第12讲排序不等式与切比雪夫不等式
第十二讲 排序不等式与切比雪夫不等式
一、 知识概要 1.排序不等式 定理1 设a1a2
an，b1b2bn，i1,i2,in与j1,j2,jn是1,2,3
n的任
意的两个排列，则: aibjaobj
1
1
2
2
ainbjna1b1ab2
2
anbn ai1bj1aob2j2ainbjna1bna2bn1
anb 1
可以简单的理解为：反序和乱序和同序和.
2.切比雪夫不等式
定理2 设a1a2an，b1b2bn，则：(
ab
kk1
nn
k
n
n
kk1
)(
k1
n
n
kk1
)
ab
k1
n
kk
n
.
定理3 设a1a23.幂平均不等式
an，b1b2bn，则：(
ab
n)(
n
)
ab
k1
n
kk
n
.
a1a2
,an,且0 ,则( 定理4 设正实数a1,a2,
n
an). (等号成立当且仅当a1a2
a1a2
,an,且0 ,则(定理5 设正实数a1,a2,
n
an). (等号成立当且仅当a1a2
二、解题指导
an
a1a2
)(
n
1
an
1
)
an
a1a2
)(
n
1
an
1
)
例1.设a,b,c,d满足abbccdda1的非负实数， a3b3c3d31
求证：.
bcdacdbadbac3
例2.已知a,b,cR，abc1,证明:
1113
33.
a(bc)b(ac)c(ab)2
3
例3.设x1,x2,x3,
xn(n2)都是正实数，且xi1，求证：
i1
n
i1
n
n
.
例4.设正实数a1,a2,
(a1a2a2a3
an满足a1a2ana1)(
a1a22a2
an1，证明：
a2a32a3
ana12a1
)
n. n1
例5.设xi0(i1,2,3,
,n)，求证：x1x2x3
x1
x2
x3
xn
xn
x1x2x3xn
(x1x2xn)
n
.
三、习题演练
1.用排序不等式证明下列不等式： （1）a3b3c33abc； b2c2c2a2a2b2
（2）abc；
abc
（3）2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).
2.设a,b,c0，
111
1，求证：abcabbcac.
ab1bc1ca1
111a8b8c8
3.设a,b,c0，求证：.
abca3b3c3
4.设x,y,z0，满足xyz1，
5.将1,2,3
a1,a2,a3,
n这n个正整数任意排列可以得到n!个不同的数列，问其中是否存在4个数列：
an,，b1,b2,bn,c1,c2,c3,cn，d,d2,d3,dn
使得 a1b1a2b2
anbn2(c1d1c2d2c3d3cndn).
6.设0pakq(k1,2,3,
n)，试求：f(ak)(
i1
i1
nn
1
)的最大值与最小值. ak