第一章,集合与函数概念试题
第一章 集合与函数概念
一、选择题
1.设全集U ={(x,y)| x∈R ,y ∈R},集合M =,
P ={(x,y)| y≠x +1},那么CU(M∪P) 等于( ) .
A . B .{(2,3)}
C .(2,3) D .{(x,y)| y=x +1}
2.若A ={a,b},B A,则集合B 中元素的个数是( ) .
A .0 B .1 C .2 D .0或1或2
3.函数y =f(x)的图象与直线x =1的公共点数目是( ) .
A .1 B .0 C .0或1 D .1或2
4.设函数f(x)=2x +3,g(x+2) =f(x),则g(x)的表达式是( ) .
A .2x +1 B .2x -1 C .2x -3 D .2x +7
5. 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx +d 的图象如图所示,则( ) .
A .b ∈(-∞,0) B .b ∈(0,1)
C .b ∈(1,2) D .b ∈(2,+∞)
6.设函数f(x)=, 若f(-4) =f(0),f(-2) =-2,则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( ) .
A .1 B .2 C .3 D .4
7.设集合A ={x | 0≤x ≤6},B ={y | 0≤y ≤2},下列从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) .
A .f:x→y =x B .f:x→y =x C .f:x→y =x D .f:x→y =x
8.有下面四个命题:
①偶函数的图象一定与y 轴相交;
②奇函数的图象一定通过原点;
③偶函数的图象关于y 轴对称;
④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R) .
其中正确命题的个数是( ) .
A .1 B .2 C .3 D .4
9.函数y =x2-6x +10在区间(2,4) 上是( ) .
A .递减函数 B .递增函数
C .先递减再递增 D .先递增再递减
10.二次函数y =x2+bx +c 的图象的对称轴是x =2,则有( ) .
A .f(1)<f(2)<f(4) B .f(2)<f(1)<f(4)
C .f(2)<f(4)<f(1) D .f(4)<f(2)<f(1)
二、填空题
11.集合{3,x ,x2-2x}中,x 应满足的条件是 .
12.若集合A ={x | x2+(a-1)x +b =0}中,仅有一个元素a ,则a =___,b =___.
13.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为 元.
14.已知f(x+1) =x2-2x ,则f(x)= ;f(x-2) = .
15.y =(2a-1)x +5是减函数,求a 的取值范围 .
16.设f(x)是R 上的奇函数,且当x ∈[0,+∞) 时,f(x)=x(1+x3) ,那么当x ∈
(-∞,0]时,f(x)= .
三、解答题
17.已知集合A ={x∈R| ax2-3x +2=0},其中a 为常数,且a ∈R .
①若A 是空集,求a 的范围;
②若A 中只有一个元素,求a 的值;
③若A 中至多只有一个元素,求a 的范围.
18.已知M ={2,a ,b},N ={2a,2,b2},且M =N ,求a ,b 的值.
19.证明f(x)=x3在R 上是增函数.
20.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=3x4+; (2)f(x)=(x-1) ;
(3)f(x)=+; (4)f(x)=+.
第一章 集合与函数概念
参考答案
一、选择题
1.B
解析:集合M 是由直线y =x +1上除去点(2,3) 之后,其余点组成的集合.集合P 是坐标平面上不在直线y =x +1上的点组成的集合,那么MP 就是坐标平面上不含点(2,3) 的所有点组成的集合.因此CU(MP)就是点(2,3) 的集合.
CU(MP)={(2,3)}.故选B .
2.D
解析:∵A 的子集有,{a},{b},{a,b}.∴集合B 可能是,{a},{b},{a,b}中的某一个,∴选D .
3.C
解析:由函数的定义知,函数y =f(x)的图象与直线x =1是有可能没有交点的,如果有交点,那么对于x =1仅有一个函数值.
4.B
解析:∵g(x+2) =2x +3=2(x+2) -1,∴g(x)=2x -1.
5.A
解析:要善于从函数的图象中分析出函数的特点.
解法1:设f(x)=ax(x-1)(x-2) =ax3-3ax2+2ax ,比较系数得b =-3a ,c =2a ,d =0.由f(x)的图象可以知道f(3)>0,所以
f(3)=3a(3-1)(3-2) =6a >0,即a >0,所以b <0.所以正确答案为A .
解法2:分别将x =0,x =1,x =2代入f(x)=ax3+bx2+cx +d 中,求得d =0,a = -b ,c =-b. ∴f(x)=b(-x3+x2-x) =-[(x-)2-].
由函数图象可知,当x ∈(-∞,0) 时,f(x)<0,又[(x-)2-]>0,∴b <0.
x ∈(0,1) 时,f(x)>0,又[(x-)2-]>0,∴b <0.
x ∈(1,2) 时,f(x)<0,又[(x-)2-]<0,∴b <0.
x ∈(2,+∞) 时,f(x)>0,又[(x-)2-]>0,∴b <0.
故b ∈(-∞,0) .
6.C
解:由f(-4) =f(0),f(-2) =-2,
得,∴ .
∴f(x)=
由 得x =-1或x =-2;由 得x =2.
综上,方程f(x)=x 的解的个数是3个.
7.A
解:在集合A 中取元素6,在f :x →y =x 作用下应得象3,但3不在集合B =
{y |0≤y ≤2}中,所以答案选A .
8.A
提示:①不对;②不对,因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含0;③正确;④不对,既是奇函数又是偶函数的函数还可以为f(x)=0,x ∈(-a ,a) .所以答案选A .
9.C
解析:本题可以作出函数y =x2-6x +10的图象,根据图象可知函数在(2,4) 上是先递减再递增.答案选C .
10.B
解析:∵对称轴 x =2,∴f(1)=f(3). ∵y 在〔2,+∞〕上单调递增,
∴f(4)>f(3)>f(2),于是 f(2)<f(1)<f(4). ∴答案选B .
二、填空题
11.x ≠3且x ≠0且x ≠-1.
解析:根据构成集合的元素的互异性,x 满足
解得x ≠3且x ≠0且x ≠-1.
12.a =,b =.
解析:由题意知,方程x2+(a-1)x +b =0的两根相等且x =a ,则△=(a-1)2-4b =0①,将x =a 代入原方程得a2+(a-1)a +b =0 ②,由①②解得a =,b =.
13.1 760元.
解析:设水池底面的长为x m ,水池的总造价为y 元,由已知得水池底面面积为4 m2. ,水池底面的宽为 m .
池底的造价 y1=120×4=480.
池壁的造价 y2=(2×2x +2×2×) ×80=(4x+) ×80.
水池的总造价为 y =y1+y2=480+(4x+) ×80,
即 y =480+320(x+)
=480+320.
当 =, 即x =2时,y 有最小值为 480+320×4=1 760元.
14.f(x)=x2-4x +3,f(x-2) =x2-8x +15.
解析:令x +1=t ,则x =t -1,因此f(t)=(t-1)2-2(t-1) =t2-4t +3,即f(x)=x2-4x +3.∴f(x-2) =(x-2)2-4(x-2) +3=x2-8x +15.
15.(-∞,) .
解析:由y =(2a-1)x +5是减函数,知2a -1<0,a <.
16.x(1-x3) .
解析:任取x ∈(-∞,0], 有-x ∈[0,+∞) ,
∴f(-x) =-x [1+(-x)3]=-x(1-x3) ,
∵f(x)是奇函数,∴ f(-x) =-f(x). ∴ f(x)=-f(-x) =x(1-x3) ,
即当x ∈(-∞,0]时,f(x)的表达式为x(1-x3) .
三、解答题
17.解:①∵A 是空集,
∴方程ax2-3x +2=0无实数根.
∴ 解得a >.
②∵A 中只有一个元素,
∴方程ax2-3x +2=0只有一个实数根.
当a =0时,方程化为-3x +2=0,只有一个实数根x =;
当a ≠0时,令Δ=9-8a =0,得a =,这时一元二次方程ax2-3x +2=0有两个相等的实数根,即A 中只有一个元素.
由以上可知a =0,或a =时,A 中只有一个元素.
③若A 中至多只有一个元素,则包括两种情形:A 中有且仅有一个元素;A 是空集.由①②的结果可得a =0,或a ≥.
18.解:根据集合中元素的互异性,有
解得 或 或
再根据集合中元素的互异性,得 或
19.证明:设x1,x2∈R 且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)(+x1x2+) .
又+x1x2+=(x1+x2)2+.
由x1<x2得x1-x2<0,且x1+x2与x2不会同时为0,
否则x1=x2=0与x1<x2矛盾,
所以 +x1x2+>0.
因此f(x1)- f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
f(x)=x3 在 R 上是增函数.
20.解:(1)∵ 函数定义域为{x | x∈R ,且x ≠0},
?f(-x) =3(-x)4+=3x4+=f(x),∴f(x)=3x4+是偶函数.
(2)由≥0 解得-1≤x <1.
∴ 函数定义域为x ∈[-1,1) ,不关于原点对称,∴f(x)=(x-1) 为非奇非偶函数.
(3)f(x)=+定义域为x =1,
∴ 函数为f(x)=0(x=1) ,定义域不关于原点对称,
∴f(x)=+为非奇非偶函数.
(4)f(x)=+定义域为 ( x∈{±1},
∴函数变形为f(x)=0 (x=±1) ,∴f(x)=+既是奇函数又是偶函数.