智爱高中数学 抽象函数的周期与对称轴

智愛高中數學 抽象函数的周期与对称轴

一. 内容：抽象函数的周期与对称轴

二. 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。

难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。

三. 具体内容

1. 若f (x ) =f (x +T ) 则f (x ) 的周期为T 。

T =b -a 2. 若f (x +a ) =f (b +x ) 则f (x ) 的周期为

证：令x =x -a ∴ f (x ) =f (x +b -a )

T =2b -a 3. f (x +a ) =-f (x +b ) 则f (x ) 的周期

证：令x =x -a ∴ f (x ) =-f (x +b -a ) ①

令x =x -b ∴ f (x +a -b ) =-f (x ) ②

由①②得：-f [x +(a -b )]=-f [x +(b -a )]

T =2b -a ∴ f [x +(a -b )]=f [x +(b -a )] ∴

a +b

2 a +b a +b f (+x ) =f (-x ) 证：要证原结论成立，只需证22 b -a a +b a +b f (a +x ) =f (b -x ) x =+x f (+x ) =f (-x ) 令代入 则 222

a +b (, 0) 为对称中心f (a +x ) =-f (b -x ) f (x ) 5. 若则的图象，以2。

a +b a +b f (+x ) =-f (-x ) 证：方法一：要证原结论成立只需证22 b -a a +b a +b x =x +f (+x ) =-f (-x ) f (a +x ) =-f (b -x ) 令 则2代入22 方法二：设y =f (x ) 它的图象为C 4. 若f (a +x ) =f (b -x ) 则f (x ) 图象的对称轴为x =

a +b , 0) 的对称点P '(a +b -x 0, -y 0) 2

f (a +b -x 0) =f [a +(b -x 0)]=-f [b -(b -x 0)]=-f (x 0)

f (x 0) =y 0 ∴ f (a +b -x 0) =-y 0 ∴ P '∈C ∵ ∀P (x 0, y 0) ∈C (则P 关于点

【典型例题】

[例1] 对于y =f (x ) ，x ∈R 有下列命题。

（1）在同一坐标系下，函数y =f (1+x ) 与y =f (1-x ) 的图象关于直线x =1对称。

（2）若f (1+x ) =f (1-x ) 且f (2-x ) =f (2+x ) 均成立，则f (x ) 为偶函数。

（3）若f (x -1) =f (x +1) 恒成立，则y =f (x ) 为周期函数。

x y =f (a ) （a >0且a ≠1）也为单调增函数，f (x ) （4）若为单调增函数，则

其中正确的为？

解：（2）（3）

3f (x ) =(x +a ) ∀x ∈R 有f (1+x ) =-f (1-x ) 求f (2) +f (-2) 。 [例2] 若函数

解：∀x ∈R ，f (1+x ) =-f (1-x ) 知f (x ) 的图象关于(1, 0) 对称

3f (x ) =(x +a ) 而的对称中心P (-a , 0) ∴ a =-1

33f (x ) =(x -1) f (2) +f (-2) =1-(-3) =-26 ∴ 则

[例3] 设f (x ) 是定义在R 上的函数，∀x ∈R 均有f (x ) +f (x +2) =0当-1

解：由∀x ∈R 有f (x ) =-f (x +2) 得T =4

设x ∈(1, 3]则(x -2) ∈(-1, 1]

f (x -2) =f (x -2+4) =f (x +2) =-f (x )

∴ f (x ) =-f (x -2) =-[2(x -2) -1]=-2x +5

∴ 1

[例4] 已知f (x ) 是定义在R 上的函数且满足f (x ) +f (x -1) =1，当x ∈[0, 1]时

2f (x ) =x 有则

（1）f (x ) 是周期函数且周期为2

2f (x ) =2x -x x ∈[1, 2]（2）当时，

（3）f (-2004, 5) =

解：（1）（2）（3） 3其中正确的是？ 4

[例5] 已知f (x ) 满足f (x +2) =f (x -2) ，f (4+x ) =f (4-x ) ，

2f (x ) =x +bx +c 且f (-4) =-13， -6≤x ≤-2当时，

b c m =f () n =f () p =f (11) 求m 、n 、p 的大小关系？若3，2，

解：由已知得T =4，对称轴x =4 ∴ x =-4也为一条对称轴

b -=-4 ∴b =8 ∴ 2

4c -64f (-4) =-13=-13∴ c =3由 ∴ 4

83m =f () n =f () 2，p =f (11) =f (3) ∴ n >m >p 3， ∴

[例6] 定义在R 上的函数f (x ) 既是偶函数又是周期函数，若f (x ) 的最小正周期

π5f (x ) =sin x x ∈[0, ]f (π) 的值。π是，且当时，求23 522πππ3f (π) =f (π+π) =f (π) =f (-) =f () =sin =333332 解：3

∀m ，n ∈R 有f (m +n ) =f (m ) ⋅f (n ) 且当x >0[例7] 设y =f (x ) 定义在R 上，

时，0

（1）求证：f (0) =1且当x 1

（2）求证：f (x ) 在R 上递减。

解： （1）在f (m +n ) =f (m ) ⋅f (n ) 中，令m =1，n =0得f (1) =f (1) f (0) ∵ 0

设x 0令m =x ，n =-x 代入条件式

1f (x ) =>1f (0) =f (x ) f (-x ) f (0) =1有而 ∴ f (-x )

（2）设x 10 ∴ 0

令m =x 1，m +n =x 2则n =x 2-x 1代入条件式得f (x 2) =f (x 1) f (x 2-x 1) 即0

【模拟试题】

一. 选择

1. 已知f (x ) 满足f (x +3) =f (x ) ，x ∈R 且f (x ) 是奇函数，若f (1) =则f (2000) =（ B ） A. 2 B. -2 C. 3+2 D. 3-2

2. 已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且f (x +4) =f (x ) 对任何实数均成立，当0≤x ≤2时，f (x ) =x ，当398≤x ≤400时，f (x ) =（ C ）

A. x -400 B. x -398 C. 400-x D. 398-x

3. 若函数f (x ) =3sin(ωx +ϕ) ，∀x ∈R 都有f (

等于（ D ）

A. 0 B. 3 C. -3 D. 3或-3 π6+x ) =f (π-x ) 则f () 66π

3y =π-2x ) 是（ C ） 4. 函数2

A. 周期为2π的奇函数 B. 周期为π的偶函数 C. 周期为π的奇函数 D. 周期为4π的奇函数

5. f (x ) =2sin(2x +θ) 的图象关于y 轴对称的充要条件是（ C ） 2 B. θ=2k π+π C. 2 D. θ=k π+π

6. 如果f (x +π) =f (-x ) 且f (x ) =f (-x ) 则f (x ) 可以是（ D ）

sin x sin x sin 2x cos x A. A. B. C. D. 7. y =sin(x +θ) +cos(x -θ) 为偶函数的充要条件是（ B ） A. θ=2k π+πθ=k π+π6

8. 设f (x ) 是R 上的奇函数，f (x +2) =-f (x ) 当0≤x ≤1时，f (x ) =x ，则f (7. 5) =（ B ） 3 B. θ=2k π-πθ=k π-π6 C. θ=2k π±π6 D. θ=k π+π

A. 0.5 B. -0. 5 C. 1.5 D. -1. 5

2f (x ) =x +bx +c ，∀x ∈t 有f (2+t ) =f (2-t ) 那么（ A ） 9. 设

A. f (2)

D. f (4)

10. y =f (x ) 定义在R 上，则y =f (x -1) 与y =f (1-x ) 的图象关于（D ）

A. y =0对称 B. x =0对称 C. y =1对称 D. x =1对称

二. 填空

1. f (x ) 是R 上的奇函数，且f (x +2π) =f (x ) ，则

f (π) +f (2π) +f (3π) + +f (2003π) = 0 。

2. 函数y =sin(2x +π

3. f (x ) 为奇函数，且当3的图象的对称轴中最靠近y 轴的是 。12 f (x ) =x x -2x >0x

4. 偶函数f (x ) 的定义域为R ，且在(-∞, 0) 上是增函数，则

33f (-) >f (a 2-a +1) f (-) ≥f (a 2-a +1) 44（1） （2）

33f (-)

中正确的是 （2） 。

三. 解答题

1x 2∈[0, ]2都1. 设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，图象关于x =1对称，∀x 1、

有f (x 1+x 2) =f (x 1) f (x 2) 且f (1) =a >0

11f () f () （2）证明：f (x ) 是周期函数（1）求、24

1∀x , x ∈[0, ]都有f (x 1+x 2) =f (x 1) ⋅f (x 2) 2解：（1）∵ 12

x x f (x ) =f () ⋅f () ≥0 x ∈[0, 1]∴22

111112f (1) =f (+) =f () ⋅f () =[f ()]∵ 22222

[1**********] ∵ f () =a ，f () =f (+) =[f ()]∴f () =a 22444 4

（2）由已知f (x ) 关于x =1对称 ∴ f (x ) =f (1+1-x )

即f (x ) =f (2-x ) ，x ∈R 又由f (x ) 是偶函数知f (-x ) =f (x ) ，x ∈R ∴ f (-x ) =f (2-x ) ，x ∈R 将上式中-x 以x 代换得f (x ) =f (x +2) ∴ f (x ) 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期

2. 如果函数y =f (x ) 的图象关于x =a 和x =b (a

证：∵ f (x ) 关于x =a 和x =b 对称

∴ f (x ) =f (2a -x ) ，f (x ) =f (2b -x )

∴ f (2a -x ) =f (2b -x ) 令2b -x =A ，则2a -x =2(a -b ) +A ∴ f [2(a -b ) +A ]=f (A ) 即f [2(a -b ) +x ]=f (x )

12f (x ) =x +bx +c f (1+t ) =f (1-t ) f () 与3. 已知对任意实数t 都有，比较2

f (2) 的大小。

2f (x ) =x +bx +c 的对称轴是1 f (1+t ) =f (1-t ) 解：由知抛物线

133f () =f () 而2>22 ∴ 2

31f (x ) (1, +∞) f (2) >f () f (2) >f () 根据在上是增函数得即22

4. 定义在实数集上的函数f (x ) ，对一切实数x 都有f (1+x ) =f (2-x ) 成立，若方程f (x ) =0仅有101个不同实根，求所有实根之和。

解：设u =2-x 即x =2-u ∴ f (u ) =f (3-u )

3303f (x ) =f (3-x ) 101⨯=∀x ∈R ∴ 有 ∴ 所有实根之和为22

注：一个结论：设y =f (x ) ，∀x ∈R 都有f (x ) =f (2a -x ) 且f (x ) =0有k 个

实根(k ≥2) ，则所有实根之和为ka

练 习

一. 选择

1. 已知f (x ) 满足f (x +3) =f (x ) ，x ∈R 且f (x ) 是奇函数，若f (1) =则f (2000) =（ ） A. 2 B. -2 C. 3+2 D. 3-2

2. 已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且f (x +4) =f (x ) 对任何实数均成立，当0≤x ≤2时，f (x ) =x ，当398≤x ≤400时，f (x ) =（ ）

A. x -400 B. x -398 C. 400-x D. 398-x

3. 若函数f (x ) =3sin(ωx +ϕ) ，∀x ∈R 都有f (

等于（ ）

A. 0 B. 3 C. -3 D. 3或-3 π6+x ) =f (π-x ) 则f () 66π

3y =π-2x ) 是（ ）4. 函数2

A. 周期为2π的奇函数 B. 周期为π的偶函数 C. 周期为π的奇函数 D. 周期为4π的奇函数

5. f (x ) =2sin(2x +θ) 的图象关于y 轴对称的充要条件是（ ） D. θ=k π+π2 2

6. 如果f (x +π) =f (-x ) 且f (x ) =f (-x ) 则f (x ) 可以是（ ） A. θ=2k π+

A. sin 2x B. cos x C. π B. θ=2k π+π C.θ=k π+πsin x D. sin x 7. y =sin(x +θ) +3cos(x -θ) 为偶函数的充要条件是（ ） 6 6 6

8. 设f (x ) 是R 上的奇函数，f (x +2) =-f (x ) 当0≤x ≤1时，f (x ) =x ，则f (7. 5) =（ ）

A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5

9. 设f (x ) =x +bx +c ，∀x ∈t 有f (2+t ) =f (2-t ) 那么（ ）

A. f (2)

C. f (2)

2A. θ=2k π-π3 B. θ=k π-πC. θ=2k π±π D. θ=k π+π

10. y =f (x ) 定义在R 上，则y =f (x -1) 与y =f (1-x ) 的图象关于（ ）

A. y =0对称 B. x =0对称 C. y =1对称 D. x =1对称

二. 填空

1. f (x ) 是R 上的奇函数，且f (x +2π) =f (x ) ，则

f (π) +f (2π) +f (3π) + +f (2003π) =

2. 函数y =sin(2x +π

3. f (x ) 为奇函数，且当) 3的图象的对称轴中最靠近y 轴的是 。 f (x ) =x x -2x >0x

4. 偶函数f (x ) 的定义域为R ，且在(-∞, 0) 上是增函数，则

33f (-) >f (a 2-a +1) f (-) ≥f (a 2-a +1) 44（1） （2）

33f (-)

中正确的是 。

三. 解答题

1∀x f (x ) x ∈[0, ]都x =111. 设是定义在R 上的偶函数，图象关于对称，、22

有f (x 1+x 2) =f (x 1) f (x 2) 且f (1) =a >0

11f () f () （1）求、 （2）证明：f (x ) 是周期函数 24

2. 如果函数y =f (x ) 的图象关于x =a 和x =b (a

12f (x ) =x +bx +c f (1+t ) =f (1-t ) f () 与3. 已知对任意实数t 都有，比较2

f (2) 的大小。

4. 定义在实数集上的函数f (x ) ，对一切实数x 都有f (1+x ) =f (2-x ) 成立，若方程f (x ) =0仅有101个不同实根，求所有实根之和。