圆上任选三点组成三角形,这个三角形是锐角.钝角和直角三角形的概率分别是多少
07-30
网上找了一下,直角三角形概率为0基本没争议。锐角三角形的概率为1/4、1/3、1/2都有,不知道哪个对。
【陳浩的回答(10票)】
取极坐标下单位圆。
取A点。不失一般性,设A点所处角度为0。
取B点,
B点角度 t 在(-pi, pi]的范围内均匀分布。
即B点处于(T, T+dt)中的概率为dt / 2pi
取C点,討論B点角度 t
t>0,则C在(-pi, t-pi)的范围内时,ABC为锐角。
t<0,则C在(pi+t, pi)的范围内时,ABC为鋭角。
以上两个事件概率都为 |t| / 2pi
最后要求的是:|t| dt / (2 pi)^2 对 t 从 -pi 至 pi 积分
答案是 1/4
【天二的回答(0票)】
任取一点A,计算该情况下的条件概率。可以设想把圆从A点剪断,拉成一直线,就转化为常见的相遇问题了。然后由此条件概率计算出所求概率。不同取法答案可能不同,但这些取法下点在圆周上就不是均匀分布了。
【X-me的回答(0票)】
辩证一下:既然圆上任选三点,那么我选一直径的两点,第三点随便,不重合就OK,那么直角三角形机率为0?
【张正雄的回答(0票)】
(有错误,慎看)
锐角为1/4。
思路:
假设有一个锐角三角形ABC,那么其外接圆的圆心O点一定在三角形的内部。
找到ABC点关于O点的对称点DEF,连接BD,CD,AE,CE,AF,BF。
那么ABF,ACE,BCD是钝角三角形,因为其三角形外接圆圆心O点在三角形的外面。
所以在一个圆中如果找到一个锐角三角形,那么就对应有三个钝角三角形。
由于出现直角三角形概率为0(不可能事件),所以锐角三角形出现概率为1/4。
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