必修二直线与方程知识点总结
直线与方程总结 【知识点一:倾斜角与斜率】 (1)直线的倾斜角
①关于倾斜角的概念要抓住三点:1、与x轴相交;2、x轴正向;3、直线向上方向。 ②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0
00
③倾斜角的范围0180
(2)直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为90的直线斜率不存在. 记作ktan(900)
⑴当直线l与x轴平行或重合时, 0,ktan00
⑵当直线l与x轴垂直时, 90,k不存在.
②经过两点P的直线的斜率公式是k)x1x2)1(x1,y1),P(x2,y2(③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率. (3)求斜率的一般方法:
①已知直线上两点,根据斜率公式k
y2y1
x2x1
y2y1
(x2x1)求斜率;
x2x1
②已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据ktan来求斜率; (4)利用斜率证明三点共线的方法:
已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),若x1x2x3或kABkBC,则有A、B、C三点共线。 【知识点二:直线平行与垂直】
(1)两条直线平行:对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1 // l2k1k2 特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为平行
(2)两条直线垂直:如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则有l1 l2k1k2-1 注:两条直线l1,l2垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;
由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直;反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1与l2互相垂直. 【知识点三:直线的方程】 (1)直线方程的几种形式
问题:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示? 【不一定】 (1)若x1x2且y1y2,直线垂直于x轴,方程为xx1; (2)若x1x2且y1y2,直线垂直于y轴,方程为y1y2; (3)若x1x2且y1y2,直线方程可用两点式表示
直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式; 利用斜截式求直线方程时,需要先判断斜率存在与否.
用截距式方程表示直线时,要注意以下几点:方程的条件限制为a0,b0,即两个截距均不能为零,因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线;用截距式方程最便于作图,要注意截距是坐标而不是长度.
截距与距离的区别:截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数,不是“距离”,可正可负。 截距式方程的应用
①与坐标轴围成的三角形的周长为: |a|+|b ②直线与坐标轴围成的三角形面积为: S=
1
|ab| ; 2
③直线在两坐标轴上的截距相等,则k1或直线过原点,常设此方程为xya或ykx (2)线段的中点坐标公式
若点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),
x1x2x2
且线段PP的中点M(x,y)的坐标为 12
yy1y22
【知识点四 直线的交点坐标与距离】 (1)两条直线的交点
设两条直线的方程是l1:A1xB1yC10, l2:A2xB2yC20 两条直线的交点坐标就是方程组
A1xB1yC10
的解。
A2xB2yC20
①若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标; ②若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行. (2)几种距离
两点间的距离:平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式
|PP12|
特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y
)的距离|OP|
点到直线的距离:点P0(xo,y0)到直线AxByC0的距离
d
两条平行线间的距离:两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离
d
注:1求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式;
2
【例】
已知
取值范围是( )
A
B
C
D
,
,直线l过原点O且与线段AB有公共点,则直线
l的斜率的
【例】在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有( ) A 1条 B 2条 C 3条 D 4条
【例】将直线l1:y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2,则直线l2到直线l3:x+2y﹣3=0的角为( )
A
30° B 60° C 120° D 150°
【例】
方程xy1所表示的图形的面积为_________。
解:方程xy1【例】设abk(k0,k为常数),则直线axby1恒过定点 .
【例】一直线过点M(3,4),并且在两坐标轴上截距之和为12,这条直线方程是__________.
【例】已知A(1,2),B(3,4),直线l1:x=0,l2:y=0和l3:x+3y﹣1=0、设Pi是li(i=1,2,3)上与A、B两点距离平方和最小的点,则△P1P2P3的面积是________
【例】已知直线(a﹣
2)y=(3a﹣1)x﹣1,为使这条直线不经过第二象限,则实数a的范围是___ ___ 【例】过点A(5,4)作一直线l,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5。
【例】直线yx1和x轴,y轴分别交于点A,B,在线段AB为边在第一象限内作等边△ABC,12
如果在第一象限内有一点P(m,)使得△ABP和△ABC的面积相等,求
m的值。 【例】已知点
A(1,1),B(2,2),点P在直线y【例】求函数f(x)
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x上,求PAPB取得最小值时P点的坐标。 2
的最小值。
【例】在△ABC中,已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0,∠ A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点C的坐标.
【例】直线l过点P(2,1),且分别与x ,y轴的正半轴于A,B两点,O为原点. (1)求△AOB面积最小值时l的方程; (2)|PA|•|PB|取最小值时l的方程.
考点:本题考查直线在坐标轴上的截距的定义,直线的截距式方程,以及基本不等式的应用. 1
【例】求倾斜角是直线y3x+1
4
(1)经过点(3,-1);(2)在y轴上的截距是-5. 【例】已知直线l:kx-y+1+2k=0
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线l交x负半轴于A,交y正半轴于B,△AOB的面积为S,试求S的最小值并求出此时直线l的方程。 【例】已知函数
,g(x)=x+a(a>0)
;
(1)求a的值,使点M(f(x),g(x))到直线x+y﹣1=0的最短距离为(2)若不等式
在x∈[1,4]恒成立,求a的取值范围。