摩尔库伦理论在岩土工程中的应用

01

刘 英 于立宏 ：Mohr-Coulomb屈服准则在岩土工程中的探讨

Discussion of the Mohr-Coulomb Yield Criterion in the Geo-technical Engineering

Mohr-Coulomb屈服准则在岩土工程中的应用

刘 英1,2，于立宏3

1. 吉林大学 建设工程学院, 长春 130026; 2. 长春万科房地产开发有限公司，长春 130031; 3. 中国水电顾问集团 北京勘测设计研究院，北京 100024

摘要： 对Tresca屈服准则、Mises屈服准则、双剪屈服准则及Mohr-Coulomb屈服准则的屈服线、屈服应力进行分析、比较，找出

各种屈服准则之间的差异。探讨Mohr-Coulomb屈服准则与其他屈服准则的关系，并确定Mohr-Coulomb屈服准则在岩土工程中的安全性及岩土体破坏时的破裂面位置与滑移线之间的关系。以亚碧罗水电站实测地应力为例，对实测地应力用不同的屈服准则进行分析，论证了Mohr-Coulomb屈服准则的安全性及剪切破裂面与滑移线的差异。

关键词：Mohr-Coulomb屈服准则；安全性；亚碧罗水电站；地应力；滑移线

Application of Mohr-Coulomb yield criterion in geo-technical engineering

LIU Ying 1,2 , YU Li-hong 3

1.College of Construction Engineering , Jilin University, Changchun 130026,China; 2.Changchun Vanke Co. Ltd, Changchun 130031,China;

3. Hydrochina Beijing Engineering Corporation, Beijing 100024, China

Abstract：The yield curves and yield stress of Tresca, Mises, Double shear and Mohr-Coulomb yield criterions were

discussed and compared to find the differences among them. The relations between Mohr-Coulomb yield criterion and the others were discussed, and comfirmed the safety of Mohr-Coulomb yield criterion in geo-technical engineering and the relationships between fracture plane location and slip curves when the rock and soil fractured. The different yield criterions were analyzed and compared taking Yabilo hydropwer station geo-stresses for example, and demonstrated Mohr-Coulomb yield criterion was most safety and the differences between failure surface and slip curves.

Key words：Mohr-Coulomb yield criterion；safety; Yabilo hydropwer station; geo-stresses; slip curves

0引言

随着岩土工程的发展，岩土材料的屈服准则得到了各界的关注。国内外学者对材料的屈服条件进行了大量的研究， 目前岩土工程界常用的屈服准则[1]

有：Tresca屈服准则、Mises屈服准则、

Drukle-Plager屈服准则以及Mohr-Coulomb屈服准则和双剪应力屈服准则等。在各种屈服准则中

Mohr-Coulomb屈服准则模型能反映土体的抗压强度不同的S- D效应(Strength Difference Effect)与对静水压力的敏感性,而且简单实用,土体参数c、υ值可以

基金项目：国家自然科学基金项目（40872170）

通过各种不同的常规试验测定。因此, 较其他准则具有较好的可比性，在工程实践中有着重要的作用和地位，得到了广泛的应用。为此，分析、比较Mohr-Coulomb准则与其他准则的屈服线、屈服应力及其安全性和实用性是必要的，并找到岩土体可能产生的滑动破裂面与理论滑移线的差异，使得Mohr-Coulomb准则更好的为工程所用。

1 Mohr-Coulomb屈服准则与其他准则的关系

1. 1 Mohr-Coulomb屈服准则的安全性（σ1≥σ2≥σ3）

Tresca屈服条件表达式[1，

2] ：

τmax = (σ1 – σ3 )/2=σs /2 （1）

Mises屈服条件表达式[1，

2]：

(σ1 - σ2) 2+( σ2 - σ3) 2+( σ3 - σ1) 2= 6C = 2σs2

J2 = C （2）

双剪屈服准则表达式[3，

4]： τ13 + max{τ12 , τ23 } = c

常数c 由单轴拉伸试验确定c = σs

则有：τ13 + max{τ12 , τ23 } = σs （3） Mohr-Coulomb屈服准则表达式[4 -7]：

τn = σn tgυ + c （4） 或以主应力表示屈服条件为：

σ1 - σ3 =（σ1 +σ3）sinυ + 2ccosυ （5）

以不变量可表示为： f =

13

I1sinυ+（cosθσ -

1

sinθσsinυ）J2-ccosυ = 0 （6）

3

式中：-π/6≤θσ≤π/6 由莫尔应力圆可知：

τ = τmaxsinυ≤ τmax（τmax= c 时取等号 ） σs= (σ1 +σ2 )/2 - (σ1 +σ2 )/2 sinυ （7） 由上可知，按Mohr-Coulomb屈服准则求得的临界抗剪强度（τ）要小于最大剪应力破坏时的抗剪强度（τmax），Mohr-Coulomb准则较Tresca屈服准则先进入屈服阶段。文献[8]给出材料屈服应力比较结果即：

σTresca≥σMises≥σDJ

文献[9]指出π平面上Mohr-Coulomb 屈服面在双剪屈服面内侧。因此，岩土体按Mohr-Coulomb准则最先进入屈服破坏。

综上所述，Mohr-Coulomb屈服准则较Tresca屈服准则、Mises屈服准则及双剪屈服准则的屈服应力是最小的。岩土材料属于粒状体材料，主要依靠颗粒间的摩擦承受荷载，其变形和破坏受摩擦的影响，由剪应力与垂直应力的共同作用使粒子间克服摩擦产生相对滑移破坏，因此Mohr-Coulomb屈服准则对岩土体较为实用。

1. 2 Mohr-Coulomb准则破裂面与滑移线的差异

岩土材料中考虑静水压力状态时即：σm

=(σ1+σ2+σ3)/3；σ2 =σm 时，由 图1可知应力圆圆心与σm值重合于M点，则在M点处的最大剪应力τmax

= ±(σ1 – σ3)/2，此时岩土材料按Tresca准则进入塑性流动状态，此处的材料应沿两组与最大主应力面分别呈π/4正交的α、β滑移线剪破。但由Mohr-Coulomb屈服准则可知，岩土体内的剪应力未达到τmax =± (σ1 –σ3 )/2时抗剪强度线已与应力圆相切，岩土体已进入屈服、剪破状态，剪破面与最大主应力面夹角为π/4+υ/2，当且仅当υ=0时剪破面与滑移线重合。因此，岩土体可能产生的滑动破裂面与滑移线是有差异的，破裂面相差 υ/2(图1)。

ττmaxτA

υ/2

3

α

Mσm

1

σ

υ

-τmax

B'

图1 Mohr-Coulomb屈服准则破裂面与滑移线的关系 Fig.1 Relations between failure surface and slip curves of Mohr-Coulomb yield criterion

2 Mohr-Coulomb 屈服面存在的不足

在主应力空间中，考虑静水压力的影响，

Mohr-Coulomb屈服面是一个不规则的六角形截面的角锥体表面，且在π平面内投影为不等角六边形。Mohr-Coulomb屈服准则虽然偏于安全但不能反映中间主应力对屈服和破坏的影响，其屈服曲线棱角点处的数值计算存在着欠缺——奇异点，即数值计算繁琐和收敛缓慢，屈服函数沿曲面外法线方向的导数不易确定，在角点处也存在不连续问题。直接采用Mohr-Coulomb屈服准则常引起不便。为解决以上缺点国内外学者进行了大量的研究。

Drukle-Plager屈服准则[10，

11]在三维主应力空间中的屈服面为光滑的圆锥体，在π平面上的投影为圆形，且求导处光滑连续。因此被许多大型计算程序所采用，但实际计算结果表明，按该准则计算与Mohr-Coulomb 理论计算结果出入较大，难以保证计算中的精确度。为此，Zienkiewicz and Pande曾提

出了二次型屈服准则[12，

13]，在π平面上用修圆公式去逼近Mohr-Coulomb屈服准则，实际结果与

Mohr-Coulomb准则也有较大出入。徐干成、郑颖人等按照π平面上与及Mohr-Coulomb准则面积相等

原理提出等面积圆屈服准则[13，

14]来逼近Mohr-Coulomb屈服准则，计算结果与真实的Mohr-Coulomb相当，取得了良好的逼近效果，但缺少物理验证。目前尚未找到一种更为理想的方法来弥补Mohr-Coulomb屈服准则的不足来增强实用性。

3 工程实例

3.1工程概况

亚碧罗水电站位于云南省泸水县境内怒江干 流上，是怒江中下游水电规划十三级开发的第七个梯级工程。坝址区右岸有瓦窑－贡山公路相通，距怒江州府六库镇（下游）约63km，距昆明约616km，交通较便利。电站最大坝高152.5m，水库正常蓄水位1075m，装机容量1950MW，水库长约32km，总库容4.713亿m3。枢纽建筑物主要包括：碾压混凝土重力坝、右岸地下厂房和输水隧洞等。在电站的勘察设计阶段，于上坝址（右岸）布设了1个地应力测试钻孔ZK10，进行水压致裂应力测试 。以查明该工程区域内地应力的大小和方向，为坝基、地下洞室轴线选向和围岩稳定性的评价和支护设计等提供依据。

3.2 地质背景 3.2.1地形地貌

亚碧罗水电站库区河段长约37km。坝址区位于泸水县古登乡亚碧罗村附近，距下游称杆乡约8km、距上游古登乡约10km。坝址河段全长约6km，此河段为高山峡谷型区，地形呈“V”字型，左岸坡度为25°～60°，右岸坡度为20°～60°，局部为高30～80m的基岩陡壁。坝轴线方向NE62°。坝址河段河床枯水面宽度约为80～100m，天然水力坡降0.24％。

3.2.2地层岩性

坝址河段出露地层岩性主要为元古界高黎贡山群的片麻岩。地表测绘和钻孔、平洞揭示，岩性主要为片麻岩，灰白色，鳞片粒状变晶结构，片麻状构造，主要矿物成分长石45％～70％，石英20％～40％，黑云母5％～25％。岩石片麻理产状一般为250°∠30°～45°，完整性较好，抗风化能力较强。部分岩石有轻微蚀变现象。第四系堆积物分布较少，主要有冲积、崩坡积。冲积物主要分布于河床，厚度10～30m，崩坡积主要分布在两岸山坡上，江边

仅有少量分布，厚度一般1～3 m。 3.2.3地质构造

坝区在区域构造上属于怒江构造带的丙中洛褶皱束南段，在近东西向构造压应力作用下，该区发育紧密线状褶皱，褶皱轴向与地层层理一致，均为近南北向。该区以近南北向断裂最为发育。怒江断裂为区域性断裂，在坝前约30km的库区内，沿怒江河谷分布，近坝库段(约7km范围)出露于怒江左岸。距岸边约1.6km，走向近南北，倾向西，倾角70°～80°，破碎带宽窄不一，最宽处约300m，沿断裂带可见大量的碎裂岩、构造角砾岩和糜棱岩，两侧片理化岩石较普遍，断层带内揉皱现象普遍发育，局部岩层发生直立倒转，并见有多种侵入岩脉，断裂表现为压扭性。断层上盘岩体区域变质、热接触变质、混合岩化、动力变质作用较强烈，断裂下盘仅局部见有热动力变质现象。

根据地表测绘和勘探揭露，坝址河段共发现Ⅱ、Ⅲ级断裂结构面（断层）25条，主要分为2组：①走向NE50°～85°, 分别倾向NW与SE，倾角60°～85°；②走向NW275°～300°, 分别倾向SW与NE，倾角40°～65°。 断层以陡倾角为主，中、缓倾角较少。

节理裂隙主要有3组：①走向NE60°～85°,分别倾向NW与SE，倾角70°～85°；②走向NW310°～330°, 分别倾向NE与SW，倾角70°～85°；③走向NW275°～295°, 分别倾向NE与SW，倾角80°～90°等三组，其中①组最发育，其他二组次之。缓倾角节理裂隙走向规律性较差，在两岸倾向不一致，大多向河床倾斜，倾角5°～25°。缓倾角裂隙大多属硬性或次硬性结构面（无充填物），多被陡倾角裂隙截断，发育长度有限。

坝址区河段两岸河边岸坡基岩裸露，坡度较陡，覆盖层分布较少且厚度较小，受断裂切割及重力作用，岸坡岩体有崩塌现象，但规模一般较小。勘察揭露岩体风化程度随埋深的加大由强到弱，断层带和节理密集带的风化作用明显加剧。该区浅部岩芯完整度较差，下部岩芯较完整。

亚碧罗水电站在区域大地构造上位于青藏滇缅歹字型构造体系中段怒江构造带内，属较稳定工程场地。坝址区基岩水平加速度为0.139g，相应地震基本烈度为VII度。 3.3应力条件

怒江流域所在区域处于印度板块与欧亚板块的接合带附近。第四纪以来该区域地壳间歇性缓慢抬

升，河流下切。地壳厚度自南向北逐渐增厚，变化范围在30～60km。

燕山运动使怒江断裂带强烈挤压褶皱，伴随热动力、热接触等变质作用，并有大规模的酸性岩浆岩侵入，形成区内现代的基本构造格架。以怒江断裂为代表的断层主要为压扭性断裂，主要表现为右旋构造。从区域地壳应力场强震震源机制分析，区域构造应力场主压应力方向主要为NE―NEE向，并以水平应力为主。

3.4水压致裂法地应力测试 3.4.1基本假定

(1)岩石是线弹性和各向同性的； (2)岩石是完整的，压裂液体对岩石来说是非渗透的；(3)岩层中有一个主应力的方向和孔轴平行。 3.4.2基本原理

根据弹性理论有孔平板在外荷载作用下，孔壁应力集中及静力学平衡原理[15]求得最大（σH）、最小（σh）水平主应力及垂直应力（σv）即： σH = 3 ps – pr - po (8) σh = ps (9)

σv = γd (10) 3.4.3 测试方法

水压致裂法地应力测量是利用一对可膨胀的橡胶封隔器，在预定的测段深度，上、下封隔一段钻孔，然后泵入液体对该段钻孔施压直至压裂，卸压再施压，裂缝重新张开。根据液压过程曲线的特征值及相应理论公式（8）、（9）、（10）计算地应力。

3.5计算结果对比

亚碧罗水电站上坝址（右岸）布设1个地应力测试钻孔ZK10进行水压致裂应力测试 。最终获取了10个测段的有效数据。测段中心深度分别是：32.52m、45.85m、50.19m、67.30m、74.23m、87.50m、98.58m、109.49m、115.75m、122.00m，根据压力参数值分别计算出各测段的最大水平主应力 、最小水平主应力 、岩体的原位抗拉强度T，所得应力参数见表1。

表1 ZK10孔水压致裂应力测量结果 Table 1 Results of hydraulic fracturing stress of hole ZK10

压裂段深度

/m 32.52 45.85 50.19 67.30 74.23 87.50 98.58 109.49 115.75 122.00

Pb 11.29 / 16.32 19.25 16.36 12.27 17.73 12.19

Pr 4.89 5.46 8.72 6.85 5.76 9.07 7.93 7.19

压裂参数/MPa Ps 3.69 5.46 6.72 5.25 5.36 7.07 6.73 6.79

PH 0.49 0.66 0.72 0.85 0.96 1.07 1.13 1.19

P0 0.27 0.44 0.51 0.64 0.75 0.85 0.92 0.9771

T 6.40 / 7.60 12.40 10.60 3.20 9.80 5.00

应力值/MPa SH 5.90

Sh 3.69

SV 1.30 1.75 1.93 2.27 2.56 2.84 3.01 3.17

最大主应力 方向/（︒）

N65︒W N20︒W N10︒E N32︒E

序号 1 3 4 5 6 7 8 9 10

10.47 5.46 10.94 6.72 8.27 9.58

5.25 5.36

11.29 7.07 11.35 6.73 12.21 6.79

注：PH为水柱压力，Po为孔隙压力，Pb为破裂压力，Pr为破裂重张压力，Ps为瞬时闭合压力，T为岩体的原地抗张强度，Sh和SH分别为测段处的最小和最大水平主应力；Sv是按上覆岩体埋深计算的垂向应力。

表2 屈服应力计算结果统计表 Table 2 Statistics of yield stress results

屈服准则 Tresca屈服准则 Mises屈服准则 双剪屈服准则 Mohr-Coulomb准则

屈服应力σs /MPa

1 4.08 3.54 2.98 1.80

2 4.67 4.05 3.37 2.28

3 4.60 3.99 3.50 2.37

4 8.72 7.58 6.22 3.78

5 9.01 7.81 6.90 4.03

6 6.00 5.20 4.49 3.67

7 7.02 6.12 4.91 4.20

8 8.45 7.32 6.34 4.80

9 8.34 7.24 6.03 4.95

10 9.04 7.88 6.33 5.04

图2 理论莫尔圆及包络线

Fig.2 Theory Mohr’ circle and its envelope lines

τ4.173.58

τ

o

σ =

ta.0.

55

o

3.01

σ11.35

16.15

o

图3 测段9处岩体剪切破裂面与滑移线的关系 Fig.3 Relations between rock mass failure surface and slip

curves of No.9 measures

根据钻孔岩体风化深度可知上坝址区（右岸）微风化区深度为41～120m，将表1中不在微风化区的测段点1、10及地应力异常点4、5剔除，根据莫尔应力圆做其包络线（图2）。可得理论参数为：c= 0.55MPa； υ= 32.3°。按不同屈服准则式（1）、（2）、（3）、（7）所计算ZK10不同深度岩石的屈服应

力值见表2。笔者根据表2中的计算结果并结合岩土材料的特性，对按Tresca屈服准则、Mises屈服准则及双剪准则所求得的抗剪强度参数c、υ值与按莫尔包络线求得的参数值进行分析、比较，结果显示按莫尔包络线选取参数值是合理的。

由亚碧罗水电站坝址区ZK10各测段的屈服应力计算结果可知，按Mohr-Coulomb屈服理论计算得到的岩石屈服应力最小。工程设计时，岩体参数值参考Mohr-Coulomb屈服准则计算得出的值进行选取，充分发挥了岩体的物理力学性质，最大限度的保障了工程岩体的安全，Mohr-Coulomb理论为电站设计提供了强大的理论支持。但亚碧罗水电站微风化区岩体参数按Mohr-Coulomb理论计算c、υ值普遍偏低，根据工程实际情况，参数选取值为：c = 0.6～0.8MPa; υ = 35°～38°。

亚碧罗水电站微风化区岩体抗剪强度表达式为:τ= tan32.3°+0.55,取ZK10第9个测段（深度115.75m）处地应力测量结果，得到岩体剪切破裂面与滑移线关系（图3）。由此可知，两者位置不同，夹角相差16.15°。 4 结语

某些屈服准则虽然可以更真实地反映岩土体的破坏性状，但Mohr-Coulomb屈服准则在π平面上的屈服线最靠近中心点且初始屈服应力最小，适用性好，最安全。在岩土体中Mohr-Coulomb屈服准则确定的滑动破裂面是与最大剪应力面交角为π/4+υ/2的面，而不是在静水压力状态下产生的滑移线滑动的面。因此，Mohr-Coulomb准则反映岩土体的真实破坏性状是偏于安全的，在实际工程中也得到广泛应用。

参考文献 :

[1] 龚晓南. 高等土力学[M] .杭州: 浙江大学出版社，2006：

239-244.

GONG Xiao-nan .Advanced soil mechanics [M].Hangzhou: Zhejiang University Press, 2006：239-244.

[2] 杨桂通. 弹塑性力学引论[M] .北京：清华大学出版社,2004：59-66.

YANG Gui-tong. Introdution to elasticity and plasticity[M]. Beijing :Tsing University Press, 2004：59-66.

[3] 俞茂宏，刘凤羽，刘锋，等. 一个新的普遍形式的强度理论[J].土木工程学报，1990，23（1）：34-40.

YU Mao-hong，LIU Feng-yu, LIU Feng, et al. A new general strength theory[J]. Chinese Journal of Civil Engineering, 1990，23（1）：34-40.

[4] 佘成学，刘 杰. 基于Mohr强度理论的双参数抛物线型屈服准则[J].武汉大学学报，2008，41：31-34 .

SHE Cheng-xue, LIU Jie.Two-parameter parabolic-type yield criterion based on Mohr strength thoery[J]. Engineering Journal of Wuhan University, 2008，41：31-34.

[5] 高红, 郑颖人，冯夏庭. 材料屈服与破坏探索 [J]. 岩石力学与工程学报，2006，25（12）：2515-2522. GAO Hong, ZHENG Ying-ren, FENG Xia-ting. Exploration on yield an failure of material[J].Chinese Journal of Mechanics and Engineering, 2006，25（12）：2515-2522.

[6] 郑颖人，高红. 材料强度理论的讨论[J].广西大学学报：自然科学版，2008，33（4）：337-345.

ZHENG Ying-ren, GAO Hong. Discussion of strength theory for materials[J].Journal of Guangxi University: Nature Sciences Edition, 2008，33（4）：337-345.

[7] 高红 ,郑颖人，冯夏庭. 岩土材料能量屈服准则研究[J]. 岩石力学与工程学报，2007，26（12）：2437-2443. GAO Hong，ZHENG Ying-ren , FENG Xia-ting. Study on energy yield criterion of geomaterials[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2007，26（12）：2437-2443. [8] 季明,高峰,廖孟柯. 几种屈服准则的屈服应力的比较分析[J]. 塑性工程学报，2006，13(5)： 14,15.

JI Ming ,GAO Feng,LIAO Meng-ke.Comparison of yield stress among several plastic yield criterions[J]. Journal of Plasticity Engineering , 2006，13(5)： 14,15.

[9] 童小东，龚小南，姚恩瑜. 稳定材料在应力π平面上屈服曲线的特性[J].浙江大学学报，1998，32（5）：643-647. TONG Xiao-dong , GONG Xiao-nan , YAO En-yu.The property of the yield curves of the stable material on the stress π

plane[J].Journal of Zhejiang University, 1998，32（5）：643-647. [10]肖明,张志国,陈俊涛,等.不同屈服条件对地下洞室围岩稳定影响研究[J].地下空间与工程学报，2008，4（4）：635-639.

XIAO Ming, ZHANG Zhi-guo, CHEN Jun-tao,et al. Analysis of stability for the surrounding rock of underground excavations based on different yield criteria[J].Chinese Journal of

Underground Space and Engineering, 2008，4（4）：635-639. [11]杨雪强，凌平平，向胜华.基于系列Drucker-Prager破坏准则评述土坡的稳定性[J].岩土力学，2009，30（4）：865-870. YANG Xue-qiang, LING Ping-ping , XIANG

Sheng-hua.Comment on slope stability based on a series of Drucker-Prager failure criteria [J].Rock and Soil Mechanics, 2009，30（4）：865-870.

[12] 徐干成，郑颖人.关于塑性岩土二次型屈服准则的研究[J].勘察科学技术，1989，8：30-33.

XU Gan-cheng, ZHEN Ying-ren .Based on a synthetic ananysis and study the quadratic yield criteria [J]. Site Investigation Science and Technology, 1989，8：30-33.

[13] 徐干成，郑颖人. 岩石工程中屈服准则应用的研究 [J]. 岩土工程学报 ，1990，24（1）：108-111.

XU Gan-cheng, ZHEN Ying-ren. Research on the application of the yield criterions in rock and soil engineering [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1990，24（1）：108-111. [14]戴自航，沈蒲生.莫尔-库仑等面积圆屈服准则的简化形式及应用[J].福州大学学学报，2003，31（4）：454-459. DAI Zi-hang, SHEN Pu-sheng. Simplified from and applications of Mohr-Coulom equivalent area circle yield criterion [J]. Journal of Fuzhou University, 2003，31（4）：454-459.

[15]尤明庆.水压致裂法测量地应力方法的研究[J]. 岩土工程学报，2005，27（3）：350-353.

YOU Ming-qing. Study on the geo-stresses measurement with hydro-fracture of borehole [J]. Chinese Journal of Geo-technical Engineering , 2005，27（3）：350-353.