在空气阻力影响下的落体偏东问题的探讨

在空气阻力影响下的落体偏东问题的探讨

摘 要:通用的高等学校理论力学教材中关于自由落体偏东问题通常忽略了空气阻力的影响。在空气阻力作用下自由落体偏东的规律，更进一步探讨自由落体偏东的实际情况。 关键词：非惯性参照系；科里奥利力；惯性离心力；落体偏东

Under the influence of the air resistance in the north by east fall the paper

discusses the problems

Abstract:General higher school theoretical mechanics in the teaching material about free fall partial east problems often ignore the influence of the air resistance. This paper studies the air resistance in under the law of partial east free fall,further objectively reflect the partial free fall to the actual situation of the east.

Key words:The inertial frame;Coriolis force;Inertia centrifugal force ;Freefall partial east

0 引言

在一般的理论力学教科书中，当研究地球自转所产生的影响问题中，物体从有限高度h处自由下落而抵达地面时，在适当选取好坐标系，建立起初始条件，并且在不计空气阻力的情况下，很容易得到的结论是：落体会产生数值很小的偏东现象。分析其力学原因是由于地球不是静止的，当物体沿竖直方向自由下落时，由于地球的转动，科里奥利力改变了它的着地位置。然而，可以看出，在研究该问题的力学分析过程中都忽略了一个重要因素，即空气阻力的影响。事实上，空气阻力是客观存在的。因此，这种分析方法存在一定的缺陷，必然不能准确的反映出物体运动的实际情况，故而会对研究的结果产生偏差。有必要在考虑空气阻力存在的情况下，研究落体偏东问题。只有这样，才能更准确地反映出落体偏东的实际情况，从而使研究的结果更加可靠，并且更具有实际价值。

1 无空气阻力下的落体问题

物体在地球表面的高度h处自由落下，如图(a,b)示，由于地球自转的影响，落体并不沿着铅垂线下降，落地点将比垂足点稍微偏东一些。下面通过计算得出无空气阻力下的落体问题的表达式。

取地面上的点为原点o，当地的东北天方向为直角坐标系的方向。设当地的纬度为，



因此地球自转角速度向量可表示为cosjsink。质点的运动方程为





mrmgk2mr

(1)



(其中等号右边第一项是重力，它是地心引力与离心惯性力的向量和，k沿重力的反方向。)

取x,y,z三个分量的方程，并消去m以后得到

sinzcos)x2(y



sin)y2(x (2) 

cos)zg2(x

(0)y(0)z(0)0 自由落体的初始条件为x(0)0,y(0)0,z(0)h;x

求解这组方程，其解必定与有关。因为是小量，则可按展成幂级数，其形式如下

sinzcos)x2(y



sin)y2(x  (3)

cos)zg2(x

略去阶次高于的小量，得到近似解为

x(t)x0(t)x1(t)

y(t)y0(t)y1(t) (4) z(t)z(t)z(t)

01

将上式代入式(3)和初始条件，比较的零次项及一次系数，得出两组微分方程初始问题如下

x0(t),y0(t),z0(t)满足微分方程

x00,y00,z0g (5)

初始条件为

x0(0)

0(0) x

0y,00y,0

(0)

z00,

(0h )(0 )

(0)z0,0

这刚好就是假定0时的微分方程及初始条件，解为

x0(t)0,y0(t)0,z0(t)h

12

gt (6)

2

这就是自由落体问题的第零次近似解。 另外x1(t),y1(t),z1(t)满足微分方程

0sin2z0cosx12y



0siny12x (7) 

0cosz12x

初始条件为

x1(0)y1(0)z1

1(0)y1(0)z1 x

(0)

(0) 0

将零次近似解代入以后便可以解得

x1(t)

13

gtcos；y1(t)0；z1(t)0 (8)

3

于是可以得到自由落体问题的一次近似解为

13

x(t)xxgtcos013

(9) y(t)y0y10

1z(t)z0z1hgt2

2

由第三式可以解得物体落到地面(z0)所需要的时间为

t(2h/g)

1/2

(10)

代入第一式就可以求出物体落地时向东的偏差量为

y

13g(

2hg)

3/2

cos (11)

此式即为无空气阻力条件下落体问题的表达式。

2 空气阻力下的落体问题

事实上，空气阻力是客观存在的。因此，这种分析方法存在一定的缺陷，必然不能准确的反映出物体运动的实际情况，故而会对研究的结果产生偏差。所以有必要在考虑空气阻力存在的情况下，研究落体偏东问题。只有这样，才能更准确地反映出落体偏东的实际情况，从而使研究的结果更加可靠，并且更具有实际应用价值。由于物体在下落过程中要受到空气阻力的作用，而这种作用要根据落体速度的大小分为以下两种情况。

2.1 空气阻力与速度的大小关系



1.当落体从低空高度h处下落时，其速度值较小。此时，可近似地认为空气阻力f只与



速度v'的量值的一次方成正比，即



fAv' (12)

式中A为阻力系数，可由实验方法确定。

2.当落体从较高处自由下落时，由于落体接近地面时其速度值较大，这就需要把落体的

下落过程分成两个阶段来进行分析。第一阶段即为前一种情况，所受到的空气阻力f仍遵从2

(12)式。然而在，第二阶段中，由于其速度值较大，此时，可近似地认为空气阻力f 与v成

正比，即



2

fkv' (13)



式中K亦为阻力系数，同样由实验方法确定。为速度v' 方向上的单位矢量。显然，后一种



情况要比前一种情况更复杂一些。而且，对于第二种情况，当f 与v'2成正比时，非常复杂，

故在此不作分析。这里只分析第一种情况，即当f与v' 成正比时，落体偏东的规律。

2.2 空气阻力与速度成正比时的落体问题



如上图所示，圆球代表地球。一质量为m的质点在北半球上的某点p以速度v' 相对于

地球运动，p点的纬度为，图中SN为地轴。单位矢量i，j，k ，则固着在地球表面上。

且i水平向南，j水平向东，k竖直向上。令转动坐标系x，y，z与i，j，k，重合，即

x轴指向南方，y轴指向东方，z轴竖直向上。考虑到质点相对于地球运动时，质点离地轴的

距离的变化，一般并不太大，故惯性离心力的效应，只要用重力代替引力就可以了。因此，在研究质点相对于地球的运动时，可以只考虑科里奥利力的效应。这样就可以略去含有项

的惯性离心力，即认为：重力mg通过地球的球心。除此之外，质点必然要受到空气阻力f 

的作用，此f即属于前面所述的第一种情况，它遵从(12)式。令Amb，则(12)式可写成

2



fmbv' (14)

式中b为常数。由(14)式可写出该质点的矢量微分运动方程

m

dv'dt



mbv'mgk2mv' (15)



为清晰计，图中f，v'，mg均未画出。将v' 投影到x，y，z 三个坐标轴上，则(14)式

可写成



 fmb(xiyjzk) (16)



又因与i，k共面，则可将科里奥利力投影到x，y，z 三个坐标轴上



i



vcos

x





j0y

k

siz

sini(zcos y



sin)jycosk (17) x

由(15)式，即得到质点p在x，y，z 三个方向的微分运动方程

2mysinmxmbx

2m(xsinz mcos) (18) ymby

cosmg2mymzmbz

利用(18)式即可以定量地研究落体偏东的问题。

如果质点从有限的高度h处自由下落，那么我们可以认为g值不变。而且当t0，质点的初速度也等于零，故其初始条件为

t0,xy0,zh。故对(18)式积分一次并代入初始条件后，得

xbx2ysin

yby2[xsin(zh)cos] (19)

zb(zh)gt2ycos

联合(18)、(19)式，整理后，得

xbx2ysin

nz(h 4[xsi

2

)co s]

  s (20) yby2bsxin2gtco

2(zh)cos4y zbz 4

2

2

2

g2cosx[

bcyos sinz(h

)c os

]

2

在(20)式中又出现了项。但如质点自离地面200m的高度处自由下落，则项的值不会

超过106m/s2，即2h(7.3105)2200106 而如质点速度在1m/s的数量级时，科里奥利加速度2v的数量级约为27.31051104 ，相差100倍左右。因此，可以在(20)式中再度略去含2的项。这样，(20)式就简化为

2bysin xbx

2bxsin （21）yby

2gtcos2(zh)cos g2bycos zbz

由(19)式中的第一式，得

y

bxx2sin

把上式代入(21)式中的第一式，整理后，得

b2x0 (22) x2bx

(22)式的通解可以写为

x(c1c2t)e

bt

(23)

式中c1和c2为常数，可由初始条件确定。即当t0时x0,因此，可确定出c1c20，x0。故(23)式成为

x0 (24)

该结论说明，质点在自由下落过程中，在x轴方向没有运动。这与不计空气阻力时的结果是一致的。

由(19)式中的前两式，得

by2xsin) 2(zh)cos(y

把上式代入(21)式中的前两式，整理后，得

by2gtcos (25) y2by

上式是一个二阶常系数非齐次线性微分运动方程。通解为特解和对应的齐次线性方程的通解 之和。由初始条件解(25)式得

y

2gcos

b

2

t

4gcos

b

3

(c1c2t)e

bt

(26)

由此又得

 y

2gcos

b

2

t[c2b(c1c2t)]e

bt

(27)

利用初始条件t0时，y0,y0；分别代入(26)和(27)式，得

c1

故(26)式成为

y

2gcos

b[

2

4gcos

b

3

，c2

2gcos

b

2

t

4gcos

3

4gcos

b

3



b

2gcos

b

2

]e

bt

(28)

为了便于和不计空气阻力时的结果进行比较，可将(28)式中的指数函数ebt展开为bt的幂级数，即

y

2gcos

b[

2

t

4gcos

3

4gcos

b

3



2

b

2gcos

b

2

]

[1(bt)

(bt)2!



(bt)3!

3



(bt)4!

4



(bt)5!

5

]

((bt))

整理上式，并考虑到b的数值很小，故对b保留到二级近似，可得

y

上式与不计空气阻力时的结果y

13

13

gcostgcost33

16

b120

2

b t()29)

2

3

gcost 比较，显然，此时y(t)的形式要复杂得多。

3 偏东问题分析

从偏东的程度上来看，其数值要比不计空气阻力时的数值略小一些，分析其原因是由于落体在偏东方向的运动中受到了空气阻力的作用。由(19)式中的第三式，得

y

代入(21)式中的第三式，整理后，得

22

bzbgt(bhg) (30) z2bz 

gtb(zh)z

2cos

上式亦为一个二阶常系数非齐次线性微分运动方程，与(25)式的解法相同，(30)式的通解为

z由此又得

 z

gb

[(c2bc1)bct2e]

bt

gb

t(h

gb

)(c1c2t)e2

bt

(31)

z0；分别代入(31)和(32)式，得 利用初始条件t0时，z0，

c1

gb

2

，c2=0

因此，(31)式成为

z

gbt(h

gb)2

gb

2

e

bt

(32)

为了便于比较，将(33)式中的指数函数ebt展开为bt的幂级数，即

z

gbt(h

2

gb

)2

gb

2

[1(bt)

4



(bt)2!



(bt)3!

3



(bt)4!



(bt)5!

5



整理上式，与前相同，对b保留到二级近似，可得 zh上式与不计空气阻力时的结果zh

12

2

12

gt

2

16

gt(b

3

4

12

bt) (33)

gt 比较，显然，此时z(t)的形式要复杂得多。从下

落的快慢程度上来看，此时下落的速度要比不计空气阻力时的速度略小一些。分析其原因是由于落体在下落过程中受到了空气阻力的作用。由(29)式和(33)时可以看出质点的运动轨迹(参数t无法消去)，显然不同于不计空气阻力时的运动轨迹（半立方抛物），即y

2

8cos

9g

22

(zh)而是变成了一条更加复杂的曲线类型。

3

参考文献：

[1] 周衍柏.理论力学教程[M].北京:高等教育出版社, 1986.(2):71~92. [2] 肖士珣.理论力学简明教程[M]. 北京:高等教育出版社, 1983.(2):108~123. [3] 冯麟保,常寒婴,杨朝潢.理论力学[M].北京师范大学出版社, 1987.86~117. [4] 金尚年.经典力学[M]. 上海:复旦大学出版社, 1987.107~131. [5] 萧景林.理论物理概论[M].内蒙古大学出版社, 2000.88~95.