定积分与微积分
1. 定积分的定义
定积分与微积分
如果函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续,用分点将区间[a , b ]等分成n 个小区间,在每个小区间上任取一点ξi (i =1,2, , n ) 作和式。当n →∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f (x ) 在区间[a , b ]上的定积分,记作 ,即
⎰
b
a
f (x ) dx = ,其中f (x ) 称
为 ,x 称为 ,f (x ) dx 称为 ,[a , b ]为 ,a 为 ,
b 为, “⎰”称为积分号。
2.
⎰
b
a
f (x ) dx 的实质
(1)当f (x ) 在区间[a , b ]上大于0时,(2)当f (x ) 在区间[a , b ]上小于0时,
⎰⎰
b
a b
f (x ) dx 表示 ; f (x ) dx 表示 ;
a
(3)当f (x ) 在区间[a , b ]上有正有负时,
⎰
b
a
f (x ) dx 表示 ;
3.定积分的性质
根据定积分的定义及几何意义,容易得到定积分的如下性质: (1)(2)(3)1.
⎰
b
a b
; kf (x ) dx = (k 为常数)
1
2
⎰[f (x ) ±f (x )]dx = ;
a
⎰
50
b
a
。 f (x ) dx = (其中a
⎰
(2x -4) dx =
B 。4
C 。3
D 。2
A .5
a 1
2. 若⎰(2x +) dx =3+ln 2,且a >1,则a 的值为
1x
A .6 B 。4 C 。3
D 。2
3. 曲线y =cos x , x ∈[0, π]与坐标轴围成的面积
A .4
B .2
C .
3
2
5
2
D .3
4. |x 2-4|dx =
⎰
1
5
π
A .
22252123
B . C . D .
3333
2x cos dx = π
22
1
⎰1x ln xdx =
1
A .ln 22 B
。2
7. 计算下列定积分的值
6.
2
C 。ln 22
π
π-
D 。ln2
8.
(1)⎰(4x -x ) dx ;(2)⎰2(x +sin x ) dx ;(3)⎰2πcos 2x dx 。
2
-1
2
3
⎰
1
(e x +e -x ) dx =
1
B .2e e
C .
A .e +
a
2
e
D .e -
1 e
9. 若⎰(3x 2+4x -5) dx =a3-2(a >1),则。
+x 。
⎰4
11. 下列值等于1的积分是( )
10.
A.
11111
B. C. D. xdx (x +1) dx dx ⎰0⎰0⎰02⎰01dx
求曲边梯形的面积
1 利用定积分表示图中四个图形的面积:
(2)
(4)
2如图,阴影部分的面积是
A .2 B .9-2 C .
2
3235
D .
3 3
3. 曲线y =x 与直线
y =x +2所围成的图形(阴影部分)的面积等于
4.由曲线y =e x , x =0, y =2所围成的曲边梯形的面积为( ).
例1(2)
.
⎰
21
ln y dy B. ⎰
2
e 20
e dy C. ⎰
x
ln 21
ln y dy D. ⎰
21
(2-e )d x
x
5由抛物线y =x 和直线x =1所围成的图形的面积等于
A .1
B .
4 3
C .
2 3
D .
1 3
6.计算下列定积分 (1)
7.利用定积分的几何意义求下列定积分 (1
)
1
5
⎰
2π
2
(2)⎰|x -1|dx |sin x |dx ;
2
⎰
-(2)⎰(3x 3+4sin x ) dx ;
-5
(3)
⎰
2
4-x 2dx
8. 求由曲线y =2x +3, y =1, y =2, x =0所围图形的面积