必修1第一章_集合与函数概念知识点

高中数学必修1知识点总结

⎧（）元素与集合的关系：属于（∈）和不属于（∉）⎧1⎪⎪

⎪2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性⎪集合与元素（⎨⎪（⎪3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集⎪

⎪4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（⎪⎩

⎪

⎧⎧子集：若x ∈A ⇒x ∈B ，则A ⊆B ，即A 是B 的子集。⎪

⎪⎪⎪

⎧1、若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有(2n -1) 个。⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪2、任何一个集合是它本身的子集，即 A ⊆A ⎪⎪ 注⎪⎨⎪

⎪关系⎨⎪⎪3、对于集合A , B , C , 如果A ⊆B ，且B ⊆C , 那么A ⊆C . ⎪⎪⎪⎪4、空集是任何集合的（真）子集。

⎩⎪⎪⎪

⎪⎪真子集：若A ⊆B 且A ≠B ⎪（即至少存在x 0∈B 但x 0∉A ），则A 是B 的真子集。集合⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩集合相等：A ⊆B 且A ⊇B ⇔A =B ⎪⎪

⎧⎧定义：A ⋂B ={x /x ∈A 且x ∈B }⎪集合与集合⎪⎪⎨交集⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩性质：A ⋂A =A ，A ⋂∅=∅，A ⋂B =B ⋂A ，A ⋂B ⊆A , A ⋂B ⊆B ，A ⊆B ⇔A ⋂B =A ⎪⎪⎪⎪⎪⎧定义：A ⋃B ={x /x ∈A 或x ∈B }⎪并集⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩性质：A ⋃A =A ，A ⋃∅=A ，A ⋃B =B ⋃A ，A ⋃B ⊇A ，A ⋃B ⊇B ，A ⊆B ⇔A ⋃B =B ⎪运算⎨⎪

⎪⎪ Card (A ⋃B ) =Card (A ) +Card (B ) -Card (A ⋂B ) ⎪ ⎪⎪⎪⎧定义：C U A ={x /x ∈U 且x ∉A }=⎪⎪⎪⎪⎪⎪补集⎨性质：⎪(C U A ) ⋂A =∅，(C U A ) ⋃A =U ，C U (C U A ) =A ，C U (A ⋂B ) =(C U A ) ⋃(C U B ) ，⎪⎪⎪⎪ C (A ⋃B ) =(C A ) ⋂(C B ) ⎪⎪U U U ⎪⎩⎩⎩⎩

第一章 集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法

N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象a 与集合M 的关系是a ∈M ，或者a ∉M ，两者必居其一. （4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).

【1.1.2】集合间的基本关系

n

n

n

（2）已知集合A 有n (n ≥1) 个元素，则它有2个子集，它有2-1个真子集，它有2-1个非空子集，它有

2n -2非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

【1.2.1】函数的概念

（1）函数的概念

①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作f :A →B ． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③相等函数：定义域相同，且对应法则也相同的两个函数． （2）区间的概念及表示法

①设a , b 是两个实数，且a a , x ≤, b

[a , +∞) , a (+, ∞) , -(∞b , ]-, ∞b (．

注意：对于集合{x |a

①f (x ) 是整式时，定义域是全体实数．

②f (x ) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③f (x ) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤y =tan x 中，x ≠k π+

π

2

(k ∈Z ) ．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若f (x ) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f (x ) 的定义域为[a , b ]，其复合函数f [g (x )]的定义域应由不等式a ≤g (x ) ≤b 解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的解析式

①待定系数法

待定系数法适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，其方法：可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

例1：已知f (x ) 是二次函数，若f (0)=0, 且f (x +1) =f (x ) +x +1试求f (x ) 的表达式。 ②换元法

换元法主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

例2

：已知f 1) =x +1, 求f (x ) 的解析式。

③配凑法

已知复合函数f [g (x )]的表达式，要求f (x ) 的解析式时，若f [g (x )]表达式右边易配成g (x ) 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。

例3

：已知f 1) =x +求f (x ) 的解析式。 ④消元法，此方法的实质是解函数方程组。

消元法适用的范围是：已知条件中，有若干复合函数与原函数f (x ) 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

1

例4：设f (x ) 满足f (x ) -2f () =x , 求f (x ) 的解析式。

x

⑤赋值法

方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。

例5：已知f (0)=1, f (a -b ) =f (a ) -b (2a -b +1), 求f (x ) 。

【1.2.2】函数的表示法

（1）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （2）分段函数：

1. 在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数。 2. 对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数. 3. 定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集. 4. 值域：分段函数值域为各段函数值的并集.

5. 表示：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围. 6. 分段函数函数值的方法：

先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 注：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. 7. 分段函数函数值的方法：分类讨论列不等式组 （3）映射的概念

设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作f :A →B ．

〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性

①定义及判定方法

如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2, 当x f(x) ，那么就说f(x)在这个区间上是减函数． 212．．．．．．．．．．．．．．．．

②证明函数单调性的步骤：任取（取值范围、大小）——作差变形（因式乘积）——定号（每一个因式的正负、作差的符号）——结论（函数、区间、单调性）

③在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

④复合函数y =f [g (x )]的单调性（同增异减）

令u =g (x ) ，则y =f (u )

若y =f (u ) 为增，u =g (x ) 为增，则y =f [g (x )]为增；若y =f (u ) 为减，u =g (x ) 为减，则若y =f (u ) 为增，则y =f [g (x )]为减；若y =f (u ) 为减，y =f [g (x )]为增；u =g (x ) 为减，u =g (x ) 为增，则y =f [g (x )]为减． （2）对勾函数f (x ) =x +

a

(a >0) 的图象与性质 x

f (x

) 分别在(-∞,

、+∞

) 上为增函数，分别在[

、上为减函数．

（3）最大（小）值定义

①一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有

（2）存在x 0∈I ，使得f (x 0) =M ．那么，我们称M 是函数f (x ) 的最大值，记作f (x ) ≤M ；

f max (x ) =M ．

②一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f (x ) ≥m ；（2）存在x 0∈I ，使得f (x 0) =m ．那么，我们称m 是函数f (x ) 的最小值，记作f max (x ) =m ． （4）求函数的值域或最值

①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．

②配方法：二次函数求值域

③换元法: 含根式，且根式内外均有自变量x ④分离常数法：分式，一次比一次．

⑤数形结合法：画出函数图象（分段函数）

⑥函数的单调性法：判断函数在给定区间上的单调性（大题用定义法证明单调性）

【1.3.2】奇偶性

1. 奇函数与偶函数的概念

如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x , 都有f (-x )=-f (x )（互为相反数），那么函数f (x )就叫做奇函数。如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x , 都有f (-x )=f (x )（相等），那么函数f (x )就叫做偶函数。 2. 奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

3. 判断函数奇偶性的步骤：（1）求定义域（2）计算f (-x )（3）判断f (-x )和f (x )的关系（4）下结论. 4. 若函数f (x ) 为奇函数，且在x =0处有定义，则f (0)=0．

5. 奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．

6. 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

〖补充知识〗函数的图象

1. 利用描点法作图：

2. 利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换

h >0, 左移h 个单位k >0, 上移k 个单位

y =f (x ) −−−−−−−→y =f (x +h ) y =f (x ) −−−−−−−→y =f (x ) +k

h

②伸缩变换

0

y =f (x ) −−−−→y =f (ωx ) ω>1, 缩01, 伸

③对称变换

y 轴x 轴y =f (x ) −−−→y =-f (x ) y =f (x ) −−−→y =f (-x )

直线y =x 原点y =f (x ) −−−→y =-f (-x ) y =f (x ) −−−−→y =f -1(x ) 去掉y 轴左边图象

y =f (x ) −−−−−−−−−−−−−−−→y =f (|x |) 保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称图象保留x 轴上方图象

y =f (x ) −−−−−−−−−→y =|f (x ) | 将x 轴下方图象翻折上去

3. 识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． 4. 用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，

获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法

（2