化归思想在初中数学教学中的渗透与应用

２００８．０４（中旬刊）

数学教学

化归思想在初中数学教学中的渗透与应用

□

摘

要

高绍强

山东・章丘

（章丘市明水镇绣水中学２５０２００）

新课程的数学教学进一步提出了渗透数学思想方法的目标要求。化归是初中数学中最基本的数学思想方法，它

有三个要素。在初中代数、几何教学内容中渗透着化归的思想方法。老师要充分挖掘教材中所蕴涵的化归思想方法，有意识地培养学生运用这一思想方法，提高学生的综合能力。

关键词化归思想渗透与应用代数教学几何教学中图分类号：Ｇ６３３．６文献标识码：Ａ新课程的数学教学进一步提出了渗透数学思想方法的目标要求⑴。在初中数学中，蕴涵着多种数学思想方法，而化归思想就是最为基本的一种。

一、化归思想的含义

所谓化归思想，就是在处理问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答。诸如将未知向已知化归；复杂问题向简单问题化归；不同数学问题之间的化归；实际问题向数学问题化归等。它有三个要素：⑴要化归什么———化归对象；⑵化归到何处去———化归目标；⑶怎样化归———化归方法。

二、化归思想在数学教学中的渗透与应用举例㈠化归思想在代数教学中的渗透与应用

初中代数教学内容处处渗透着化归思想：有理数的运算是小学所学四则运算的拓展；分式方程、无理方程和简单的高次方程是一元一次方程、一元二次方程的引申；平面直角坐标系是数轴的推广。由于教材本身存在着这种内在联系，所以我们在教学中随时可以启发学生联想旧知识，已旧引新，将新问题化归为旧知识，并在教学中渗透这种数学思想方法。

比如解分式方程、无理方程，其实质就是不断地通过适当变形，把原方程化归为最简单的方程的过程，因此，化归思想是解分式方程、无理方程中思维活动的主导思想，化归的目标和途径应作为教学的重点，这里的化归目标就是简单的方程（一元一次方程、一元二次方程），化归的途径是去分母、两边同时平方或设未知数换元等。

再如整式的加减、二次根式的加减运算，就是通过合并同类项、同次根式，把他们化归为有理数的加减运算的。

㈡化归思想在几何教学中的渗透与应用平面几何从定义、定理到立体、习题等许多地方都体现出了化归思想。

在四边形中研究有关边、角的数量关系时，经常通过作辅助图形化归成三角形的有关知识来解决，对正多边形的有关计算可以化归为直角三角形中的有关计算。学习正多边形和圆的位置关系后，正多边形的作法可化归成等分圆周来解决；求圆柱、圆锥的侧面积可化归为计算矩形、扇形面积等。以上这些都是化归思想在教材中的体现。

在新教材⑵中，对圆周角定理的证明，就充分体现了化归的思想方法。

如：课本上的图３—１５，即小亮所考虑的特殊情况（图１），∠ＡＢＣ的一边ＢＣ经过圆心Ｏ时，可以引导学生观察思考，利用三角形的外角定理与等腰三角形的性质定理不难证得∠ＡＢＣ＝∠ＡＯＣ。但对课本上的图３—１６中的两种情况（图２），则应引导学生通过创造条件，作辅助线化归为图１而获得解决。具体方法是作辅助线直径ＢＯＤ，然后利用小亮所考虑情况的证法分别得到：

∠ＡＢＤ＝∠ＡＯＤ，

∠ＣＢＤ＝∠ＣＯＤ

然后两式相加得到∠ＡＢＣ＝∠ＡＯＣ

再如：已知Ｇ为三角形ＡＢＣ的重心，ＡＡ′⊥Ｌ，ＢＢ′⊥Ｌ，ＣＣ′⊥Ｌ，Ａ′、Ｂ′、Ｃ′为垂足，求证：ＡＡ′＋ＢＢ′＋ＣＣ′＝３ＧＧ′。（图３）

分析：易知ＡＡ′∥ＢＢ′∥ＣＣ′∥ＧＧ′，可联想到梯形中位线的性质。而由已知，这四条线段不全在一个四边形内，那么证明的关键是想法将四线段化归在同一四边形内。由于左边是三线段之和，可联想到先将其中两项和转化为一项，然后证明转化后的式子成立。考虑到转化ＡＡ′＋ＢＢ′为一线段，可取ＡＢ中点Ｄ，ＡＡ′中点Ｄ′，连ＤＤ′有ＡＡ′＋ＢＢ′＝２ＤＤ′，那么将要证的结论化归为证２ＤＤ′＋ＣＣ′＝３ＧＧ′，又ＤＤ′，ＧＧ′和ＣＣ′是同一四边形内的线段，于是可化归为在四边形ＤＤ′Ｃ′Ｃ中证其成立。作ＤＦ⊥

文章编号：１６７２－７８９４（２００８）０４－０７５－０１

ＣＣ′，垂足为Ｆ，交ＧＧ′于Ｅ，故ＤＤ′＝ＦＣ′，因而又化归为证ＧＥ＝ＣＦ，由于Ｇ为三角形ＡＢＣ的中心，不难获证，过程略。㈢化归思想在解析几何教学中的渗透与应用

在教学“函数及图象”中的求两直线的交点问题，化归思想应体现在以下两个方面：

⑴将求两直线交点问题化归为求方程组的解集。教学中应向学生讲明：两直线Ｌ１和Ｌ２的交点为Ａ（ｘ１，ｙ２），说明点Ａ（ｘ１，ｙ２）即在Ｌ１上又在Ｌ２上，故其坐标（ｘ１，ｙ２）即满足Ｌ１的表达式，又满足Ｌ２的表达式。所以同时满足两个方程的一对未知数的值ｘ１和ｙ２，就是两表达式组成的方程组的解。这样，学生就可以把求直线交点的问题化归为求方程组解的问题了，从而对此类题目有了一个较明确、形象的理解，不再那么抽象。

⑵

通过典型的例题渗透化归思想例：ｋ取何整数时，直线与的交点在第四象限内？

分析该题中求ｋ的整数值问题是一个较为抽象的问题，咋看无从着手，通过分析，一旦把问题化归为求方程组解集，该题就成为同学们熟悉的代数问题了。

解这个问题的主要思路是如何将求ｋ值的问题化归为求两直线的交点坐标，继而把求交点坐标化归为求方程组的解集。于是，可以先列出方程组，再求出用ｋ的代数式所表示的交点坐标（ｘ，ｙ），然后由交点在第四象限内得到ｘ＞０且ｙ＜０，从中求得ｋ的取值范围，最后再在这个范围里找出整数解。（解略）

不难看到，化归是一极为重要的数学思想方法，在初中数学教学中，老师要认真钻研教材，充分挖掘和掌握教材中所蕴涵的化归思想方法，有意识地培养学生运用这一思想方法解决相对比较难的数学问题，提高学生的综合实践能力。

参考文献：

［１］全日制义务教育数学课程标准（实验稿）．北京师范大学出版社，２００１．７：８．［２］数学（九年级下册）．北京师范大学出版社，２００５．１１：１０３．

图３

图１

图２

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