2.6函数的连续性与间断点2
四、函数的间断点1、函数的间断点 2、间断点的分类
1、 函数的间断点⎧1. f ( x)在x0 处及附近有定义 ⎪ ⎪ 2. lim f ( x)存在 f ( x)在x0 处连续的三要素⎨ x→ x 0 ⎪ ⎪ 3. lim f ( x) = f ( x0 ) ⎩ x → x0
设 f ( x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 之一函数 f (x) 在点 x0 不连续 : (1) 函数 f ( x) 在 x0 无定义 ; (2) 函数 f ( x) 在 x0 虽有定义 , 但 lim f ( x) 不存在;x → x0(3) 函数 f ( x) 在 x0 虽有定义 , 且 lim f ( x) 存在 , 但x → x0lim f ( x) ≠ f ( x0 )x → x0这样的点 x0 称为间断点 .
几种常见的间断点类型: 1 【例1】设 f ( x) = 2 ,当 x → 0, f ( x ) → ∞, 即极限不 x 存在,所以 x = 0 为 f ( x ) 的间断点。 1 因为 lim 2 = ∞ ,所以 x = 0 为无穷间断点。 x →0 x
1 【例2】 y = sin 在 x = 0 点无定义,且当 x → 0 时, x y y = sin 1 函数值在-1与1之间无限次x地振荡,而不超于某一定数, 这种间断点称为振荡间断点。0x
sin x 【例3】 y = 在 x = 0 点无定义,所以 x=0为 x sin x = 1, (极限存在) 其间断点,又 lim x →0 x 所以若补充定义 f (0) = 1, 那么函数在x=0点 就连续了。故这种间断点称为可去间断点。⎧x , x ≠1 例如 y = f ( x) = ⎨ 1 ⎩ 2 , x =1 显然 lim f ( x) = 1 ≠ f (1)x →1y1 21x = 1 为其可去间断点 .o1x
⎧x + 2 【例4】 函数 y = ⎨ ⎩x − 2x →0 − 0 x →0− 0x≥0 x
间断点分类:+ f ( x ) f ( x 第一类间断点: 及 0 0 ) 均存在 , −x → x0x → x0− lim− f ( x ) = f ( x0 )+ lim+ f ( x ) = f ( x0 )− + 1 . 跳跃间断点 ( f ( x ) ≠ f ( x ⎧ 0 0 )), ⎪ 2. 可去间断点 − + ( f ( x ) = f ( x ⎨⎩ 0 0 )), ⎪ 即 lim f ( x)存在, 但 lim f ( x) ≠ f ( x0 ) ⎩ x→ x x→ x0 0第二类间断点: f ( x0 − )及 f ( x0 + ) 中至少一个不存在 ,− + ⎧ 1.无穷间断点 f ( x ), f ( x ( ) 0 0 ) 至少一个是 ∞ ⎪ ⎨ − + f ( x ), f ( x ⎪ 2.震荡间断点 ( 0 0 ) 至少有一个不存在, ⎩ 但也不为∞)
例、下列点是否为间断点,为何种间断点? (1)⎧x 2 + 2x − 3 f ( x) = ⎨ x ⎩x →1x →1x ≤1 x >1x =1解:(1)2 lim f ( x ) = lim x ( + 2 x − 3)= 0, − − x →1x →1lim f ( x) = lim x =1 + +lim f ( x) ≠ lim f ( x) − +x →1 x →1故 x = 1为第一类跳跃间断点。
例、下列点是否为间断点,为何种间断点? (2)1+ x −1 f ( x) = 3 1+ x −1 x=01 1+ x −1 3 2 x = lim 1 = , 解:(2) lim f ( x) = lim 3 x →0 1 + x − 1 x →0 x →0 x 2 3而f (0)无定义 故 x = 0为可去间断点。3 注:对(2)可通过补充定义 f (0) = ,使 x = 0 2 成为新函数的连续点。(可去的含义)
例 验证下列函数在指出的点处间断,并判断这 些间断点的类型 ,如果是可去间断点,则补充定义域 改变函数的定义使之连续。 x2 − 4 , x = 2, x = − 3; (1) f ( x ) = 2 x + x−6 解 (1)由于 f (x)在 x = 2, x = -3处均无定义, 所以这两点都是 f (x)的间断点,因为x 2 − 4 = lim ( x − 2)( x + 2) = lim x + 2 = ∞ lim 2 x →−3 ( x − 2)( x + 3) x →−3 x + 3 x →−3 x + x − 6所以 x = -3是 f (x)的第二类间断点(是无穷间断点)。
又因为x −4 x+2 4 lim 2 = lim = x →2 x + x − 6 x →2 x + 3 52所以 x = 2是 f (x)的第一类间断点,并且是可去间断点, 4 补充定义 f (x)= 可使 f (x)在 x = 2处连续。 5
x−a , x ≠ a; (2) f ( x ) = x−a解: (2)由于函数 f (x)在 x = a处无定义 ,所以x = a 是间断点,又因为 x−a x−a = −1 = lim− lim− x →a a − x x →a x − ax−a x−a = lim+ lim+ =1 x →a x − a x →a x − a即x→alim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x)x →a所以 x = a是函数 f (x)的第一类间断点(跳跃间断点)。
内容小结1. f ( x) 在点 x0 连续的等价形式x → x0lim f ( x) = f ( x0 )Δx → 0lim [ f ( x0 + Δx) − f ( x0 )] = 0− + f ( x0 ) = f ( x0 ) = f ( x0 )左连续 2. f ( x) 在点 x0 间断的类型 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点右连续左右极限都存在 左右极限至少有一 个不存在
四、闭区间上连续函数的性质f (x) 在[a,b]上连续定理2.16.(最值定理) 在闭区间上连续函数一定存在ξ﹑ 1 ξ 2 ∈ [ a, b ] , 使 f (ξ1 ) ≤ f ( x ) ≤ f (ξ 2 )y M1 a x1 A B x2 b x最大值和最小值,即若 f ( x) ∈ C [ a, b] ,则有0M2
yy = f ( x)1yy = f ( x)oπ 2xo12x注: 1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
五、闭区间上连续函数的性质f (x) 在[a,b]上连续定理2.16.(最值定理) 在闭区间上连续函数一定存在 最大值和最小值,即若 f ( x) ∈ C [ a, b] ,则有ξ﹑ 1 ξ 2 ∈ [ a, b ] , 使 f (ξ1 ) ≤ f ( x ) ≤ f (ξ 2 )推论2.5 在闭区间上连续的函数必为有界函数
1 例. y = x 在(0,1)内连续, 但在(0,1)内无界, 也无最大值.yy = 1 x01x
定理 2.17( 介值定理 ) 设 f ( x) ∈ C [ a , b ] , 且 f ( a ) = A ,f (b) = B , A ≠ B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有一点 ξ ∈ ( a , b ) , 使 f (ξ ) = C.yB C Ay = f ( x)oaξb x
f (x) 在[a,b]上连续推论 2.6 ( 零点定理 ) f ( x) ∈ C [ a , b ] , y 且 f ( a ) f (b)
例.x,⎧f(x)=⎨⎩1,x≠0 在[−1,1]上有定义.x=0
但在x=0处不连续.不存在x0∈(–1, 1), 使得f (x0) = 0.