2012深圳中考--圆和抛物线专题训练及答案
圆和抛物线综合题专题训练
1、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) 的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，
1
与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0) ，OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝．
3
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度；
(3) 如图2，若点G (2，y ) 是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．
图1 图2
312
x －1与抛物线y ＝－x 交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ． 44
（1）求线段AB 的长；
（2）若以AB 为直径的圆与直线x ＝m 有公共点，求m 的取值范围； 2、如图1，直线y ＝
（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n 个单位（n ＞0），抛物线与x 轴交于P ，Q 两点，过C ，P ，Q 三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n 的值，若不存在，请说明理由．
3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于
A 、B 、C 、D 四点．抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交于点D ，与直线y =x 交于点M 、N ，且MA 、NC
分别与圆O 相切于点A 和点C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．
4、如图所示，抛物线与x 轴交于点A (-10与y 轴交于点C (0，，)、B (3，0)两点，-3). 以AB 为直径作⊙M ，过抛物线上一点P 作⊙M 的切线PD ，切点为D ，并与⊙M 的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交⊙M 于点N ，连结AN 、AD .
（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； （2）若四边形EAMD
的面积为求直线PD 的函数关系式；
（3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于△DAN 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
1. 解：（1）由OC=OB=3，知C (0，在Rt △AOC 中，OA=OC×tan ∠ACO=3⨯-3) 连接AC ，
1
（-1，0）=1，故A
3
设所求二次函数的表达式为y =a (x +1)(x -3) 将C (0，-3) 代入得-3=a (0+1)(0-3) ，解得a =1， ∴这个二次函数的表达式为y =x 2-2x -3。
（2）解法一：①当直线MN 在x 轴上方时，设所求圆的半径为R （R>0），设M 在N 的左侧， ∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴x =1上，∴N （R+1，R ）代入y =x 2-2x -3中得
R =(R +1) 2-2(R +1) -
3，解得R =
1。 2
②当直线MN 在x 轴下方时，设所求圆的半径为r (r >0) ，由①可知N (r +1，-r ) ，代入抛物线方程
可得r =
-1+。 2
（2）解法二：①当直线MN 在x 轴上方时，设所求⊙的半径为R （R>0）, M (x 1，R ) 、N (x 2，R ) ，则x 1和x 2是方程R =x -2x -3的两根∴△=4+4(3+R ) >0 ⎨
2
⎧x 1+x 2=2
由x 1-x 2=2R 得，
⎩x 1⋅x 2=3-R
。 (x 1+x 2) 2-4x 1x 2=4R 2 ∴4-4(-3-R ) =
4R 2。解得R =
②当直线MN 在x 轴下方时，设所求圆的半径为r (r >0) ，M (x 1，-r ) 、N (x 2，-r ) ，则x 1和x 2是方
2
程-r =x -2x -3的两根 ∴△=4-4(r -3) >0，解得r
⎧x 1+x 2=2
由x 1-x 2=2r 得，(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=4r 2 ⎨
⎩x 1⋅x 2=-3+r
∴4-4(-3+r ) =
4r 2。解得r =
-1-1。
。
r =22（3）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，
-3) 。 把G （2，y ）代入抛物线的解析式y =x -2x -3得G (2，
2
，0) 可得直线AG 的方程为y =-x -1 由A (-1
-x -1) ，PQ =-x +x +2， 设P (x ，x -2x -3) ，则Q (x ，
13
PQ ⋅(G 横坐标-A 横坐标）=-x 2+x +2) 22
111527
-) ，△APG 的面积最大值为当x =时，△APG 的面积最大。 此时P 点的坐标为(，。
2248S ∆APG =S ∆APQ +S ∆GPQ =
2
2
2. 解：由题意：
，解得：x
2+3x-4=0，即x=-4或x=1．代入求得y=-4或-，
或，即点A （-4，-4）B （1，-），则AB=
），
；
2）由（1）可得A ，B 中点即圆的圆心点O 为（则圆的方程式为：
①与x=m②
有公共点即有解， 把②代入①判定判别式≥0即可． （3）抛物线平移后为：存在．
理由如下：抛物线平移后为：
，其对称轴是x=2． ．
由于过P 、Q 的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，
即点C 到圆心的距离要最短，过C 作CE 垂直抛物线的对称轴，垂足为E ， 则符合条件的圆是以E 为圆心，EC 长为半径的圆， 其面积为4π．
3. 解：（1） 圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，
0) B (0，-1) 、C (1，、0) D (0，1) ∴点A 、B 、C 、D 的坐标分别为A (-1，、
抛物线与直线y =x 交于点M 、N ，且MA 、NC 分别与圆O 相切于点A 和点C ，
-1) 、N (11)，． 点D 、M 、N 在抛物线上， ∴M (-1，
，、M (-1，-1) 、N (11)，的坐标代入 将D (01)
⎧c =1⎧a =-1
⎪⎪
y =ax 2+bx +c ，得：⎨-1=a -b +c 解之，得：⎨b =1 ∴抛物线的解析式为：y =-x 2+x +1．
⎪1=a +b +c ⎪c =1⎩⎩
（2） y =-x 2+x +1=- x -
⎛⎝
11⎫5
x =
抛物线的对称轴为， ∴
+⎪22⎭4
2
1．连结BF ，∠BFD =90°， ∴OE =，DE ==
22
DE OD ∴△BFD ∽△
EOD ，∴=，又DE
=OD =1，DB =2，
DB FD ∴FD
=
-=，∴EF =FD -DE =（3）点P 在抛物线上．
55210
设过D 、C 点的直线为：y =kx +b ，
将点C (1，、0) D (01)，的坐标代入y =kx +b ，得：k =-1，b =1，
∴直线DC 为：y =-x +1．过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为y =-1，
将y =-1代入y =-x +1，得：x =2．∴P 点的坐标为(2，-1) ，
当x =2时，y =-x 2+x +1=-22+2+1=-1，所以，P 点在抛物线y =-x 2+x +1上
4. 解：（1）因为抛物线与x 轴交于点A (-10，)、B (3，0)两点，
设抛物线的函数关系式为：y =a (x +1)(x -3)， ∵抛物线与y 轴交于点C (0， -3)，∴-3=a (0+1)(0-3)，∴a =1. 所以，抛物线的函数关系式为：y =x 2-2x -3， 又y =(x -1)-4， 因此，抛物线的顶点坐标为(1 ，-4)．（2）连结EM ，∵EA 、ED 是⊙M ，的两条切线， ∴EA =ED ，EA ⊥AM ，ED ⊥MN ，∴△EAM ≌△EDM 又四边形EAMD
的面积为
∴S △EAM =
∴
2
1
AM ·AE = 2
或E 2-1，-. 又AM =2，
∴AE =因此，点E
的坐标为E 1-1
当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限. 在直角三角形EAM
中，tan ∠EMA =
((EA ==AM ，∴∠EMA =60°∴∠DMB =60° 过切点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，
∴MF =1 ，DF 因此，切点D
的坐标为2．
(、D 2的坐标代入得
设直线PD 的函数关系式为y =kx +b ，
将E -1
(
(⎧k =⎪=2k +b ⎪ 所以，直线PD
的函数关系式为y =-x +
解之，得⎨
33⎪⎪b =⎩
=-k +b
⎪⎩
当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限.
同理可求：切点D
的坐标为2，，直线PD
的函数关系式为y =因此，直线PD 的函数关系式为
(x - 33
y =x +3）若四边形EAMD 的面积等于△DAN 的面积
又S 四边形EAMD =2S △EAM ，S △DAN =2S △AMD ∴S △AMD =S △EAM
∴E 、D 两点到x 轴的距离相等，
∵PD 与⊙M 相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧， ∴切线PD 与x 轴平行，
此时切线PD 的函数关系式为y =2或y =-2. 当y =2时，由y =x 2-2x -
3得，x =1 当y =-2时，由y =x 2-2x -
3得，x =1
、P 21、P 31-2、
故满足条件的点P 的位置有4
个，分别是P 11P 41-2.
(
)(
)()
()