9801PX9801

919

10.7647

10.22220.7778

(2) 以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(900,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得

7509000.8

PY7502.50.9938

9000.80.2

6. 在一定保险公司里有20000人参加保险，每人每年付16元保险费，在一年内一个人死亡

的概率为0.005,死亡者其家属可向保险公司领得2000元赔偿费.求：

（1） 保险公司不能盈利的概率为多大；

（2） 保险公司一年的利润不少于100000元的概率为多大？ 【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（20000，0.005）.

(1) 公司不能盈利当且仅当2000X2000016，即X160 于是所求概率为

160200000.005

PX1601PX1601

200000.0050.995

16.01510

(2) 因为“公司利润≥100000”当且仅当“0≤X≤110”于是所求概率为

110200000.0050200000.005

P0X110

200000.0050.9950.0050.995 1.002510.02510.842

7.随机变量X服从［0，上的均匀分布，今得X的样本观测值：1.1,0.7,0.1,0.6,0.4,0.6,0.3,0.2，］

求的矩法估计和极大似然估计

【解】(1) E(X)



2

,令E(X)X，则

ˆ2X且E(ˆ)2E(X)2E(X), 

ˆ2x20.51.0 所以θ的矩估计值为

1

(2) 似然函数Lfxi,,0xi,i1,2,,8

i1

显然maxxi时，L达到最大

1i8

8

8

ˆ1.1 所以的极大似然估计值

8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.08,今随机抽取8枚，测得其长度（单位mm）如下：

14.8 15.2 14.3 14.6 15.1 15.3 14.9 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间.

【解】 n=8,σ2=0.08,α=1-0.95=0.05,

x14.925，z0.0251.96

μ的置信度为0.95的置信区间为



xz/214.9251.960.114.729,15.121

n

9. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.2克，若从这种香烟堆中任取50支作为样本；测得样本均值为1.02（克），样本方差s=0.2(g).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取=0.05）.

【解】设H0:01.2;

2

2

H1:01.2

n50,0.05,t/2n1t0.025492.0096

x1.02,s20.2

t

x0s/n



1.021.2

2.846

.2/t2.846t0.025492.0096

所以拒绝H0，认为这堆香烟（支）的重量（克）不正常.

10.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为22.5小时，标准差为2.6小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，17，21，22，20，24，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取=0.01）.

【解】

H0:22.5;H1:22.5

022.5,n6,0.01,z0.012.3263,2.6,x20.5

z

x0



20.522.5

1.8842

2.6/6

/n

zz0.012.3263

所以接受H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.