概念教学的基本模式初探
高中数学概念教学的初步实践与设想
作者: 富顺县城关中学
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主题词 经验总结
内容摘要 数学概念来源于数学自身发展的需要或实际问题的解决,在其以定义、原理这些冷冰冰的形式化知识展现的背后,隐藏着生动活泼的数学思维。概念教学的方式,概念背后的数学思想,最能体现新课标的教学理念。本文是作者经过一年多的新课标教学的实践,认真总结和反思,写出的一篇有关数学概念的教学方式的经验文章。文章以新课标数学必修1—5中的几个重要概念的教学为案例,介绍作者的教学实践情况,以及作者对概念教学的基本模式的思考结果。
数学概念来源于数学自身发展的需要或实际问题的解决,在其以定义、原理这些冷冰冰的形式化知识展现的背后,隐藏着生动活泼的数学思维。中科院院士李邦和说过:数学根本上是玩概念的,而不是玩技巧的。概念教学的方式,概念背后的数学思想,最能体现新课标的教学理念。在新课标教学中,我们必须高度重视数学概念教学,启发学生从表面到本质,从抽象到具体,从孤立到系统全方位地理解数学概念,帮助学生领悟概念所反映的数学思想方法。只有这样才能提高教学质量,才有可能实现新课标的教学理念。下面,本人以新课标数学必修1—5中的几个重要概念的教学为例,介绍作者的教学实践情况,以及作者对概念教学的基本模式的思考结果。初浅之见,希望能引来同仁们的共同交流探讨。
一、对数学概念进行追问
前不久,笔者参加自贡市高二数学新课标研讨会,听了一堂精彩的示范课,但是,遗憾的是那位青年教师玉中有暇,在教学中让学生形成了一个错误认识:随机事件的概率不可以为1或0。
教师自己在进行教学之前,首先要对相关概念进行追问,努力做到钻进教材细心解读概念,并高居教材之上反思概念,形成对概念的正确认识,获得对概念的深层理解。一个概念的正确定义,一方面反映事物的本质属性,另一方面还要遵循一定的原则。本质属性必须通过教学让学生把握,“原则”是数学中更深层次的东西,可以不向学生提出,但教师必须了然于胸,在教学中让学生体会到合理性。比如,有关“弧度制”这个概念,不少教师根据参考书的介绍都认为,三角函数是以角为自变量的函数,给研究三角函数的性质带来不便,引入弧度制后,便能在角的集合与实数的集合之间建立一一对应关系。这个问题曾让我困惑了很久,经过反复追问,终于豁然开朗:其实,无论是角度制还是弧度制,都能在角的集合与实数的集合之间建立一一对应关系,不过采用弧度制更为方便。
二、创设问题情景引领教学
新课标非常重视数学的文化背景和数学在生活和科学中的应用。在概念教学中应创设与生活贴近的问题情景来引入教学,然后,再用一连串的数学化问题情景来推动教学的一步步深入。问题情景有现实情景和虚拟情景两种,即便是虚拟情景也要尽量贴近生活,让学生觉得自然,同时,让教学自然地展开和生成。
函数单调性是必修1的核心概念之一,我经过仔细研磨,精心设计了下面几个问题情景,帮助学生在探究问题的过程中逐步完善对定义的理解。
[情景引入]:我们游览四川的冰川圣地海螺沟,请你想一想乘电缆的过程
中,缆车与沟顶、沟底和沟中间大温泉的距离的变化情况,你能在直角坐标系里画出示意图吗?
[问题1]:对已画出的三个函数图象,请你具体谈谈它们分别反映了随时间的推移,距离有怎样的变化规律?
[问题2]:(给出描述性定义以后)你能用自然语言来描述定义中“上升”、“下降”吗?
[问题3]:你能用符号来刻画上述定义吗?(对“任意”的理解是本节的难点,在这个环节我还设计了由3个问题组成的问题串,帮助学生突破难点。)
《算法》是新课标新增内容,也是最能体现新课标教学理念的教学内容之一,在“算法的概念”一节的教学中,我围绕“让学生理解算法,准确把握其基本特征”这个教学目标,创设以下问题情景来推动教学的展开,让学生在探究问题的过程中逐步认识算法特征,完善对算法的理解。
[轶事开篇,导入课题]:用一副反映数学大师希尔伯特的一件轶事的漫画来作为情景引入课题。学生看完漫画产生议论后,教师总结——对于希尔伯特来说,上了二楼,解下领带,下一个程序便是上床入睡,他严格按照程序去执行了,在生活中闹出了笑话。但是,正是因为重视步骤和程序,他才在数学上取得了辉煌成就。
[问题1]:很多数学问题的解决都需要遵循一定的规则,按照一定的步骤。如用坐标法解几何问题(师生交流,写出步骤)。同学们,你还能举出这样的案例吗?
[问题2]:以上各例中的步骤都称为解决该问题的一个算法。你能根据实例特点来描述一下“算法”这个概念吗?
[问题3]:1997年香港回归,1999年澳门回归。1997、1999是质数吗?如何判断?你能设计一个算法进行判断吗?是否可以借助计算机来实现你的算法?
三、围绕概念的核心,提供丰富例证,用概念形成的方式展开教学
章建跃老师曾指出:“围绕数学概念的核心展开教学,在概念的本质和数学思想方法的理解上给予点拨、讲解,让学生在理解概念及其反映的数学思想和方法的基础上,对细节问题、变化的问题进行深入思考,这样才能实现有效教学。”。数学概念的获得有两种主要方式:一种是直接向学生展示定义,利用原有认知结构中有关知识理解新概念,这种获得概念的方式称为概念同化;另一种是学生在大量的同类事物的不同例证中,独立发现同类事物的关键特征,这种获得方式在心理学上称为概念形成。在教学中,特别是对那些重要概念和学生在理解上有难度的概念,要采用后一种方式,提供大量的例证,引导学生去探究,概括出共同的本质特征,得到概念的本质属性,然后再用另外的例证(正例和反例)或“模型”,让学生对概念中的关键词进行辨析,更深入地理解概念。下面就笔者的教学实践作一些介绍。
在函数概念的教学中,我首先让学生例举初中学过的函数,并回想初中函数概念,接着提出以下几个问题,让学生通过动手操作、讨论交流,得出自己的结论:
(1)(师向上抛出粉笔)你能在直角坐标系里画出体现粉笔高度h随时间t变化规律的图象吗?h与t之间的关系是函数关系吗?作怎样的测量,获得数据后可以写出表达式?
(2)荡秋千时,人离地面的高度h与时间t之间的关系是函数关系吗?你能在直角
坐标系里作出其图象吗?
A={t|0≤t≤m}(荡秋千的总时间为m),B={h|0≤h≤n}(人离地面的最高
?高度为n),集合A与B之间有怎样的对应关系
(3)(出示南非世界杯足球赛前10名球队积分表)上表反映的名次y与积分x之间的关系是函数关系吗?A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B为所有积分的集合,两个集合之间有怎样的对应关系?
接下来,让学生阅读教材中的定义,找出其中的关键词,并谈谈自己对它们的理解。在此基础上,在利用上面的第3个问题,作一些变式,让学生去辨析:(1)在表中积分栏擦掉一个数字“10”后,此表反映的名次y与积分x之间的关系是函数关系吗?(2)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={18,15,12,11,10,8,7,6,4},A与B之间的对应关系仍如上表,这种关系是函数关系吗?
学生通过以上过程对函数概念有了明确的认识,同时也体验了概念的发生发展过程。
几何概型是新课标新增加的内容,其背后蕴涵着明显的数形结合的数学思想,同时,它把古典概型从有限发展到无限,蕴涵着从有限到无限的数学思想,也是能很好体现新课标理念的内容之一。在教学中,我首先提供以下问题让学生进行探究:
[问题1]:将一条5米长的绳子随机地切断成2段,求所剪的2段绳子都不短于1米的概率。
[问题2]:一个靶子如图所示,飞镖手随机地掷一个飞镖扎在靶子上(不会脱靶),求以下事件的概率:(1)飞镖落在上方正中央区域;(2)飞镖落在图中三角形区
域。
留时间给学生探究后,让他们展示在分析与求解的过程中遇到的困难,以及自己的解决方案。我再围绕知识的核心进行点拨:现在,我们面临的基本事件有无限多个,需要发展古典概型,从有限到无限。我们可以将无数个基本事件打“ 包”——以均匀铺满1个单位长度(或面积)的基本事件为“1包”,共n包,事件A包含m包,所以,p(A)=m
n=构成事件A的区域长度(面积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积)
在此基础上,再用概率史上典型的“约会问题”为“模型”,让学生进行辨析:男孩和女孩相约于晚上7:00~~8:00在公园见面。 (1)男孩7:00到公园,求他等的时间不超过20分钟的概率;(2)男孩7:10到公园,女孩后到,求他等的时间不超过20分钟的概率;(3)男孩先到公园,最多等20分钟,女孩不到就离开,求他们能见面的概率;(4)先到者等20分钟,求他们能见面的概率;
(5)若男孩先到公园,则他最多等20分钟,若女孩先到公园,则他最多等10分钟,求他们能见面的概率。这一串问题的背景学生非常感兴趣,问题本身从一维到二维,从单区域到双区域,从单边界到双边界,学生在探究的过程中,有困惑,有失败的苦恼,也有豁然开朗的喜悦,最后获得对几何概型的更深入的认识。
四、用阅读指导的方式进行教学
以人为本,还课堂于学生,这种生本教育一直是新课改提倡的教学理念,为了提高学生的数学素养,提高他们对数学的理解和认识能力,我们有必要给学生一点困难,让他们自己去解决,给学生一些权利,让他们自己去选择。对一些理解难度不是很大的概念,可以采取阅读指导的方式进行教学。
首先,让学生细读该节内容,指导他们不但要读概念本身,更要阅读教科书中概念的形成过程。然后,用教师精心设计的题组让学生进行自测,根据自测的结果进行生生交流和师生交流,帮助学生对概念形成正确的认识,最后,再用一组题组进行巩固。按以上流程,先学后教,以学定教,可以让教师的教有的放矢,目标明确,大大提高课堂效率。笔者在教学中尝试了这种改变学生获取知识的途径的教学改革,有一定的收获。比如,我在进行集合、向量等概念的教学的时候就采用了这种方法,收到了比较好的效果。
总之,在概念教学中,要根据新课标对教学的具体要求,根据不同类型的概念的特点,选择恰当的教学模式,把握教学的过程,让学生在学习的过程中产生内心的体验,认识概念的本质和它隐藏的数学思想。我们应该在教学实践中不断总结和反思,以期逐渐接近这一目标。