复数三角形式的乘法
课题 复数三角形式的乘法
教学目标：
1、掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程．掌握复数乘法的几何意义． 2、让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法． 3、培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力
教学重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算． 难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握． 教具：三角板 教学过程： 一、复习提问：
1．（1-2i ）（2+i）（4+3i）；
第1题检查了复数乘法运算，答案是25，第2题检查了复数的
二、讲授新课
如果把复数z 1，z 2分别写成
z 1=r1（cos θ1+isinθ1），z 2=r2（cos θ2+isinθ2）． z 1·z 2这乘法运算怎样进行呢？
想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见．
（教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程）学生板演：
z 1·z 2=r1（cos θ1+isinθ1）·r 2（cos θ2+isinθ2） =（r 1cos θ1+ir1sin θ1）·（r 2cos θ2+ir2sin θ2）
=（r 1r 2cos θ1cos θ2-r1r 2sin θ1sin θ2）+i（r 1r 2sin θ1cos θ2+r1r 2cos θ1sin θ2） =r1r 2[（cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2）+i（sin θ1cos θ2+cosθ1sin θ2] =r1r 2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．
这表明两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各辐角的和.
当推广到n 个复数相乘的时候，就是：
z 1⋅z 2⋅⋅⋅z n =r 1⋅r 2... r n [cos(θ1+θ2+... +θn ) +i sin(θ1+θ2+... θn )]
特别地，复数的n 次幂的模等于这个复数的模的n 次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n 倍，这个定理就是棣莫佛定理.
z n =r n [cos(n θ) +i sin(n θ)]
例1：
提示：由于复数定义是形如a ＋bi （a ，b ∈R ）的数，如果辐角是特殊角或特殊角的终边相同角，要化成代数形式．即
r 1（cos θ1+isinθ1）·r 2（cos θ2+isinθ2）=r1r 2［cos （θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］ 计算，简便得多．
这就是复数的三角形式乘法运算公式．
二．复数的几何意义：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角θ2（θ2＞0，如果θ2＜0，按顺时针方向旋转一个角|θ2|，再把其模变为原来的r 2倍（r 2＞1，应伸长；0＜r 2＜1，应缩短；r 2=1，模长不变），所得的向量就表示积z 1·z 2．这是复数乘法的几何意义． 图形演示（如图8－7）：
=
1
·
2
．
例2、向量
对应的复数. 解：将向量
与-1+i对应，把
按逆时针方向旋转120°，得到
′，求与向量
′
逆时针方向旋转120°，得到
′，由于模未发生变化，应当是
对应复
数乘以1·（cos120°＋isin120°） 即z ’=(-1+i)（cos120°＋isin120°）=
1-31+3
-i 22
例3：已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明∠1+∠2+∠3=
π
2
.
证明：如图建立坐标系，∠1，∠2，∠3分别等于1+i , 2+i , 3+i 复数的辐角主值，这样∠1+∠2+∠3就是的(1+i )(2+i )(3+i ) =10i 辐角. ∠1，∠2，∠3都是锐角. 所以∠1+∠2+∠3=
π
2
.
三、练习P18 1、2、3
四、小结: 复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算．根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简．在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法． 五、作业P24 5、8 六、板书设计：（略）