导数中繁分式化简问题的研究与拓展

专题3.7： 导数中繁分式化简问题的研究与拓展

【探究拓展】

探究1：函数y=x2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2) 处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a3+a5=_________

[解析]考查函数的切线方程、数列的通项.

在点(a k ,a k 2) 处的切线方程为：y -a k 2=2a k (x -a k ), 当y =0时，解得x =

所以a k +1=a k ， 2a k , a 1+a 3+a 5=16+4+1=21 2

变式1：设曲线y =x n +1(n ∈N *) 在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则l o g x 12+201x 2+1l o g 202+l o g x 20的值为． -1 1

变式2：在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x ) =e x (x >0) 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___________.

【解析】设P (x 0, e 0), 则l :y -e 0=e 0(x -x 0), ∴M (0,(1-x 0) e 0) ，过点P 作l 的垂线 x x x x

y -e x 0=-e -x 0(x -x 0), ∴N (0,e x 0+x 0e -x 0) ，

11∴t =[(1-x 0) e x 0+e x 0+x 0e -x 0]=e x 0+x 0(e -x 0-e x 0) 22

111t '=(e x 0+e -x 0)(1-x 0) ，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,+∞) 单调减，∴x 0=1, t max =(e +) . 2e 2

变式3：设点P 是曲线y ＝x 2上的一个动点，曲线y ＝x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与

3直线l 垂直的直线与曲线y ＝x 的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为 ． 22

变式4：已知曲线C ：f (x ) =x +(a >0) ，直线l ：y =x ，在曲线C 上有一个动点P ， 过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为A , B . 再过点P 作曲线C 的切线，分别与直 线l 和y 轴相交于点M , N ，O 是坐标原点. 若△ABP 的面积为

为___________．4

探究2：设函数f (x ) =ax -ln x +(a -2) x , (a ∈R )

（1）当a ≥0时，求函数f (x ) 的单调区间；

（2）若存在x >0, f (x )

对于第二问的研究：可直接参数分离 1(2+)(x 2+x ) -(lnx +2x )(2x +1) 2x +ln x =g (x ) , 所以g '(x ) =得：a >而后对分子 2x +x (x 2+x ) 2

提取公因式；

变式1：已知函数f (x ) =a ln x -ax -3(a ∈R , a ≠0)

（1）求函数f (x ) 的单调区间；

（2）若函数y =f (x ) 的图像在点（2，f (2)) 处的切线的斜率为1，且对于任意的t ∈[1, 2]， m +f '(x )]在区间(t , 3)上总存在极值，求实数m 的取值范围； 2

p +2e -3，若在区间[1, e ]上至少存在一个 （3） 当a =2时，设函数h (x ) =(p -2) x -x 函数g (x ) =x +x [32

x 0, 使得h (x 0) >f (x 0) 成立，求实数p 的取值范围.

在第2问的解决中：注重对含参曲直线问题的定的特征的分析，导函数图象过定点(0，-2)，

⎧g '(t ) 0⎩

g '(t ) max =g '(2)

（3）问：分子负项较多，可猜想恒为负值

变式2：设a >0, b

是函数f (x ) 的一个极值点.

（1）求a , b 间满足的等式；

（2）证明：对任意的实数x ∈[0, 4]，f (x ) ≤g (x ) ；

（3）若存在x 1, x 2∈[0, 4]，使f (x 1) -g (x 2)

提醒注意的一个非定向问题：

探究3：设函数f (x ) =e -1-x -ax

（1）当a =0时，求函数f (x ) 的单调区间； x 223-x ，g (x ) =(a +225x ) e ，且x =3 4

（2）当x ≥0时，f (x ) ≥0，求实数a 的取值范围.

变式1：设函数f (x ) =ax +

（1）用a 表示出b , c ；

（2）若f (x ) ≥ln x 在[1, +∞)上恒成立，求a 的取值范围.

变式2：设函数f (x ) ＝(x ＋1)ln(x ＋1) ，若对所有的x ≥0，都有f (x ) ≥ax 成立，则实数a 的取值范围为________________

变式3：若a 1x ≤sin x ≤a 2x 对任意的x ∈⎡0⎤都成立，则a 2-a 1的最小值为. ⎢⎣2⎥⎦

拓展1：设函数f (x )=1-e ． -x b +c (a >0) 的图像在点(1, f (1) )处的切线方程为y =x -1 x

（1）证明：当x ＞-1时，f (x )≥

（2）设当x ≥0时，f (x )≤

x ； x +1x ，求a 的取值范围． ax +1

拓展2：f (x ) 设函数f (x ) =e x -e -x .

（1）证明：f '(x ) ≥2；

（2）若对所有x ≥0都有f (x ) ≥ax ，求a 的取值范围.

拓展3：设函数f (x ) =sin x ． 2+cos x

（1）求f (x ) 的单调区间；

（2）如果对任何x ≥0，都有f (x ) ≤ax ，求a 的取值范围．

拓展4：设f (x ) =ax -ln x (a ∈R ) 是定义在区间(0, e )上的函数，其导函数为f '(x ) ，且存在实数x 1, x 2∈(0, e )，x 1

（1）证明：f (x ) >0；

（2）设x 0=λx 1+(1-λ) x 2, 00, 求实数λ的取值范围.

参数分离可行，但中间需要对分子进行因式分解（平方差公式的应用）

最后借助洛必达法则完成

洛必达法则简介：

法则1 若函数f (x )和g (x )满足下列条件：(1) lim f (x )=0 及lim g (x )=0； x →a x →a

(2)在点a f (x )与g (x )可导且g ' (x )≠0；

f '(x )(3)lim =l ， x →a g 'x 那么 lim x →a f (x )g x =lim x →a f '(x )=l 。 g 'x x →∞x →∞法则2 若函数f (x )和g (x )满足下列条件：(1)lim f (x )=0 及lim g (x )=0；

(2)∃A >0，f (x )和g (x )在(-∞, A )与(A , +∞)上可导，且g ' (x )≠0；

(3)lim f '(x )=l ， x →∞g 'x f (x )f '(x )那么 lim =lim =l 。 x →∞g x x →∞g 'x 法则3 若函数f (x )和g (x )满足下列条件：(1) lim f (x )=∞及lim g (x )=∞； x →a x →a

(2)在点a 的去心邻域内，f (x )和g (x )可导且g ' (x )≠0；

f '(x ) (3)lim =l ， x →a g 'x 那么 lim x →a f (x )g x =lim x →a f '(x )=l 。 g 'x 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

1 将上面公式中的x →a , x →∞换成x →+∞, x →-∞, x →a , x →a 洛必达法则也成立。 ○+-

0∞∞00，，0⋅∞，1，∞，0，∞-∞型。 0∞

0∞∞003 在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，0⋅∞，1，∞，0，∞-∞型定式，否则滥用○0∞2 洛必达法则可处理○

洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

4 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 ○

洛必达法则一般和分离参数法联用, 在求最值的时候, 求导计算. 此时代入横坐标往往是没有意义的. 此时利用洛必达法则求最值.

通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足:

① 可以分离变量：

② 用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性：

③ 出现“

【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？

0”型式子. 0