广义逆矩阵与线性方程组的解
第39卷第9期2009年5月
数学的实践与认识
Vol139 No19
May, 2009
Moore-Penrose广义逆矩阵与线性方程组的解
尹 钊, 贾尚晖
(中央财经大学应用数学学院,
北京 100081)
摘要: ,Moore2Penrose2组通解和最小范数解.
关键词: Moore2;最小范数解
11903年瑞典数学家弗雷德霍姆EI的工作,他讨论了关于积分算子的一种广义逆(称之为伪逆)[1].1904年,德国数学家希尔伯特D在广义格林函数的讨论中,含蓄地提出了微分算子的广义逆.而任意矩阵广义逆的定义最早是由美国芝加哥的穆尔(Moore)EH教授在1920年提出来的,他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上.由于不知其用途,该理论几乎未被注意,这一概念在以后30年中没有多大发展.我国数学家曾远荣在1933年、美籍匈牙利数学家冯・诺伊曼J和弟子默里FJ在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究.1951年瑞典人布耶尔哈梅尔A重新发现了穆尔(Moore)EH广义逆矩阵的定义,并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系.1955年,英国数学物理学家彭罗斯(PenroseR)[2]以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)EH等价的广义逆矩阵定义,因此通称为Moore2Penrose广义逆矩阵,从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段.现如今,Moore2Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用,使这一学科得到迅速发展,并成为矩阵论的一个重要分支[3].
2 Moore-Penrose逆矩阵的定义
m个方程n个未知量的线行方程组可以表示为
Ax=b
(1)
其中,A为m×n型矩阵,b为m维向量,x为未知的n维向量.
定义 设A为任意m×n型矩阵,称矩阵G是A的Moore2Penrose逆矩阵,若存在n×
[425]
m型矩阵G满足以下四个条件(常称Moore2Penrose条件):
1)AGA=A2)GAG=G
3)GA为复共轭转置(Hermitian)矩阵,(GA)H=GA
收稿日期:2009201211
基金项目:北京市高等学校教育教学改革立项项目(2006);中财121人才工程青年博士发展基金(QBZ0702)
240数 学 的 实 践 与 认 识39卷
4)AG为复共轭转置(Hermitian)矩阵,(AG)H=AG
中的全部或一部分,则称G为矩阵A的一个Moore2Penrose广义逆矩阵.按照定义,如果G是满足第i个条件的广义逆矩阵,就记为A{i},如果G是满足第i,j个条件的广义逆矩阵,就记为A{i,j},如果G是满足第i,j,k个条件的广义逆矩阵,就记为A{i,j,k},如果G是满足四个条件的广义逆矩阵,就记为A{1,2,3,4}.除了A{1,2,3,4}是唯一确定之外,其余各类广义逆矩阵都不是唯一确定的,每一类广义逆矩阵都包含着一类矩阵,为了表示这种情况,把满足前面所述相应条件的一切Moore2Penrose广义逆矩阵分别记为
A{i}, A{i,j},{i,j,}
上述共有15类Moore2Penrose5(a)A{1},-;(b)A{1,2},A-r;
-(c)AAm;
(d)AA(e)A+=A
2,3,4}
-l
;
+
.
+
其中A
+
满足全部四个条件,显然有A+∈A{1},A∈A{1,2},A∈A{1,3},A
+
∈A{1,4}.
3 用Moore-Penrose广义逆矩阵求解线性方程组
求解线性方程组常用到Moore2Penrose广义逆矩阵的四种情形:
-1)满足第一个Moore2Penrose条件,即AGA=A的广义逆矩阵G,记作A,称为矩阵A的减号逆.对于任意矩阵A,减号逆A-总存在,不唯一.它的求法也很多,最简单的是初等变换法,只要求得可逆矩阵P、Q,使PAQ成为A的等价标准形式
A→PAQ=
Er
OO
O
====B(2)
中,r为矩阵A的秩R(A),Er为r阶单位矩阵,由此可以求得矩阵A的一个减号逆
-T
(3)A=QBP
2)满足第一个、第三个Moore2Penrose条件,即AGA=A、(GA)H=GA的广义逆矩阵.对于任意矩阵A,最小范数逆Am总存在,不唯一,G,记作Am,称为矩阵A的最小范数逆
--
按照下式可以求得一个最小范数逆
TT-1
A(AA),当A行满秩,即R(A)=m时-(4)Am=TT-()AAA,在一般情况下
3)满足第一个、第四个Moore2Penrose条件,即AGA=A、(AG)H=AG的广义逆矩阵
-.矩阵A的一G,记作Al,称为矩阵A的最小二乘逆,它也对于任意矩阵A都存在,不唯一
个最小二乘逆可以按照下式求得
(ATA)-1AT,当A列满秩,即R(A)=n时-(5)Al=
(ATA)-AT,在一般情况
HH
4)满足全部4个Moore2Penrose条件,即AGA=A、GAG=G、(GA)=GA、(AG)=
+
.它对于任意矩阵A都存在,而且是唯AG的广义逆矩阵G,记作A,称为矩阵A的加号逆
一的.加号逆的求法也很多,主要介绍两种:
-求法之一是按照前述方法求出Am-、Al,再作矩阵乘法而得
9期尹 钊,等:Moore2Penrose广义逆矩阵与线性方程组的解241(6)
A
+
=Am-AA
l
-
求法之二比较常用的求法是满秩分解法:先对矩阵A作初等变换,求得可逆矩阵P、Q,使
PAQ=B=
ErOO
O
=
Er
O
ErO
解得A=P-记p-1
1
Er
O
ErOQ-1
1
ErO
=
C,ErOQ-
=D
即得矩阵A的满秩分解式
(7)
其中,C是mD是rn型行满秩矩阵,r=R(A),然后,由下式求得矩阵A+TT-1T-1T
(8)A=D(DD)