构造全等三角形的方法
全等三角形的构造方法
全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。判断三角形全等公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL ，如果能够直接证明三角形的全等的，直接根据相应的公理就可以证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的一些证明问题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
构造方法有： 1．截长补短法。
2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，
对Rt △, 有时可作出斜边的中线。 3．旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造
全等三角形。 4．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将
分散条件集中在一个三角形内。 5．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，
沿轴翻转图形来构造全等三角形。下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．
1． 截长补短法（通常用来证明线段和差相等）
“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等 ．
例1. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD．
例2 已知：如图，AB=AC，E 为AB 上一点，F 是AC
延长线上一点，且BE=CF，EF 交BC 于点D ．求证：DE=DF．
(2)已知：如图，AB=AC，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF．
例3(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示，∆ABC 是边长为1的正三角形，∆BDC 是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的∠MDN ，点M 、
N 分别在AB 、AC 上，求∆AMN 的周长． A
A
B
D
M
N
M
N
E
B
D
C
1. 如图已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，
求证：AB+BE=AC．
2.(06年北京中考题) 已知∆ABC 中，∠A =60 ，BD 、CE 分别平分∠ABC 和. ∠ACB ，BD 、
CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．
A
A
E
O
D
E 1
O
43F
D
B
3. 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .
C B C
如图，四边形ABPC 中，，，
2．平行线法（或平移法）
，求证：．
若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt △, 有时可作出斜边的中线．
例 △ABC 中，∠BAC=60°，∠C=440°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ，求证：AB+BP=BQ+AQ．
说明：⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ，连OD ，构造全等三角形，即“截长补短法" ． ⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：
① 如图（2），过O 作OD ∥BC 交AC 于D ，则△ADO ≌△ABO 来解决． ② 如图（3），过O 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，则△ADO ≌△AQO ，△ABO ≌△AEO 来解决．
③ 如图（4），过P 作PD ∥BQ 交AB 的延长线于D ，则△APD ≌△APC 来解决．
④ 如图（5），过P 作PD ∥BQ 交AC 于D ，则△ABP ≌△ADP 来解决． （本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究） 3．旋转法
对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形 例．已知：如图（6），P 为△ABC 内一点，且PA=3，PB=4，PC=5， 求∠APB 的度数．
分析：直接求∠APB 的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5， 联想到构造直角三角形．
4．倍长中线法
题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
例1．如图（7）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=BE． 求证：
AC=BF
5．翻折法
若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例1．如图（8）已知：在△ABC 中，∠A=45º, AD⊥BC ，若BD=3，DC=2， 求：△ABC 的面积