有限元分析技术的应用

计算机辅助分析

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专 业： 机械设计制造及其自动化

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有限元分析技术的应用

摘要

有限元单元法，简称有限元法，是伴随着电子计算机技术的进步而发展起来

的一种新兴数值分析方法，是力学、应用数学与现代计算技术相结合的产物。有限元法是一种高效能、常用的计算方法。本文主要讲述了有限元的特点、作用、基本思想、分析步骤，以及有限元的应用，除此之外，也对有限元的应用软件进和有限元的发展趋势行了简单介绍。

关键词：有限元法，基本思想，应用软件，发展趋势

The application of finite element analysis technology

Summary

The finite element method, finite element method, is accompanied by

advances in computer technology and the development of a new numerical analysis method, is a product of mechanics, applied mathematics and modern technology combine. The finite element method is an efficient computing method, commonly used. This paper mainly describes the characteristics, finite element function, basic thought, analysis steps, and the application of finite element method, in addition, also do a simple introduction on the application software of finite element and finite element development trend.

Keywords: finite element method, the basic idea, application, development trend

一、有限元的基本概念

有限元，通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个单元来描述。

有限元法，把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已成为一种非常受欢迎的、应用极广的数值计算方法。

有限元模型，它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。

有限元分析，是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统【8】。

二、有限单元法的特点

1）把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点（节点）作为离散点；

2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。

3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解。

4）具有灵活性和适用性，适应性强。（它可以把形状不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应力、应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的许多问题。）

【5】 5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。

三、有限元的作用

1）减少模型试验的数量；计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的试验。

2）模拟不适合在原型上试验的设计；例如：器官移植，比如人造膝盖。

3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本；

4）节省时间，缩短产品开发时间和周期；

5）创造出更可靠、高品质的设计。

四、有限元设计的内容

（1）有限元法在数学和力学领域所依据的理论；

（2）单元的划分原则；

（3）形状函数的选取及协调性；

（4）有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性；

（5）计算机程序设计技术；

（6）向其他各领域的推广【7】

五、有限元法的分类

有限元法可以分为两类，即线弹性有限元法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研究步骤上有类似之

处，而且后者常常要引用前者的某些结果。

（1）线弹性有限元

线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。

（2）非线性有限元

非线性问题与线弹性问题的区别：

1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；

2）非线性问题不能采用叠加原理；

3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。

以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预知性【6】。

六、有限元法的基本思想

有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形 网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域 内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数

一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或

【1】更高阶插值函数等。

七、有限元的基础理论

1.加权余量法

加权余量法是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。（Weighted residual method WRM）。加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。其中伽辽金法的精度最高。

2、里兹方法，

里兹方法，是如果微分方程具有线性和自伴随的性质，那么它不仅可以建立它的等效积分形式，并利用加权余量法求其近似解，而且还可以建立与之相等效的变分原理，从而得到的另一种近似求解方法。

自然变分原理，是原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分为零，亦即泛函取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的微分方程和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效积分的伽辽金法而得到，我们称这样得到的变分原理为自然变分原理。

对于具有线性、自伴随性质的微分方程在得到与它相等效的变分原理以后，可以用来建立求近似解，这一过程即里兹方法。它的实质是从一族假定解中寻求满足泛函变分的“最好的”解。显然，近似解的精度与试探函数（形函数或试函数）的选择有关，如果知道所求解的一般性质，那么可以通过选择反映此性质的试探函数来改进近似解，提高近似解的精度。

3、虚功原理

——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式

虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。他们都可以认为是与某些控制方程相等效的积分“弱”形式。虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱”形式；虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式。

虚位移原理的力学意义是如果力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为零。反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上所作的功的和等于零，则它们一定满足平衡方程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分

条件。一般而言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。

4、最小位能原理与最小余量原理

要明确最小位能原理是建立在虚位移原理基础上的，而最小余能原理建立在虚应力原理基础上。最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移使系统总位能取最小值。总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。

最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使系统的总余能取最小值。总余能是指弹性体余能和外力余能总和。

一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理求得的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界，即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模型偏于柔软。当分别利用这两个极值原理求解同一问题时，我们将获得这个问题的上界和下界，可以较准确地估计所得近似解的误差，这对工程计算具有实际意义【4】。

八、有限元求解问题的基本步骤

对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为：

第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。

第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。

第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。

第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。

为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。

第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。

第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算【2】。

九、各种流行软件比较：

目前流行的CAE分析软件主要有NASTRAN、ADINA 、ANSYS、ABAQUS、MARC、

MAGSOFT、COSMOS等。以下为对这些常用的软件进行的比较和评价：

1.LSTC公司的LS-DYNA 系 列软件 LSDYNA长于冲击、接触等非线性动力分析。LS-DYNA是一个通用显式非线性动力分析有限元程序，最初是1976年在美国劳伦斯利弗莫尔国家实验室

(Lawrence Livermore National Lab.)由

J.O.Hallquist 主持开发完成的，主要目的是为核武器的弹头设计提供分析工具，后经多次扩充和改进，计算功能更为强大。虽 然该软件声称可以求解各种三维非线性结构的高速碰撞、爆炸和金属成型等接触非线性、冲击载荷非线性和材料非线性问题，但实际上它在爆炸冲击方面，功能相对 较弱，其欧拉混合单元中目前最多只能容许三种物质，边界处理很粗糙，在拉格朗日——欧拉结合方面不如DYTRAN灵活。

2. HKS公司的ABAQUS软件 ABAQUS是一套先进的通用有限元系统，属于高端 CAE软件。它长于非线性有限元分析,可以分析复杂的固体力学和结构力学系统，特别是能够驾驭非常庞大的复杂问题和模拟高度非线性问题。ABAQUS不但 可以做单一零件的力学和多物理场的分析，同时还可以做系统级的分析和研究，其系统级分析的特点相对于其他分析软件来说是独一无二的。需要指出的 是，ABAQUS对爆炸与冲击过程的模拟相对不如DYTRAN和LS-DYNA3D 。

3.ADINA ADINA是近年来发展最快的有限元软件，它独创有许多特殊解法, 如劲度稳定法(Stiffness Stabilization),自动步进法(Automatic Time

Stepping),外力-变位同步控制法(Load-Displacement Control)以及BFGS梯度矩阵更新法,使得复杂的非线性问题(如接触,塑性及破坏等), 具有快速且几乎绝对收敛的特性, 且程式具有稳定的自动参数计算,用户无需头痛于调整各项参数。另外值得一提的就是它有源代码，我们可以对程序进行改造，满足特殊的需求。

4.ANSYS ANSYS 软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，发展了很多版本，但是它们核心的计算部分变化不大，只是模块越来越多，这些模 块并不是ANSYS公司自己搞的，而是把别人的东西买来集成到自己的环境里。ANSYS系统擅长于多物理场和非线性问题的有限元分析,在铁道，建筑和压力 容器方面应用较多【7】。

十、有限元的发展趋势

有限元的应用范围也是相当的广的。它涉及到工程结构、传热、流体运动、电磁等连续介质的力学分析中，并在气象、地球物理、医学等领域得到应用和发展。电子计算机的出现和发展是有限元法在许多实际问题中的应用变为现实，并具有广阔的前景。

（1）从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题

（2）由求解线性工程问题进展到分析非线性问题

（3）增强可视化的前置建模和后置数据处理功能

（4）与CAD软件的无缝集成

（5）在Wintel平台上的发展【3】

参考文献

1、《有限元分析及应用》作者：曾攀 2008-06

2、《有限元理论与方法》作者：黄艾香 2009-05 科学出版社

3、《有限元法发展及其应用》作者：张永刚2007-04-15

4、《有限元分析-ansys理论与应用》作者：王崧2009-04 电子出版社

5、《有限元方法的发展状况和应用》作者：高攀 黄放 1999-05-15

6、《非线性有限元分析方法》作者：张洪伟，张庆生 2013-04 水利水电出版社

7、《应用有限元分析》作者：梁醒培，王辉 2010-06 清华大学出版社

8、《有限元分析基础》作者：武建华 2007-03 重庆大学出版社