中考几何图形中的最值问题赵丽霞
中考几何图形中的最值问题
一、利用两点之间线段最短
如图所示,要在街道MN 旁修建一个奶站,向居民区A ,B 提供牛奶。奶站应 建在什么地方,才能使从A ,B 到它的距离之和最短?你能用所画图中的一条线 段表示距离之和的最小值吗?
例1:如图正方形ABCD 中,AB=4,E 是BC 的中点,点P 是对角线AC 上 一动点,则EP+PB的最小值为 。
试一试:1、如图在△ABC 中, AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是 BC边中点,E 是AB 上一动点,则EC+ED最小值为 .
2、如图,等边三角形ABC 的边长为6,AD 是BC 边中线, M是AD 上一动点,E 是AC 边上一点,若AE=2,EM+CM最小值是 。
二、利用垂线段最短
连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短
例2:如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,若P 在AC 上移动,则PB 的最小值
是 。
练一练:1、如图,OP 平分∠MON ,PA ⊥ON 于A ,点Q 是射线OM 上一个动点,若PA=3,则PQ 的最小值为 。 2、如图,在锐角△ABC 中,AB= 4
2,∠BAC= 45°,∠BAC
的平分线交 BC 于D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN的 最小值是 。 三、利用三角形的三边关系
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
例3:已知边长为a 的正三角形ABC ,两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系 的x 轴、y 轴的正半轴上滑动,点C 在第一象限,连结OC ,则OC 的长的最 大值是 .
做一做:如图:∠MON=90°,矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上,当B 在 边ON 上运动时,A 随之边OM 上运动,矩形ABCD 形状保持不变,其中AB=2,BC=1, 运动过程中,点D 到点O 最大距离为 。 四、利用二次函数求最值 例4:一次函数y= -
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x+2分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点,抛物线y=-x+bx+c过A 、B 两点.
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(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x 轴的直线x=t,在第一象限交线段AB 于M ,交抛物线于N .当t 取何值时,线段MN 有最大值?最大值是多少?
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练一练:如图抛物线y =x -2x -2与x 轴交于A ,B 两点,与y
2轴交于C 点,且顶点为D .点M (m ,0) 是x 轴上的一个动点,当MC +MD 的值最小时m 的值.
达标测试:
1、 如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=CD=AD=1,∠B=60°, 直线MN 为梯形ABCD 的对称轴,P 为MN 上一动点, 则 PC+PD的最小值为 .
2、 如图,正方形ABCD 的边长是4,∠DAC 的平分线交DC 于
点E ,若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点,则DQ+PQ的最小值是 。
3、如图所示,正方形ABCD 的面积为12,△ABE 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有一点P ,使PD+PE的和最小,则其最小值为多少?
4、已知:抛物线的对称轴为x=-1,与x 轴交于(1)求这条抛物线的函数表达式。
(2)已知在对称轴上存在一点P ,使得△PBC 的周长最小.请求出点P
延伸迁移:(2012•天水)如图,已知抛物线经过A (4,
0),B (1,0),C (0,-2)三点. (1)求该抛物线的解析式;
(2)在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ,使得△DCA 的面积最大?若存在,求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值;若不存在,请说明理由.
A ,B 两点,与y 轴交于点C ,其中A (-3 -2).,0)C (0,