正交分解法中坐标系的建立原则[1]

正交分解法以退为进，将求解一般三角形的过程转化为求解直角三角形的过程，是处理多力平衡问题及多力产生加速度问题的常用方法；运动的分解可以将一个复杂的曲线运动变成两个简单直线运动的叠加，是处理匀变速曲线运动的基本方法。这两种方法中都涉及到直角坐标系的建立，直角坐标系建立的方法不同，实际运算过程有很大差异。那么，该如何确定直角坐标系的最佳建立方案呢？下面分别对正交分解法、运动的分解中坐标系建立的原则进行说明。

一、正交分解法中坐标系的建立原则

（一）正交分解法处理多力平衡问题

直角坐标系建立的基本原则是：

1．让尽可能多的力落在坐标轴上；

2．尽量不分解待求力。

原则一可以最大限度减少需要分解的力的个数，达到减少运算过程的目的；原则二能避免待求量后面带“小尾巴”（指或），同样降低了中间运算的难度。

例：一个倾角为（90°＞＞0°）的光滑斜面固定在

竖直的光滑墙壁上，一质量为m铁球在水平推力F作用下静止于

墙壁与斜面之间，且推力的作用线通过球心，如图所示，求斜面

与墙壁对铁球的弹力大小分别是多少？

分析：铁球受四个外力作用且处于静止状态，属多力平

衡问题，可运用正交分解法处理，在x轴沿水平方向时仅需分解

一个外力，运算过程简单。

解：铁球受力如图，建立直角坐标系xoy

由平衡条件可得：

解得：

说明：选择直角坐标系的建立方法时，应对照原则综合考虑，而且原则一优先于原则二，即在原则一满足的前提下再考虑原则二。

（二）正交分解法处理多力产生加速度的问题

直角坐标系建立的原则是：

1．让加速度和尽可能多的力落在坐标轴上；

2．坐标轴指向与加速度方向趋于相同；

3．尽量不分解未知量。

在这类问题中，建立直角坐标系时需要考虑的因素略多一些。首先，加速度是矢量，同样可以按需要进行分解，为了简化分解过程，应该把它也考虑进去；其次，坐标轴指向就

是该方向上所有矢量的正方向，如果坐标轴指向与相应的加速度分量方向相反，必须在含加速度分量的一项前加一个负号，否者就会在矢量性上犯错误。最后，为了降低了中间运算的难度，要考虑避免未知量后面带“小尾巴”。

例：自动扶梯与水平方向成θ角，梯上站一质量为m的人，当扶梯以加速度a匀加速上升时，人相对于扶梯静止，求人受到的支持力和摩擦力。

分析：人受力如图，可以看出这是一个多力产生加速度的问题，应该用正交分解法解决，建立如图所示的直角坐标系，只需要分

解加速度，而且没有分解未知量，计算过程最

简单。

解：人受力如图，由牛顿第二定律得：

解得：

支持力方向竖直向上，摩擦力方向水

平向右。

说明：若按传统方法，x轴沿扶梯（不是扶梯台阶表面）向上，y

轴垂直扶梯向上，、均需分解，后面的运算过程比较麻烦，有兴趣可以自行做一下对比。

【例2】如图电梯与水平面夹角为370，60千克的人随电梯以a＝lm/s2的加速度运动，则人受到平面的支持力及摩擦力各为多大？（ g取10 rn／s2）

解析：对加速度沿竖直、水平方向分解，

0202 ax＝acos37＝0．8 m／s ay＝asin37＝0．6 m／s

水平方向：f＝max＝60×0．8N=48N

竖直方向：N－mg＝may ， 所以N＝mg＋may＝（600＋36）N=636N

注意：当由加速度求力时，一定要沿力的方向分解加速度．

02【例3】如图，车厢中有一倾角为30的斜面，当火车以10m／s的加速度沿水平方向向左运

动时，斜面上的物体m与车厢相对静止，分析物体m所受摩擦力的方向．

解析：方法一：m受三个力作用，重力mg、弹力 N、静摩擦力f． f的方向难以确定．我们先假设这个力不存在，那么如图，mg与N只能在水平方向产生mg tgθ的合力，此合力只能产生gtg30=0g的加速度，小于题目给定的加速度，故斜面3

对m的静摩擦力沿斜面向下．

方法二：假定m所受的静摩擦力沿斜面向上．将加速度a正

00交分解，沿斜面方向根据牛顿定律有mgsin30一f=macos30

解得f＝5（1一）m，为负值，说明f的方向与假定的方

向相反，应是沿斜面向下．

说明：极端分析法、特值分析法、临界分析法、假设法等都是解答物理题时常用到的思维方法．望同学们结合平时的解题训练，认真地体会各种方法的实质、特点，总结每种方法的适用情境．

二、运动的分解中坐标系的建立

直角坐标系建立的原则是：

1．分运动的性质尽可能简单；

2．有利于待求问题的展开和讨论。

利用运动的分解解决匀变速曲线运动问题时，坐标系的建立应仔细推敲，有时候需要打破常规，另辟蹊径。

例：如图所示，长斜面OA的倾角

为θ，放在水平地面上，现从顶点O以速度

v0平抛一小球，不计空气阻力，重力加速度

为g，求小球在飞行过程中离斜面的最大距

离s是多少？

分析：小球作平抛运动，如果仍将

x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向，很难写出某一时刻球与斜面间距离的表达式，更加无法分析何时该距离最大。为了有利于问题的展开，本题可将x轴沿斜面方向，这样球与斜面间距离就变成了小球在y轴方向的位移大小。

解：按图示直角坐标系分解平抛运动，x方向的分运动为初速度是

度是

线运动。

当垂直于斜面的分速度减小为零时，y方向的位移最大，即球离斜面的距离最的匀加速直线运动；y方向是初速度是、加速度是、加速的匀减速直大。所以

说明：学物理不能墨守成规，在掌握常规方法的基础上还要能够根据实际情况及时进行变通，这样，才可以不断提高自己的思维能力。

有些问题中，虽然研究物体做直线运动，但考虑到解题的方便，也可以考虑利用运动的分解处理。这时候，同样需要考虑直角坐标系的建立方法。

例：一个质量为m的带负电小球处在水平方向的匀强电场中，某时刻将它以初速度V0从A点射出，且初速度V0与水平方向成θ角，一段时间后小球沿直线到达最高点B，如图所示，求小球从A运动到B的过程中电势能的变化量。

分析：电场力、重力均为恒力，合外力必定是

恒力，小球作匀变速直线运动。由于电势能变化量可用

电场力做功来量度，因此电场力应尽量单独保留，不要

分解或与其它力合成，可以建立如图所示的直角坐标

系，将实际的直线运动分解为水平方向的匀减速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。

解：小球受力如图，在A．B之间做匀变速直线运动。

按图示直角坐标系分解匀变速直线运动，x方向为初速度是

的匀减速直线运动；y方向是初速度是、加速度是、加速度是的竖直上抛运动。

对x方向的分运动使用动能定理得：

而

所以

说明：运用运动的分解解决此题要比直接对整个运动过程利用匀变速直线运动的规律或功能关系处理简单得多。这是对传统观念的一种突破，值得认真研究，仔细体会，以掌握该处理思想的精髓。

从上面几道例题的分析中可以看出，直角坐标系建立得是否恰当，对解题过程有着重要的影响，因此，在运用正交分解法或运动的分

解处理问题前，一定要结合实际，对照原则，仔细

推敲，反复对比，找出最佳的建立方案，用自己的

智慧让解题过程变得轻松有趣，让物理的学习过程

变成一种享受！

三、变式练习

（一）平衡类

1．如图所示，质量m=5kg的物体，置于倾角θ=30°的粗糙斜

面块上，用一平行于斜面的大小为30N的力推物体，使其沿斜面向

上匀速运动。求地面对斜面块M的静摩擦力。（153N）

2.滑板运动是一项非常刺激的水上运动,研究表明,在进行滑板

运动时,水对滑板的作用力N垂直于板面,大小为kv2,其中v为滑板

速率(水可为静止).某次运动中,在水平牵引力作用下,当滑板和水

面的夹角θ=37°时(如图所示),滑板做匀速直线运动,相应的

k=54 kg/m,人和滑板的总质量为108 kg,试求(重力加速度g取10

m/s,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,忽略空气阻力):

(1)水平牵引力的大小;

(2)滑板的速率. 2

解析:(1)以滑板和运动员为研究对象,其受力如图所示

根据力的合成与分解规律可得

Ncos θ=mg

Nsin θ=F

解得F=810 N.

(2)由N=mg/cos θ,N=kv 得v=

答案:(1)810 N (2)5 m/s

（二）匀变速类

1．如图，当升降机以加速度a匀加速下降时，物体A相对于斜面静止，已知物体A的质量为m，斜面的倾角为θ，求此时物体A受到的支持力和摩擦力大小。(mg(g－a)cosθ)

3．如图所示，光滑斜面长为b，宽为a，

倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射出，恰从右下方顶点Q离开斜面，问入射初速度v0，应

gsinθ多大？2b

4．如图所示，质量为5×10kg的带电微粒以v0=2m／s速度从水平放置的平行金属板A、B的中央飞入板间。已知板长L=10cm，板间距离d=2cm，当UAB=10V时，带电微粒恰好沿直线穿过板间，则AB间所加电压在什么范围内带电微粒能从板间飞出？(200～1800V)

3-82mgkcosθ