陈湘平(小小正方形方方正正真精神)
小小正方形,方方正正真精神
广东省珠海市第四中学(519015)陈湘平
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形,它既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的一切性质,被人们誉为“完美的四边形”。因此人们对它都情有独钟,在中考和竞赛中有关正方形的题也是层出不穷,变化多端,倍受出题者的青睐。下面举例数则,以供参考。
一 有关正方形的计算题 例1 如图所示,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个颜色不同的正方形组成。设中间最小的正方形边长为1,问这个矩形色块图的面积=__。
解:设两个相等的正方形A 、B 的边长为
则正方形C 的边长为x+1, 正方形D 的边 长为x+2, 正方形E 的边长为x+3,根据矩形的长相等有(x +2)+(x +3)=(x +1)+x +x ,解得:x =4。 所以这个矩形的长为(x +1)+x +x =(4+1)+4+4=13,宽为(x +1)+(x +2)=(4+1)+(4+2)=11,这个矩形色块图的面积为13×11=143。
点析:此题的关键是设两个相等的正方形A 、B 的边长为x, 由此可推出每个正方形的边长,再根据矩形的长或宽相等即可求得x 的值,从而求出矩形的长和宽,再进而求出矩形的面积。
例2 如图所示,在正方形ABCD 中,AO ⊥BD ,OE 、FG 、HI 都垂直于AD ,EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ,若已知S △AIJ =1,则S
正方形ABCD
=__。
解:可以证明S △AOD =2S △AOE =4S △AEF
D C
=8S △AFG =16S △AGH =32S △AIH =64S △AIJ =64,
E
所以S 正方形ABCD =4S △AOD =256。
G
点析:此题主要搞清楚在正方形中 I A 众多三角形之间的面积关系就不难解决了。
B
例3 如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长是7cm ,则正方形A 、B 、C 、D 的面积的和=__。
解:易证A 的面积+正方形B 的
面积=正方形E C 的面积+正方形D 的面积=F 的面积,同理,正方形E 形F 的面积=正方形G 形
A 、B 、C 、D =49。
点析:本题的关键是由勾股定理可以知道A 的面积+正方形B 的面积=正方形E 的面积,接下来的问题就迎刃而解了。
例4 如图所示,正方形ABCD 中,边长AB =2,E 是CD 的中点,AF 平分∠BAE 交BC 于F ,则 CF=__。
解:延长CB 至G 使BG =DE =1,易知AGB ≌△ADE ,所以∠GAB =∠EAD ,AG =AE =5,因为AF 平分
D
∠BAE ,所以∠GAF =∠FAD
∠AFG =∠FAD ,所以∠GAF = ∠AFG
,所以AG =GF =5,所
E
以BF =-1,CF =2-(-1)=3-。
点析:本题有两个难点:第一是作出辅助线构造AGB ≌△ADE ,第二就是要注意到∠AFG =∠FAD ,从而得到AG =GF =5。
二 有关正方形的证明题
例5 如图所示,在正方形ABCD 中,AC ,BD 相交于O 点,FA 平分∠BAC ,交BC 于F ,交BD 于E 。求证:OE =FC 。
证明:过O 作OG ∥BC 交AF 于G 。 ∵O 是AC 中点,OG ∥BC , ∴OG 是△AFC 的中位线, ∴OG = FC。
1
2
12
下只需证OE =OG ,即证∠OGE =∠OEG 。 ∵FA 平分∠BAC ,
∴∠BAF =22.5,∠AFB =67.5,∠BEF =67.5, ∵∠AFB =∠OGE ,∠BEF =∠OEG , ∴∠OGE =∠OEG =67.5。(得证)
点析:本题关键是要作出△AFC 的中位线OG ,从而转化为证明OE =OG ,即证∠OGE =∠OEG 。
例6 如图所示,已知四边形ABCD 是正方形,对角线AC 、BD 相交于O ,四边形AEFC 是菱形,EH ⊥AC 于H 。求证:EH =FC 。
1
2
。
。。。
证明:在正方形ABCD 中,AC ⊥BD ,AC =BD , BO =BD =AC 。
∵四边形AEFC 是菱形, ∴AC =CF ,AC ∥EF 。 ∵EG ⊥AC ,
A ∴∠BOH =∠OHE =∠OBE =90,
。
1212
B ∴四边形BEHO 是矩形, ∴EH =BO 。 ∴EH =AC =CF 。
点析:本题用到了正方形的对角线相等、互相平分且垂直的性质,通过证明四边形BEHO 是矩形得到EH =BO ,再用菱形四边都相等的性质得到EH =BO =AC =CF 。
例7 如图所示,在正方形ABCD 的对角线相交于O 点,E 是OA 上的任意一点,CF ⊥BE 交OB 于G 点,F 为垂足,求证:△OEG 是等腰三角形。
证明:∵BD ⊥AC , ∴∠BOE =∠COG =90。 ∵CF ⊥BE 于F ,
∴∠OBE +∠BGF =90, ∵∠OCG +∠CGO =90,∠BGF =∠CGO , ∴∠OBE =∠OCG , ∵OB =OC ,
。。。
1
212
1212
D C
A
B
∴△OBE ≌△OCG , ∴OE =OG , ∴△OEG 是等腰三角形。
点析:本题所用到的方法比较传统,要证△OEG 是等腰三角形,即要证OE =OG ,而要证两条线段相等,通常可以考虑两条线段所在的三角形是否全等,所以会想到证△OBE ≌△OCG 。
三 有关正方形的探究题
例8 如图所示,有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的4个顶点同时出发,沿着AB 、BC 、CD 、DA 以相同的速度向B 、C 、D 、A 各点移动
(1) 判定四边形PQEF 的形状; (2) PE 是否总是经过某一定点,
并说明理由;
(3) 四边形PQEF 的顶点位于何处时, 其面积最小、最大?各是多少? 解:(1)四边形PQEF 是正方形;
(2)连结AC 交PE 于O ,四边形APCE 为平行四边形,O 是
AC 中点,即PE 必经过AC 的中点;
(3) 正方形ABCD 与正方形PQEF 的对角线交点是重合的, 易知当OP ⊥AB 时,四边形PQEF 的面积最小,为正方形ABCD 面积的一半,当P 与顶点B 重合时,有最大面积,为正方形ABCD 面积。
E C
F
D
点析:动点在正方形的边上运动,判断动点所组成的是什么图形是一类比较常见的题型。作为本题,是以相同的速度向各点移动的,应该还是比较简单的。
例9 如图9所示,正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成4个小矩形,P 是EF 与GH 的交点,若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍,试确定∠HAF 的大小,并证明你的结论。
解:设AG =a ,BG=b,AE=x,ED=y,
1 ⎧a +b =x +y ○
1得a-x=b-y, 则⎨ ,由○
2 ○⎩by =2ax
D H
3 两边平方得:a -2ax+x=y-2by+b○2代入○3得:a -2ax+x=y-4ay+b把○
2
2
2
2
222
2
∴(a+x)=b+y=CH +CF =FH ∴a+x=FH ,即DH +BF =FH 。
222222
F
C
延长CB 至M ,使BM =DH ,连结AM ,由Rt △ABM ≌Rt △ADH ,得AM =AH ,∠MAB =∠HAD 。
∴∠MAH =∠MAB +∠BAH =∠BAH +∠HAD =90。
。1
易证△AMF ≌△AHF ,∠MAF =∠HAF ,即∠HAF =∠MAH =45。
2
。
点析:本题的关键是抓住矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍推出DH +BF =FH ,再构造Rt △ABM ≌Rt △ADH ,问题从而得以解决。
例10 如图9所示,正方形MNPQ 网格中,每个小方格的边长都相等,正方形ABCD 的顶点分别在正方形MNPQ 中4条边的小方格的顶
点上。
1△ABQ 、(1) 设正方形MNPQ 网格中每个小方格的边长为1,求○ 2正方形ABCD 的面积。 △BCM 、△CDN 、△ADP 的面积; ○
(2) 设MB =a,BQ=b,利用这个图形中直角三角形和正方形的面积关系,你能验证已学过的哪一个 数学公式或定理吗?相信你能给出 简明的推理过程。
1 S△ABQ =S △BCM 解:(1)易知○
=S △CDN =S △ADP =×3×4=6。
2 S正方形ABCD =3+4=5=25。 ○
2
2
2
1
2
D
(2)S 正方形MNPQ =S △ABQ +S △BCM +S △CDN +S △ADP +S 正方形ABCD
2
2
2
2
2
即(a+b)=1ab+1ab+1ab+1ab+(a+b )= a+2ab+b
2
2
2
2
这就是我们所学过的和的完全平方公式。
点析:本题的第(1)小题并不复杂,而第(2)小题却要跟以前学过的知识而且是跟代数知识联系起来,充分体现了它的灵活性。