参数方程的概念及圆的参数方程教案
第二讲 参数方程
1.1.1-1.1.2参数方程的概念及圆的参数方程
备课组：高二数学组 主备人：柴海斌 持案人：
授课班级：
知识与技能：1、弄清理解曲线参数方程的概念.
2
、弄清曲线参数方程的概念
过程与方法：能选取适当的参数，求圆曲线的参数方程
：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 重点：曲线参数方程的概念。
难点：曲线参数方程的探求。
1、曲线的参数方程
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，
⎧x =f (t ) (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条⎨y =g (t ) ⎩
曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.
联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.
2、曲线的普通方程
相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程.
⎧x =3t 例1 已知曲线C 的参数方程是⎨（t 为参数） 2y =2t +1⎩
（1） 判断点M 1(0, 1), M 2(5, 4)与曲线C 的位置关系；
（2） 已知点M 3(6, a )在曲线C 上，求a 的值。
⎧x =2cos θ变式1--1已知参数方程⎨ θ∈[0,2π) 判断点A(1,3) 和B(2,1)是否在方 y =2sin θ⎩
程的曲线上.
⎧1=2cos θ⎧2=2cos θ 解：把A 、B 两点坐标分别代入方程得⎨ (1)，⎨(2)，在[0,2π) 内，方⎩3=2sin θ⎩1=2sin θ
程组(1)的解是θ=π
3，而方程组(2)无解，故A 点在方程的曲线上，而B 点不在方程的曲线上.
3、圆的参数方程
1、圆的参数方程的推导
（1）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，OP 0所在直线为x
轴，如图，以OP 0为始边绕着点O 按逆时针方向绕原点以匀角速度ω作
圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系该如何建立呢？（其中r 与ω
为常数，t 为变数）
结合图形，由任意角三角函数的定义可知：
⎧x =r cos ωt t ∈[0, +∞) t 为参数 ① ⎨y =r sin ωt ⎩
（2）点P 的角速度为ω，运动所用的时间为t ，则角位移θ=ωt ，那么方程组①可以改写为何种形式？
⎧x =r cos θ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：⎨θ∈[0, +∞) θ为参数 ② ⎩y =r sin θ
我们把方程①（或②）叫做⊙O 的参数方程，变数t （或θ）叫做参数。
⎧x =3cos θ⎧x =3cos θπ辨析：参数方程⎨θ∈[0, 2π) 与⎨θ∈[0, ]是否表示同一曲线？2⎩y =3sin θ⎩y =3sin θ
为什么？
例2 如图，圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6,0）是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 做匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程。
x
变式2-1 已知M 做匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为3m/s和4m/s，直角坐标系的单位长度为1m ，点M 的起始位置在点M 0(2, 1)处，求点M 的轨迹的参数方程。
预习：《参数方程与普通方程的互化》
教研组长签字：