初三相似三角形讲义

相似三角形知识点总结

知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC与△A/B/C/相似，记作: △ABC∽△A/B/C/ 。 相似三角形的比叫相似比

相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意：（1）相似比是有顺序的。

（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这

样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。

（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△A/B/C/，

1

相似比为k，则△A/B/C/与△ABC的相似比是

k

知识点2、相似三角形与全等三角形的关系

（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。

（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。

（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。

知识点3、平行线分线段成比例定理

1. 比例线段的有关概念： 在比例式

ac

(a：bc：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项， bd

b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

2

把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：

acaca±bc±d

adbc ②合比性质：

bdbdbd

③等比性质：

acmac„ma

„(bd„n≠0) bdnbd„nb

3. 平行线分线段成比例定理

（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

已知l1∥l2∥l3,

l1 l2

l3

ABDEABDEBCEFBCEFABBC或或或或BCEFACDFABDFACDFDEEF等. 可得

（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A

D E

B C

ADAEBDECADAE

或或

ABAC.此推论较原定理应用由DE∥BC可得：DBECADEA

更加广泛,条件是平行.

（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.

（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

知识点4：相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

知识点5：相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角

形相似。

点拨：在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。

注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含的相等的角，我们应注意公共角的运用。

两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

注意：这个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别两个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS”

三边对应成比例的两个三角形相似。 知识点六：摄影定理

AD2=BD²CD AB=BD²BC AC=CD²BC 特殊图形（双垂直模型） ∵∠BAC=90° ADBC∴  ADC ∽  BDA ∽  BAC

22

AD2=BD²CD AB=BD²BC AC=CD²BC

2

2

A

B

C

知识点七：相似三角形的周长和面积

（1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。 (3)相似三角形的周长比等于相似比； (4)相似三角形的面积比等于相似比的平方

补充：相似三角形的识别方法

(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构

成的三角形与原三角形相似。

注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型) (3)三边对应成比例的两个三角形相似。

E

D

C

D

C

(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。 (5)两角对应相等的两个三角形相似。

(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。 (7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

相似三角形的基本图形：

判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。 相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。

经典习题

考点一：平行线分线段成比例 1、（2013广东肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）

A． 7

B． 7.5

C． 8

D． 8.5

3、（2011湖南怀化）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE

的值为（ ） A．9 B．6 C．3 D．4

A

D

E

B

C

4．（2011山东泰安）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ） ．．A．

EDDFDEEFBCBFBFBC

B． C．

D． 

EAABBCFB

DEBEBEAE

5

．（2012•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交

AC于点D，若AC=2，则AD的长是（ ） A．

11

B． C1 D1 22

考点二：相似三角形的性质 1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合）

，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：

222

①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE+PF=PO；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点． 其中正确的结论有（ ）

2、（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）

F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）

①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：4；其中正确的有 ①②③ ．（只填序号）

5、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）

以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）

7、（2013•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（ ）

8、（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）

A．a B． C． D

．

考点：相似三角形的判定与性质．

分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．

解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，

∴△ACD∽△BCA，

∵AB=4，AD=2，

∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，

∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，

∵△ABD的面积为a，

∴△ACD的面积为a，

故选C．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．

9、（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）

A．16 B．17 C．18 D．19

考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

专题：计算题．

分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=

EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．

解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，

根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，

∴AC=2CD，CD==2，

222∴EC=2+2，即EC=；

2∴S2的面积为EC==8；

∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，

∴S1+S2=8+9=17．

故选B．

CD，可得AC=2CD，CD=2，

点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．

10、（2013安顺）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：．

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

分析：由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．

解答：解：∵DE：EC=1：2

∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3

∵AB∥CD，

∴△ABF∽△CEF，

∴BF：EF=AB：EC=3：2．

∴BF：BE=3：5．

点评：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．

11、（13年安徽省4分、13）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一

点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别

为S、S1、S2。若S=2，则S1+S2=

考点三：相似三角形的判定

1、（2013•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．

NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =

A．3 B．4

C．5 D．6

答案：B

解析：由△AFN∽△AEM，得：ANNFAN2，即， AMMEAN23

解得：AN＝4，选B。

3、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ）

C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为

点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：

222①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE+DC=DE，

其中正确的有（ ）个．

为 7 ．

7、（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）

8、（2013•

牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②

形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（ ） ；③△PMN为等边三角

9、（2013•黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．

10、（2013台湾、33）如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（ ）

A．甲＞乙，乙＞丙 B．甲＞乙，乙＜丙

考点：相似三角形的判定与性质． C．甲＜乙，乙＞丙 D．甲＜乙，乙＜丙

分析：首先过点B作BH⊥GF于点H，则S乙=AB•AC，易证得△ABC∽△DBE，

△GBH∽△BCA，可求得GF，DB，DE，DF的长，继而求得答案．

解答：解：如图：过点B作BH⊥GF于点H，

则S乙=AB•AC，

∵AC∥DE，

∴△ABC∽△DBE， ∴，

∵BC=7，CE=3，

∴DE=AC，DB=AB，

∴AD=BD﹣BA=AB，

∴S丙=（AC+DE）•AD=AB•AC，

∵A∥GF，BH⊥GF，AC⊥AB，

∴BH∥AC，

∴四边形BDFH是矩形，

∴BH=DF，FH=BD=

∴△GBH∽△BCA， ∴， AB，

∵GB=2，BC=7，

∴GH=AB，BHAC，

∴

DF=AC，GF=GH+FH=

∴S甲=（BD+GF）•DF=

∴甲＜乙，乙＜丙．

故选D．

AB， AB•AC，

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

考点四：相似三角形的应用

1、（2013•白银）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为

2、（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米 ．

BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．

第二部分 专题

专题一：相似三角形与反比例函数

专题二：相似三角形与二次函数

专题三：相似三角形与圆、影长

相似形与中考

中考要求及命题趋势

1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段、黄金分割；

2、通过具体实例认识图形 的相似，理解相似图形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；

3、了解两个三角形相似的概念，理解两个三角形的相似的条件；

4、了解图形 的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小；

5、灵活运用图形的相似解决一些实际问题；

6、认识并能画出平面直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点位置写出它的坐标；

7、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；

8、在同一直角坐标系中，感受图形变换后的坐标 的变化；

9、灵活运用不同的方式确定物体的位置。

2014年中考将继续考查相似三角形的判定和性质，试题更加贴近生活；考查运用不同的方式确定物体的位置，以及感受在同一坐标系中，图形变换后的坐标的变化。 应试对策

1、要掌握基本知识和基本技能；

2、运用相似形的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养数学建模的思想；

3、在综合题中，注意相似形的灵活运用，并熟练掌握等线段、等比代换，等代换技巧的运用，培养综合运用知识的能力；

4、会画直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标，会灵活运用不同的方式确定物体的位置，由点的位置写出它的坐标，

5.在坐标系描述物体的位置。

6.感受图形变化后的坐标的变化