矩阵的特征值与特征向量的研究
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矩阵的特征值与特征向量的研究
重庆三峡学院数学与计算机科学学院 张斌斌
摘 要:对矩阵的特征值与特征向量的研究具有一定意义,本文对矩阵的特征值与特征向量的相关问题进行系统的归纳,给出一个定理,通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量。
关键词:特征值 特征向量 互逆变换
一、引言
物理、力学、工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题。由特征方程求特征值是比较困难的,探讨了两类特殊矩阵的特征值的求法,本文对矩阵的特征值与特征向量的相关问题进行系统的归纳,给出一个定理,通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量。
二、特征值与特征向量的定义及其性质1、定义
设A是n阶方阵,如果存在数λ和n维非零向量x,使
它定义了综合维修策略、系统可用性、修理或更换策略、更换水平、技能水平要求、费用、诊断/测试原理和方案、承包方的维修责任、订购方的维修责任以及全员维修的时间分配等问题。维修概念的确立是基于初始维修分析和项目输入。如任务剖面、系统可用性和可靠性需求、系统主要约束条件等。维修方案可以重新规划,也可以由一个相似的成功项目演变而成。此外新技术也可影响维修方案的规划。如维修性项目可能由于修理费用大于更换费用而被更换而不是修复。
对后勤和保障概念的界定是维修方案的职能之一,而由维修方案、维修费用、维修周期确定的系统工作环境、保障人员水平都是形成后勤/保障方案的重要因素。这些要素也是系统维修性的重要因素,后勤规划人员根据这些因素来确定维修期间的系统停机时间。例如,如果在系统中使用备件,停机时间可以被控制到最小。
1、评估现有资源
在规划新的方案时,另一个重要方面是评估现有的后勤和保障基础,包括部件、保障设施和保障人员及保障设备。如果有一些现有设施和设备可用,则项目的开发和使用费用就可以削减。在早期的方案阶段,项目管理人员同样应着眼于如何对新项目加以改进,以充分利用现有保障基础设施及其它设备和人员,以便削减不必要的开支。
2、制定维修性项目方案
维修性项目方案是维修性项目的规划原则和控制文件。它提供为达到维修性项目的目标而必需的、详细的作业和资源。它必须同现存的项目要素相结合,而且在项目刚处于书面阶段时,就必须明确说明所有的开发和使用准则,方案必须与系统或装备的类型和复杂程度一致,且必须与系统工程进程相结合,这样就可以确定如何对维修性项目进行改进,以满足在开发、生产、使用/保障等主要规划阶段的需求。常见的要求如下:
•在产品说明书中明确与完成维修性工作有关的每一个组成要素的作用。
•维修性和其它工程项目,如设计工程、软件、可靠性、安全性、维修和后勤之间的分界面。
•每一项维修性验证工作的工作描述、进度、工作开展和管理方案等支持性文件。
•维修性在正式和非正式的设计复查中的作用。四、提供定性和定量的维修性要求
维修性设计要求是由维修性项目方案和既定的维修方案确定的,包括任务、工作环境和系统方案。这些要求应作为系统设计准则,有关人员必须遵守以满足整个项目的目标要求。而且从一开始就应作为工作的基线,除非确实需要,否则不能更改。
定性要求通常用以实现两个目的:一个是确定维修性设计特性,这些特性是对于实现维修性目的至关重要但又不能度量的因素,如钉扣的规格、特定钉扣的使用等基本的维修性定性要求;另一个是可提高系统的维修性特征以满足用户/项目要求,如编制维修工具说明书等。
五、项目控制和评估训练
维修性项目必须是系统工程进程以及所有设计与开发作业中的综合因素之一,这些设计与开发作业,包括设计复查、开发、维修性效能评估实施、维修性数据分配、项目测试与评估等。此外,转承包商/保障方控制也是评估和监控项目的一个关键因素。
结论
在项目规划上采用项目管理来开发和推进维修性设计是十分重要的。无论项目是否包括地基系统或轨道和外层空间系统,维修性都是系统运作、提高系统效能和可用性以及降低寿命周期费用的关键因素。上述的实施步骤可依据具体对象进行剪裁。
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得Ax=λx成立,则称λ为A的特征值,x是A的对应特征值λ的特征向量。
2、性质
(1)若λi是A的ri重特征值,A对应特征值λi有si个线性无关的特征向量。
(2)若x,x都是矩阵A的属于特征值λ0的特征向量,则当k,k不全为零时,kx+kx仍是A的属于特征值λ的特征向量。
(3)若λ1,λ2,...λn是矩阵A的互不相同的特征值,其对应的特征向量分别是x1,x2,...xn,则x1,x2,...xn线性无关。
(4)若A=(aij)n×n的n个特征值为λ1,λ2,...λn,则
1
2
1211220
(5)实对称矩阵A的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交。
(6)若λi是实对称矩阵A的n重特征值,则对应特征值λi恰有ri个线性无关的特征向量。
(7)设λ为矩阵A的特征值,P(x)为多项式函数,则P(λ)为矩阵多项式P(A)的特征值。
三、特征值与特征向量的求法
3.1求数字方阵的特征值与特征向量(1)计算特征多项式fA(λ)=λE−A
(2)特征方程λE−A=0,它的全部根λ1,λ2,Lλn,就是A的全部特征值,
(3)对每一个特征值λ(1≤i≤n),求出齐次方程组(λE−A)x=0的一个基础解系a,a,La便是A的属于λ(1≤i≤n)的线性无关的特征向量,则A的属于λ的全部特征向量是ka+ka+Lka其中k,k,Lk是不全为零。
计算特征多项式是难点,法一,观察特征矩阵的每一行之和,若相等均为a,则将第二列及以后各列都加到第一列,提公因子,再化简,并且a就是其中的一个特征值,(1,1L1)T为A的属于特征值a的特征向量。
i
λ+λ
1
2
+Lλn=a1+a2+Lan,λ1λ2Lλn=A
出一个新的有效方法,只需对原矩阵作行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量。
定义 把矩阵的下列三种变换称为行列互逆变换:(1)互换i,j两行,同时互换i,j两列
(2)第i行乘非零数k,同时第i列乘;
(3)第i行k倍加到第j行,同时第j列−k倍加到第i列.
定理。A为n阶可对角化矩阵,并且⎛β⎞⎛λ⎞
行列互逆变换⎟⎜
M⎟(ATEn)——(DPT)其中D=⎜⎜⎜⎝Oλ⎟⎟⎟⎠,P=⎜⎟,⎜
⎜β⎟
⎠⎝
β=(bLb) (i=1,L,n)
则λ1,λ2,...λn为A的全部特征值,α=βi为A的属于λi的特征向量。
用初等变换的性质可证。为了运算的方便,约定;
ri+krj
(1)表示矩阵的第j行k倍加到第i行,
__________
1
T
1
n
n
ii1in
T
i
(2)rr表示矩阵的第j列-由于用定理求解时,总会遇到形如
i
_____
−k
j
k
倍加到第i列。
⎡a=A1⎢⎣c0⎤⎡a
=或A2⎢⎣0b⎥⎦
T
⎛⎞⎟=
具体方法:⎜⎝A1E2⎠
c⎤
(a≠b)形式的矩阵化对角阵问题,为此给出b⎥⎦ +k
⎡a
⎢o⎣
c
1b
o
r1r2
0⎤⎡a_______⎥⎢01⎦⎣r2−kr1
1b
k⎤
1⎥⎦
r2−kr1
T⎡a010⎤⎡a010⎤⎛⎞=⎜⎟⎥_______⎢0b−k1⎥或⎝A2E2⎠⎢
⎣cb01⎦⎣⎦r1+kr2
ii1i2in
i
i
1i12i2rir12r
其中
则α1
1
k=
=
(1,k),α=(0,1)
T
ca−b
T
2
为
T
A
1
的分别属于特征值
a和b的特征向量,
β=(1,0),β
T
2
=
(−k,1)为A2的分别属于特征值
1
−101
−1⎤1⎥⎥1⎥⎥0⎦
a和b的特征向量,
例3:求解(
⎡0⎢1A=⎢
⎢1⎢⎣−1
10−11
⎛1⎜
例1:求矩阵A=⎜−3
⎜−2⎝
22−3
−2⎞
⎟
2⎟的实特征值.6⎟⎠
的特征值与特征向量
0100⎤0⎥⎥0⎥⎥1⎦
AE)
T
4
λ−1
λE−A=
32−2λ−232−2λ−6
⎡011−1⎢10−11=⎢
⎢1−101⎢
⎣−1110
10000100
_________
1−111
r1r31r2r4
−1⎤31⎥⎥−11⎥
⎥
1−1⎦
++
r2r4
−−
r1r3
−1−22−22=−1λ−2−2=(λ−1)λ−2−2−13λ−63λ−6
1−22
=(λ−1)0λ−4=(λ−1)λ2−8λ+20
05λ−8故实特征值为λ
——
在作变换
()
法二,将特征矩阵的的两个非零常数(不含参数λ)之
一化为零,若有公因子,提出再化简。
⎛−1⎜A=⎜2例2:设
⎜2⎝
2−1−2
2⎞⎟
−2⎟的特征值.−1⎟⎠
=1
故特征值分别为λ1=λ2=λ3=1,λ4=−3;特征向量分别
T
,1,1,−1),为α1=(3
TTT
α2=(1,−1,3,1),α3=(−1,1,−1,1),α4=(−1,1,1,−1)3.2已知矩阵A 的特征值与特征向量,求与相关矩阵的特征值与特征向量可用性质7计算,特征向量用定义即可求得
例4:已知A例1中矩阵求矩阵E+A−1的特征值
由性质7可得矩阵E+A−1的特征值为1+λ−1故矩阵
4
.E+A−1的特征值为2.2.5
参考文献:
[1] 北京大学数学力学系 高等代数,人民教育出版社,1987年。
[2] 向以华:《矩阵的特征值与特征向量》,《重庆三峡学院通报》,2009年第3期。
⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣0
[1**********]−331−1−1
λ+1−2−2+1−2−2λ+1−2−2
E−A=−2λ+12=−1λ−10=(λ−1)110
−22λ+1−22λ+1−22λ+12
=(λ−1)(λ+5)故特征值为:1.1.-5
由上可知求特征值与特征向量是比较繁琐的。这里将给
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