用C-V法研究锗硅量子阱结构的电学性质
用C-V 法研究锗硅量子阱结构的电学性质
姓名：程佩红
指导教师：黄仕华
摘 要：基于不同偏压范围内解析求解泊松方程，得到单量子阱结构电容-电压(C-V)特性的理论表达式。并采用迭代法数值求解泊松方程得到价带结构图及其随外加电压变化的规律，进而模拟得到锗硅量子阱结构在不同偏压下的载流子浓度分布和C-V 特性曲线。继而讨论不同量子阱结构参数对C-V 特性曲线的影响。
关键词：锗硅量子阱;C-V 法; 迭代法
Research on electrical properties of Si/Ge/Si quantum-well structures by C-V profiling
Name: cheng peihong
Director: huang shihua
Abstract: The theoretical expressions of the capacitance-voltage (C-V) characteristics of a single quantum well are derived in a different bias voltage regions based on analytically solving analytically Poisson’s equation. Moreover, based on numerically solving Poisson’s equation through iterative method, the valence band diagram and the change law followed with the applied voltage are derived, and then the simulation carrier concentration profiles in different bias voltage and the C-V characteristics of Si/Ge/Si quantum-well structures are derived. Afterwards, the different quantum well parameters affect on the C-V characteristics are discussed. Keys Words: Si/Ge/Si quantum-well structures; C-V characteristics; iterative method
引言
1969年Esaki 和Tsu 提出半导体超晶格以来，Bean, Wang 等先后在Si 衬底上外延生长出了结晶完美、电学性质、光学性质良好的锗硅异质结、量子阱及超晶格材料。因为这种Si 1-x Ge x /Si异质结构能与标准的硅工艺相兼容，加上合金除
具有等离子体色散效应的特点外，还因其晶格常数、禁带宽度、折射率等随Ge 组份x 变化而变化，更加促进了人们对于锗硅材料及锗硅器件的研究。随着各种外延沉积生长技术的趋向成熟，利用这种异质结构制作了许多新型的高性能器件，诸如调制掺杂晶体管，异质结双极晶体管，共振隧道二极管及负阻场效应晶体管等，被认为是九十年代新型微电子、光电子材料，是“第二代硅”材料，使得硅材料进入人工设计微结构材料时代，硅器件进入到“异质结构”、“能带工程”
时代，为电子器件的发展展示了美好的前景。
从制备器件角度来看，仅有结构完美的材料是远不够的，还必须检测材料的微观质量。因为在半导体材料中某些微量的杂质与缺陷，就会对半导体材料的电学及光学特性产生重大影响。对这些杂质与缺陷的检测是，通常可通过对材料的电学性质或光学性的测量予以发现，而用电学方法检测杂质与缺陷的灵敏度要远高于用光学的测量方法。目前，广泛采用的电学测试方法有：电容－电压capacitance-voltage （C －V ）法、深能级瞬态谱(deep level transient spectroscopy （DLTS ）) 、导纳谱方法(admittance spectroscopy)、电导法(Conductance Technique) 等。而半导体的电容-电压谱（C-V ）因其简单、方便、快速、非破坏性，被广泛应用于测定体结构半导体材料的载流子浓度分布。
对于体材料，C-V 法可以测试金属-半导体肖特基势垒二极管中半导体一侧的载流子浓度分布。C-V 测试法是在直流偏压V 上迭加一个小的交变高频电压v ，此时的势垒宽度会随之发生微小的变化dW ，且势垒宽度W 将随着反向直流偏压V 增大而向半导体内部扩展，此时dW 中的载流子变化与平行板电容器中的充放电相类似，其电容特性可表示为C =ε，式中ε是材料的介电常数，A 是结面积。
1980年，H.Kroemer [1]等人首次提出将这一测试技术测定半导体异质结的能带偏移量和界面电荷密度。对于异质结，由于在异质结界面处存在能带偏移，引起载流子在界面附近重新分布，在界面的一侧形成载流子的积累，另一侧则为载流子耗尽。当在异质结材料表面形成肖特基势垒后，表面势垒区就会随外加反向偏压增加而扩展，然后经过异质界面，因此就可用C-V 法测得异质结两边的载流子浓度。此时载流子浓度分布不仅与掺杂浓度有关，而且与界面处的能带偏移以及界面电荷等因素密切相关。
之后，C-V 技术被用于研究δ掺杂量子阱半导体[2-3]的载流子浓度分布曲线。关于方量子阱[4-5]、缓变Al x Ga 1-x As/GaAs量子阱[6]，以及抛物线型量子阱[7]的研究
也陆续发表。1991年，Letartre [8]等应用二维系统的载流子浓度分布，用解析法求解泊松方程，模拟计算了结区中存在单量子阱（阱宽为9nm ）时的C-V 曲线，并由此得出能带偏移量。1993年，Tittlelbach-Helmirich [9]用三维近似解泊松方程，模拟计算了阱宽为80nm 时，单量子阱样品（实为一双异质结样品）的C-V 特性、C-V 载流子浓度分布及其与温度的关系，由于阱宽较大可采用三维体材料的计算公式。1996年，P.N.Brounkov [10]等人通过联立薛定谔方程和泊松方程得
到其数值自洽解，模拟计算了具有一个单量子阱（SQW ）肖特基势垒异质结的C-V 特性曲线，并提取量子阱的子带能级位置和电子密度分布。模拟计算研究结果都表明，由于量子阱对载流子的限制效应，使其C-V 特性发生明显变化，C-V 曲线上的平台电容数值及其宽度均随量子阱结构参数的变化而变化，这与体结构材料及异质结构有着明显的差异。
以上这些研究成果都从不同层面推动了量子阱材料C-V 特性的研究，本文在前人工作基础上，通过在较大反向偏压范围内泊松方程得到单量子阱C-V 特性的理论解析式，并以此得到完整的C-V 特性曲线。此外，对量子阱采用有限深势阱近似求解薛定谔方程，并基于迭代法数值求解解泊松方程模拟计算了单量子阱结构样品在不同偏压下的载流子浓度分布和C-V 特性，继而讨论不同量子阱结构参数对C-V 特性曲线的影响。
1. 单量子阱结构电容的解析解[11-13]
为测量得到量子阱材料完整的C-V 特性曲线，样品应该是一系列量子阱和一个肖特基势垒，其空间电荷区在零偏时并未扩展到量子阱中。由于电荷在阱中和势垒区中不断地转移，量子阱两侧将出现能带偏移现象。这种包含p 型Si/Ge单量子阱，其价带结构可由求解泊松方程
d ⎛d ⎫ ε⎪V (z ) =-ρ(z ), (1-1) dz ⎝dz ⎭
对方程(1-1)经两次积分，并考虑边界条件，我们可以得到：
∞⎡1∞⎤V (0)-V (∞) =-⎰dz ⎢⎰dz ρ(z ) ⎥, (1-2) 0⎣εz ⎦
V (0)-V (∞) 等于肖特基电势V D 和偏压V 之和。
图1-1给出了反向电压为零时Si/Ge/Si单量子阱的价带结构。肖特基势垒的宽度定义为L D (0)，量子阱两侧的耗尽区的宽度分别为L 2(0)和L 3(0)。对于一个对称方量子阱，L 2(0)等于L 3(0)。L D (0)和L 2(0)可以分别由方程(1-2)中推导得到，
⎛2εV ⎫L D (0)= b D ⎪⎝eN Ab ⎭1/2, (1-3)
以及
⎛2εV ⎫L 2(0)= b bw ⎪⎝eN Ab ⎭1/2, (1-4)
其中，e 是电子电量，N Ab 和εb 分别为势垒的掺杂浓度和电介质常数，V bw 是势垒和量子阱之间的耗尽电势，可由图1-1的相关信息得以确定，
eV bw =∆E v +e w -e b , (1-5)
式中∆E v 表示Ge 和Si 之间的价带偏移量，e w 和e b 分别是量子阱区和势垒区价带顶能量与费米能级之差。
图1-1 零偏时Si/Ge/Si单量子阱的价带结构图
为了测量结构的电容，将一个频率为f 的小交流电压δv 叠加在直流偏压上。由δv 引起单位体积内电荷的变分δQ 为
δQ =⎰dz δρ(z ), (1-6) 0∞
其中，电荷密度变分δρ(z ) 与δv 之间的关系由下式决定：
δv =-⎰dz ⎢0⎣ε∞⎡1⎰z ∞⎤dz δρ(z ) ⎥. (1-7) ⎦
那么，我们就可以得到此结构的电容表达式
C (V ) -1=∞δv ⎡1∞⎤=⎰dz ⎢⎰dz δρ(z ) ⎥0δQ ⎣εz ⎦⎰0dz δρ(z ). (1-8) ∞
当频率较低时，电荷密度的变分可以跟随交流偏压的变化而变化，此时C (V )
将不依赖于频率f ，而是等于静态的表面电荷密度与偏压之间的变化率，即
C (V ) -1=dV . (1-9) dQ s
下面，我们将推导不同偏压范围内C (V ) 的解析式。
1.1 V
当反偏压非常低时，肖特基势垒的耗尽区域并未扩展到耗尽区Ⅱ。所加的偏压V 和ac 交流电压δv 主要加载于肖特基势垒上。肖特基势垒的宽度L D 随V 的变化关系式为
⎛2ε(V +V D ) ⎫L D = b ⎪eN Ab ⎝⎭1/2, (1-10)
那由δV 引起的电荷密度变化也主要出现在肖特基势垒的边缘一小区域δL D 内，
δρ(z ) =δQ b δ(z -L D ), (1-11)
其中δ(z -L D ) 是狄拉克函数δ，而δQ b 为z =L D 处的单位面积内电荷变化量。这种情况下，等式(1-8)的解析式与体材料经典的C-V 关系相一致，
⎛2(V +V D ) ⎫C (V ) -1== ⎪εb ⎝e εb N Ab ⎭L D 1/2. (1-12)
若假设势垒中的掺杂浓度是均匀的，N Ab 不是距离的函数，那么N Ab 的值可从C (V ) -2-V 直线的斜率中得到。
1.2 V 1
当反向偏压V 增加到某一确定V 1时，图1-1的两个耗尽区Ⅰ和Ⅱ已互相重叠，也就是，L D ≅L c -L 2(0)，因而反向偏置电压V 和δv 将开始影响量子阱中的载流子深度分布。电荷分布变化不仅出现在位于z =L c -L 2(0)的区域δL D 内，同时也出现在量子阱中，即，
δρ(z ) =δQ b δ(z -L c +L 2(0))+δρ(z ) H (z , L c , L c +L w ), (1-13)
zL , , L ) 式中δ(z -L c +L 2(0))也为狄拉克函数δ，而H (c c L +w
L c +L w ∞是指当L c ≤z ≤L c +L w 时为1，其它任何地方都为0。因此量子阱中的电荷变化量δQ w 可写成 δQ w =⎰L c dz δρ(z ) =⎰dz δρ(z ) H (z , L c , L c +L w ). (1-14) 0
由式(1-13)和(1-14)，可得到式(1-8)的分母为
⎰dz δρ(z ) =δQ b +δQ w , (1-15) 0∞
且式(1-8)分子可重新改写为如下形式
∞1∞⎡1∞⎤dz dz δρ(z ) =dz ⎰0⎢⎰⎥⎰0ε⎰z dz δQ b δ(z -L c +L 2(0))z ε⎣⎦ (1-16)
∞1∞ +⎰dz ⎰dz δρ(z ) H (z , L c , L c +L w ). ∞0εz
依照δ函数的定义，我们可以得到
⎰z dz δQ b δ(z -L c +L 2(0))=δQ b H (z ,0, L c -L 2(0)), (1-17)
其中H (z ,0, L c -L 2(0))与式(1-13)中定义一致。因此，式(1-16)第一个积分项变为 ⎰dz δQ b H (z ,0, L c -L 2(0))=0ε∞∞1L c -L 2(0)
εb δQ b . (1-18)
至于等式(1-16)的第二个积分项，可以转化为
⎰0
其中 ∞dz 1εf (z ) =⎰dz 0L c 1εf (z ) +⎰L c +L w L c dz 1εf (z ) +⎰∞L c +L w dz 1εf (z ), (1-19)
f (z ) =⎰g (z ) dz (1-20) z ∞
而
g (z ) =δρ(z ) H (z , L c , L c +L w ) (1-21)
我们可以看出f (z ) 在z >L c +L w 变为零，那式(1-19)中第三个积分项也等于零。因此，式(1-19)简化为
⎰0∞dz 1εf (z ) =1
εb ⎰0L c f (z ) dz +εw ⎰L 1L c +L w c f (z ) dz . (1-22)
运用基本的分部积分公式
⎰a
L c b b ⎛df (z ) ⎫f (z ) dz =bf (b ) -af (a ) -⎰ z ⎪dz , (1-23) a dz ⎝⎭式(1-22)的第一积分项可写成 ⎰0f (z ) dz =L c ⎰g (z ) dz +⎰dz [zg (z ) ]=L c δQ w , (1-24) L c 0∞L c
根据等式(1-21),zg (z ) 在0
同样也可得到式(1-22)第二个积分项
L c +L w
c ⎰L f (z ) dz =(L c +L w ) ⎰
L c +L w
L c ∞L c +L w g (z ) dz -L c ⎰g (z ) dz +⎰L c L c +L w L c ∞L c +L w L c zg (z ) =-L c ⎰δρ(z ) dz +⎰z δρ(z ) =⎰L c +L w (1-25) (z -L c ) δρ(z ) =z w δQ w , L c
其中
z w =⎰L c +L w
L c dz (z -L c ) δρ(z ) , (1-26) δQ w
上式中，我们已将g (z ) 值在L c
⎰0∞⎛L z ⎫1dz f (z ) = c +w ⎪δQ w . (1-27) ε⎝εb εw ⎭
由式(1-18)和(1-27)，等式(1-8)分子最终可表为
⎰0∞dz 1ε⎰z ∞dz δρ(z ) =L c -L 2(0)εb Q b + ⎛L c ⎝εb +z w ⎫⎪δQ w . (1-28) εw ⎭
将式(1-15)和(1-28)分别代入式(1-10)的分子及分母中，我们可以得到
C (V ) -1=(1-γ) L C -L 2(0)
εb ⎛z L ⎫+γ w +C ⎪, (1-29) ⎝εw εb ⎭
其中εw 和L w 分别为量子阱的电介质常数和宽度, z w 是指量子阱中载流子变化部分的平均位置，其值大约为L w 2。γ表示的是由δv 引起的量子阱中电荷变化量与全部电荷变化量之间的比值，即
γ=δQ w . (1-30) δQ b +δQ w
1.3 V 2
当反向偏压V 继续增加时，δQ b 将不断变小。在V =V 3时，所在的电荷变化量都来自于量子阱，即γ=1。在V >V 2区域内，由于量子阱中载流子积累而产生的静电屏蔽效应，当V 变化时，耗尽区Ⅲ的电荷分布基本上保持不变，因此量子阱中的载流子对电荷变化量起主要作用。这将得到如下表达式：
C (V ) -1=z w
εw +L C εb . (1-31)
式(1-31)将保持直到V =V 3，这时区域Ⅲ边缘的电荷变化量不可再忽略。也就是说，量子阱中的载流子很大程度上被耗尽以至于静电屏蔽效应变得非常微弱。明显地，在区间V 2
1.4 V 3
对于V >V 3，电荷变化量由量子阱中及那些位于z =L c +L w +L 3(0)处的载流子
共同决定的。就如我们之前所讨论的V 1
⎛L +L 3(0)L w ⎫z w L c C (V ) -1=(1-γ) c ++γ(+). (1-32) ⎪εεεεb b w ⎭w ⎝
当V 从V 3变化为V 4，γ由1变为0，这意味着在V =V 4时量子阱中的自由载流子将全部耗尽。
1.5 V >V 4区域内电容C (V ) 解析式
当V 大于V 4时，电荷变化量出现在耗尽区Ⅲ的边缘部分，电容表达式可写为
C (V ) -1=L c +L 3(0)L w
εb +εw , (1-33)
或者可写成
⎧⎫⎛L w L c ⎫⎫L w ⎛εw N Aw ⎪2(V +V D ) ⎪-1C (V ) =⎨-2 -1⎪⨯ +⎪⎬εw ⎝εb N Ab ⎪e εb N Ab ⎪⎭⎝2εw εb ⎭⎭⎩1/2. (1-34)
我们可从等式(1-34)中得到C (V ) -2-V 之间的线性关系，这与区间V
∆V =e ⎛L w L c ⎫+⎪L (εN -εN ). (1-35) εw ⎝2εw εb ⎭w w Aw b Ab
1.6理想的电容-电压特性曲线及分析
上述讨论可以概述为一理想的C-V 特性曲线，如图1-2所示。我们很清楚地区分出五个不同区域：(1)V V 4，假设区间(1)内的掺杂浓度与此区间相同，那么C (V ) -2-V 直线将平行于区间(1)内的直线。我们也可以看出V α和V β之差等于∆V 。
图1-2 单量子阱结构的理想C -V 和C -2-V 曲线示意图
由等式(1-8)、(1-28)、(1-30)及(1-31)，我们可以得到量子阱中每单位面积的电荷密度Q wi
Q wi =⎰dV γC (V ) +⎰dVC (V ) +⎰dV γC (V ), (1-36) V 1V 2V 3V 2V 3V 4
或者是
Q wi =C 0⎰dVf i (V ), (1-37) V 1V 4
式中
⎧[C 1(0)-C (V )]/[C 1(0)-C 0] (V1
⎪[C (0)-C (V )]/[C (0)-C ] (V
C 0，C 1(0)及C 4(0)分别为平台V 2
[C 1(0)-C (V )]/[C 1(0)-C 0]=C [4(0)-C V ()]/[C 4(0)-C ]，等式1(1-38)可以转换为 0=
⎧[C (V ) -C 1(0)]/[C 0-C 1(0)] (V1
虽然等式(1-39)仅仅是式(1-38)一个数学变换，但在计算中不必知道V 2和V 3的数值，因此非常适于利用它来分析实验数据。 -1将L w 2εw +L C b 由C 0代入，并利用等式(1-37),式(1-23)可改写为
N Aw =C 0⎰dVf i (V ) V αV β
eL w +εb N Ab . (1-40) εw
等式(1-37),(1-39)及(1-40)为从实验C-V 曲线中得到表面电荷密度Q w ，势垒及量子阱中的掺杂浓度N Ab 和N Aw 提供了理论依据。下面我们推导得到价带偏移量∆E v 的计算公式：
由等式(1-4)和(1-5)，并考虑到由于温度影响导致的空间电荷区域边界模糊现象，即有效价带偏移量∆E v 增大，写成
e 2N Ab [L 2(0)]∆E v =e b -e w ++k 0T , (1-41) 2εb
式中k 0是玻尔兹曼常数，T 是温度，而[14]
3/2(2πm *⎛N vb ⎫pb k 0T ) e b =k 0T ln , (1-42) ⎪, N vb =23N h ⎝Ab ⎭3/2(2πm *⎛N vw ⎫pw k 0T ) e w =k 0T ln *⎪, N vw =2, (1-43) 3N h ⎝Aw ⎭N *
Aw =Q w , (1-44) eL w
式中N vb 和N vw 分别为势垒和量子阱中的价带顶有效态密度，m *和m *
pw 分别pb
是势垒和量子阱中空穴的状态密度有效质量，N *
Aw 是量子阱中的载流子浓度，由
于有电荷不断地从势垒中转移到量子阱中，因此N *
Aw 值与量子阱掺杂浓度有所不
同。如果界面电荷Q i 足够小，那么从邻近的势垒耗尽区Ⅱ和Ⅲ转移到量子阱中的电荷量可表示为
T Q w =Q w -eN Aw L w -Q i ≈Q w -eN Aw L w (1-44)
或是
T Q w =eN Ab [L 2(0)+L 3(0)]=2eN Ab L 2(0). (1-45)
那么等式(1-41)可修改为
⎡⎛m *⎫3/2⎤T 2Q (Q ) pb w W ⎥+∆E v =k 0T +k 0T ln ⎢ *⎪. (1-46) ⎢ m pw ⎪eN Ab L w ⎥8εb N Ab ⎭⎣⎝⎦
*若势垒层和量子阱的空穴状态密度有效质量m *
pb 和m pw 之差可以忽略，那么我们
可得到下式
T 2
⎛Q w ⎫(Q W )
∆E v =k 0T +k 0T ln , (1-47) ⎪+
⎝eN Ab L w ⎭8εb N Ab
2. 单量子阱结构的数模模拟
单量子阱结构样品的C-V 特性的模拟计算，P 型半导体表面形成肖特基势垒后，平衡时满足一维泊松方程，可将式(1-1)改写为：
d ⎛d ⎫-
P (z ) -N A (z ) ⎤ ε⎪V (z ) =-e ⎡⎣⎦ (2-1) dz ⎝dz ⎭
-
式中ε为介电常数，e 为电子电量，N A (z ) 为电离的杂质浓度分布，P (z ) 载流子-浓度分布，若已知样品中N A (z ) 及P (z ) 分布，就可能通过求解该常微分方程来求
得样品中的静电势V (z ) 及电场E (z ) 的分布。其中电场E (z ) 可表示为：
E (z ) =
dV (z )
(2-2) dz
2.1 各区域载流子及电离杂质的浓度分布
样品中的载流子浓度及电离杂质浓度在势垒区和势阱区不尽相同，因此需分区域讨论分析。对势垒区来说，由于在常规测试温度范围内(77K～300K) 杂质全
-
部电离，因此势垒区域的电离杂质浓度N Ab 就等于掺杂浓度N Ab 。对于势阱区，
由于 费米能级位于阱底附近，那么电离杂质浓度与费米能级E F 密切相关，那么
-势阱区域的电离杂质浓度N Aw 就可表示为[15]
-
N Aw =
N Aw
, (2-1-1)
1+2exp((E vw +∆E A -E F ) kT )
式中∆E A 为受主杂质的电离能，E vw 为量子阱中价带顶的能量。
对于势垒区的载流子浓度计算采用体材料的三维计算公式[14]：
P 3D =N vb exp(-(E F -E vb ) kT ), (2-1-2)
其中N vb =2
3/2
(2πm *pb k 0T )
h 3
为势垒区价带顶有效态密度。
对于势阱区的载流了浓度计算采用二维计算公式[16]：
P 2D
E Vb ⎫m *kT ⎧n -1E i +1
=2⎨∑i ⎰f (E ) dE +n ⎰f (E ) dE ⎬, (2-1-3)
E n
π L w ⎩i =1E i ⎭
其中m *为阱中二维空穴有效质量，E i 是阱中第i 个子能级的位置。E vb 为势垒区的价带顶能量，f (E ) 为费米分布函数f (E ) =1+exp [(E F -E ) kT ]}，该式中的积分可表示为：
⎰E
E i +1
i
f (E ) dE =h (E i +1) -h (E i ) (2-1-4)
其中h (E i ) =kT [ln(1+exp(u )) -u ], u =(E F -E i ) kT , 则式(2-1-2)可写成
P 2D
n ⎛m *kT ⎫⎡⎤
= 2⎪⋅⎢nh (E vb ) -∑h (E i ) ⎥, (2-1-5)
i =1⎦⎝π L w ⎭⎣
2.2 量子阱中的子能级位置计算[17-19]
关于量子阱中的子能级计算，可采用有限深对称方势阱近似模型求解薛定谔方程得到。量子阱结构的Ge 中空穴处于价带量子阱中，在与结平行的面内形成二维空穴气，简称为2DHG 。同时，当空穴的能量低于∆E v 时，在价带量子阱中形成空穴的束缚态能级。
图2-2-1(a)锗硅单量子阱结构能带图图2-2-1(b)价带中空穴势能分布
Ge 价带中空穴在量子阱中的势能分布如图2-2-1 (b)所示，设量子阱宽为
L w ，取垂直于界面的方向为z 轴，势阱中间点为原点，则势能函数U (z ) 为
⎧⎪0 z >L w 2
U (z ) =⎨, (2-2-1)
⎪⎩-∆E v z
在势阱外(z >L w 2, 经典禁区) ，schr ödinger 方程为
d 2ψ
=β2ψ,
(2-2-2) 2dz
式中
β= (2-2-3)
考虑到束缚态波函数在z →∞的边条件，方程(2-1-7)的解可表示为
-βz
⎧⎪Ae z >L w 2ψ=⎨βz , (2-2-4)
⎪⎩Be z
其中A,B 为待定常数。
在z
d 2ψ
=-k 2ψ, (2-2-5) 2dz
式中
k (2-2-6)
考虑到势阱V (z ) 有空间反射对称必，能量本征态必有确定的宇称，方程(2-2-5)的解可用sin kz ,cos kz 形式表示。
(a)偶宇称态
ψ(z ) ∝cos kz (z
根据ψ及ψ' 在z =±L w 2处连续条件可求出对应的能量本征值，更方便的方法是利用ψ' 或(lnψ) ' 的连续性来确定能量的可能取值，其优点是可以不去考虑波函数的归一化问题。对于偶宇称态，连续性条件为
(lncos kz ) '
由上式可得
z =L w 2
=(lne -βz ) '
z =L w 2
, (2-2-8)
k tan(k L w 2) =β, 2-2-9)
由z =-L w 2处的连续条件所得出的结果与此相同，令
k L w 2=ξ, βL w 2=η, (2-2-10)
代入式(2-2-9)，并由式(2-2-6)及式(2-2-3)可得
⎫⎪*2 (2-2-11) m ∆E L V w ⎬ξ2+η2=⎪2 2⎭
ξtan ξ=η
这是ξ与η满足的超越代数方程组，可用数值计算法或图解法求解。
(b)奇宇称态
ψ(z ) ∝sin kz (z
与偶宇称态相似，同理可得
⎫
⎪*2 (2-2-13) m ∆E L V w ⎬ξ2+η2=⎪2 2⎭
-ξtan ξ=η
在计算价带量子阱中空穴束缚态能级时，虽然价带顶能级级位于布里渊区中心k ＝0处，但价带顶的空穴态是简并的，有轻、重空穴二支带；在量子阱中的轻、重空穴的简并消除了，由于轻、重空穴态密度有效质量不同，它们所受的量子尺寸效应不同，因而量子化束缚态能级分裂的程度不同，重空穴束缚态能级分
布较密，而轻空穴束缚态能级分布较稀。因此，需分别计算由重空穴和轻空穴所形成的两套子能级，然后由(2-1-4)式分别计算出这两套能级上的载流子浓度，其和即为阱中的载流子浓度。
2.3 数值迭代求解泊松方程
由上述各区域载流子及电离杂质浓度分布可知，在z 轴方向上，泊松方程右侧各项都随着位置z 而变化，因此必须采用数值求解的方法来得到静电势φ(z ) 与电场E (z ) 的分布。求解过程采用迭代法，即先假设一个表面势电压V s 和表面电场E surf ，此势电压应体现肖特基势垒高度V D 及样品两侧所加的反向偏压V rev ，即
V s =V D +V rev . (2-3-1)
那么我们可通过求解泊松方程(2-1)得到覆盖层的静电势及电场分布，并可得到该层边界处的静电势电压V c 及电场E c ，根据边界连续性条件
⎫
⎬, (2-3-2)
εb E c =εw E w 0⎭V c =V w 0
即可得到量子阱左边界处的静电势V w 0及电场E w 0。
根据量子阱区域的初始条件，即可通过求解泊松方程(2-1)得到阱中的静电势及电场分布，并可得到阱区右边界处的静电势V w 及电场E w 值，根据边界连续性条件
⎫
⎬, (2-3-3)
εw E w =εb E b 0⎭V w =V b 0
即可得到缓冲层势垒区左边界处的静电势V b 0及电场E b 0。
根据缓冲层初始条件求解泊松方程(2-1)即可知该区域静电势及电场分布，及缓冲层势垒区右边界L b 处的静电势V b 及电场E b 。根据边界条件，L b 处的静电势V b 与电场E b 应同时为0。
若经上述计算步骤得到的V b 与E b 不同时为0，那么就需要修正初值条件，也就是改变表面电场E surf 的值，重新进行上述计算，如此反复迭代直到V b 与E b 同时为0。迭代过程终止后，即可得到表面势电压为V s 时的电势分布V (z ) ，并可由此得出样品的价带结构。若对不同的表面势电压V s 或反向偏压V rev 重复进行上述计算，就可得到不同反向偏压下的能带分布图。
2.4 C -V 及N C -V -w 特性谱[10]
由上述讨论可知，对于一个给定的反向偏压V rev ，可通过数值迭代求解泊松方程，得到量子阱结构的静电势V (z ) 和电场E (z ) 分布，以及与V rev 相对应的表面
电场E surf ，由高斯定律可知，单位面积内所包含的存贮电荷Q 与样品表面电场成正比，
Q =εE surf , E surf =-
dV (z )
. (2-4-1)
dz surface
对一组不同的反向偏压V rev ，都计算出相应的电荷密度Q ，那么我们就可以得到一条Q V rev 的关系曲线，对该曲线的每一点利用“准静态逼近”计算SQW 结构每单位面积的电容C ，
C =
∆Q ∆V
, (2-4-2)
V rev
式中∆Q 表示反向偏压在指定点V rev 附近变化∆V 时总电荷的变化量。由C V 关系曲线，并采用耗尽近似可以计算表观浓度分布图(N C -V -w ) ，
εεC 3
N C -V (w ) =, w =A 0, (2-4-3)
q εε0(dC dV ) C
式中w 是深度，e 是电介质常数，q 是电子电荷量，A 是肖特基势垒面积。
2.5 模拟结果与讨论
模拟计算过程中采用的基本参数有[14]：量子阱中重空穴有效质量m *H =0.30，轻空穴有效质量m *受主杂质的电离能∆E A =0.01，硅与锗材料中的空穴L =0.044，
*
状态密度有效质量分别为m *电介质常数分别为εb =11.9与pb =0.56与m pw =0.31，
εw =16.0，量子阱两侧异质界面处的价带偏移量∆E v =0.35eV ，肖特基势垒高度
温度T =300K 。图(2-5-1)显示了不同偏压下单量子阱的价带分布图，V D =0.27，
在此模拟中所采用材料的结构参数如表(2-5-1)所示。
表2-5-1 单量子阱材料的结构参数
0-0.2-0.4-0.6
E v -E f (e V )
-0.8-1-1.2-1.4-1.6-1.8-2z(nm)
图2-5-1 单量子阱材料中的价带结构随外加偏压的变化
根据上述结构参数模拟得到Si/Ge/Si单量子阱材料的C-V 曲线如图(2-5-2)所示，将此C-V 曲线与图(1-2)中的C-V 曲线相比较可知，两者基本形状及趋势相一致，且都出现平台这一显著特征，同样地，整个C-V 曲线亦可分成为五个区域。两者的区别在于图(1-2)中五个区域清晰可见，但图(2-5-2)中各区域之间界线非常模糊，且为讨论方便起见，我们将此C-V 曲线分为三个区域。
2.82.62.42.2
-4
单位面积电容(p F )
21.81.61.41.210.8
0.5
1
1.5
22.53
反向偏压Vrev (V)
3.5
4
4.5
5
图2-5-2 模拟计算单量子阱材料的C-V 曲线
在区域Ⅰ的电压范围内，样品表面金属半导体接触形成肖特基势垒，量子阱两侧载流子将向阱内转移，在阱中形成载流子积累，阱外则形成耗尽区。此时载流子浓度分布P (z ) 随外加偏压变化如图(2-5-3a)所示，当外加偏压增大时，覆盖层中的载流子将不断地向量子阱中转移，样品表面的耗尽区将随着偏压的增加而向内部扩展，直至量子阱的边缘。由图(2-5-3a)中c 曲线可知，即当外加偏压
V rev 1.0V ，覆盖层中的载流子己基本上耗尽，在整个耗尽区边缘附近，夹有一层载流子浓度很高的量子阱。
此区域内外加电压的变化主要引起覆盖层中的肖特基势垒的变化，此时的电容也就由该势垒电容所决定，并随电压的增加而减小。当肖特基势垒扩展到量子阱附近时，即与量子阱产生的势垒相重叠时，由于该区域的载流子已转移到阱内，使电容随电压的变化更为迅速，直至肖特基势垒扩展到量子阱的边缘，此时覆盖层中的载流子已经全部转移到量子阱中。若覆盖层厚度L c 较小或者其掺杂浓度肖特基势垒就己经扩展到量子阱边缘或与量N Ab 比较低以至于反向偏压为零时，
子阱相重叠了，那么C ～V 曲线就直接从区域Ⅱ开始。
10
987621
P (z )
5432
10
-400
-300
-200
-100
0z/nm
100
200
300
400
图2-5-3a 模拟计算单量子阱材料在不同偏压下的载流子浓度分布
1816141210
x 10
22
P (z )
86420-400
-300-200-100
0z/nm
[1**********]0
图2-5-3b 模拟计算单量子阱材料在不同偏压下的载流子浓度分布
在区域Ⅱ的电压范围内，外加电压的变化将使量子阱的能带发生变化，并使阱中的载流子浓度也随之变化，此时样品中的载流子浓度分布P (z ) 随外加偏压变化如图(2-5-3b)所示，当反向偏压增大时，耗尽区边缘处载流子耗尽较少，即耗尽区向半导体一侧扩展较小，这与图(2-5-2)的C-V 曲线在一定电压范围内电容变化很少相一致。此时交变电压dv 所引起的电荷变化dQ 主要是来自于阱中的载流子浓度的变化，样品电容就相当于由量子阱与样品表面的金属层所构成的平行板电容器，其电容值的大小主要由覆盖层的厚度所决定，因此在此区域内的电容值变化很小，C-V 曲线几乎呈现一个" 平台" 。
在区域Ⅲ中，随着反向偏压的进一步增加，阱中载流子的浓度不断减少直至全部耗尽，如图(2-5-3c)f、g 曲线所示，此时耗尽区也开始向量子阱的另一侧硅材料缓冲层扩展，直至耗尽区内不再有载流子，如图(2-5-3c)h、i 曲线所示, 此时C-V 特性与体材料一致，即由该区域中的掺杂浓度所决定。
由上述分析可知，图(2-5-2)的C-V 特性中，电容缓变区域是反映位于耗尽区中一薄层量子阱中载流子的纵向耗尽过程，因此用常规的C-V 分布法能观察到被限制于量子阱内的载流子浓度的积累。但阱中载流子并不是横向逐层耗尽，因此在量子阱处由式(2-4-3)得到的C-V 表观载流子浓度分布N C -V -W 与实际的载
流子浓度分布有一定的差别，它并不代表载流子深度的真实分布，但可反应出载流子的积累，亦可从该曲线上还是能获得量子阱结构的有关信息。首先，该曲线的峰值出现是与C ～V 曲线上的平台有关，因在平台范围内，电容随电压变化很小，其斜率dC dV 就很小，而N C -V -W 是与dC dV 成反比，因此C-V 曲线上平台与图(2-5-4)中的曲线峰值相对应，即该峰值与量子阱中的载流子的积累有关，当阱中载流子浓度越高时，平台的电压范围也就越大，平台的坡度也就越小，
dC dV 也就相应减小，这就使N C -V -W 曲线的峰值增大。因此，可以认为该峰值的大小与阱中的载流子浓度的多少有关, 此外N C -V -W 曲线上的峰位与量子阱的位置相接近。
18
1614121021
P (z )
8
6420
-500
-400-300-200
-1000
z/nm
[1**********]0
图2-5-3c 模拟计算单量子阱材料在不同偏压下的载流子浓度分
C-V 曲线上平台存在是量子阱结构C-V 特性的显著特征，它与量子阱结构参数有密切的关系。图(2-5-5a)显示了不同覆盖层厚度的C-V 曲线，从图中我们可以看出，随着覆盖层厚度的减小，C-V 曲线上第一拐点即平台起始点的电容值也增加，并且向低电压方向移动直至其消失。这是因为加反向偏压后阱外载流子将向阱内转移，在量子阱附近形成耗尽区。而样品表面金属与半导体相接触产生的肖特基势垒也形成耗尽区。C-V 曲线的第一个拐点就是对应着两个耗尽区相互重叠后，随着外加偏压的增加，覆盖层中载流子全部耗尽。在此之后，交变电压dv 所引起的电荷变化dQ , 不再由覆盖层中载流子变化而产生，而是由阱中载流子的
变化所决定的。
图2-5-4 由图(2-5-2)的C-V 曲线得到表观载流子浓度曲线N C -V -W
图(2-5-5b)显示了覆盖层厚度为300nm ，改变势垒层中掺杂浓度的C-V 曲线，此时第一拐点的电容数值几乎不随掺杂浓度而变化，但其所对应的电压却随着掺杂浓度的减少而迅速向低电压方向移动。这是因为覆盖层掺杂浓度越低，耗尽该层载流子所需的电压也就越低。
-4
单位面积电容(p F )
0.5
1
1.5
22.53
反向偏压Vrev (V)
3.5
4
4.5
5
图2-5-5a 不同覆盖层厚度的C-V 曲线(其余参数同表2-5-1)
图2-5-4b 不同覆盖层掺杂浓度的C-V 曲线(其余参数同表2-5-1)
图2-5-5 不同量子阱层掺杂浓度的C-V 曲线(其余参数同表2-5-1)
覆盖层的厚度及掺杂浓度不仅影响平台起始点的电容值及所对应的电压，而且还对平台的宽度产生影响。因为在平台的电压范围内，阱中载流子浓度随外加电压的增加而减少，直至全部耗尽。当覆盖层厚度增加时，由于电压的分压作用，使得降在量子阱上的分压相应减少，因此需要更大的外加偏压才能使阱中载流子浓度全部耗尽，这就使平台的宽度增大。同样地，当覆盖层掺杂浓度增加时，覆
盖层中更多的载流子转移到阱内，也就需要更高的外加偏压才能使阱中载流子全部耗尽，平台的宽度也就随之增大。
图(2-5-5)显示了不同量子阱的掺杂浓度也对平台的形状，随着量子阱中的掺杂浓度提高，阱中的载流子浓度也就会相应增加，那就需要更高的外加电压才能耗尽阱中的载流子，因此平台宽度也就随着掺杂浓度的增加而增加。
结束语
本文通过在较大反向偏压范围内泊松方程得到单量子阱C-V 特性的理论解析式，并以此得到完整的C-V 特性曲线。此外，对量子阱采用有限深势阱近似求解薛定谔方程，并基于迭代法数值求解解泊松方程模拟计算了单量子阱结构样品在不同偏压下的载流子浓度分布和C-V 特性，继而讨论不同量子阱结构参数对C-V 特性曲线的影响。目前对单量子阱远不能满足半导体发展的需要，越来越多地将目光聚集在性能更佳的多量子阱结构及超晶格结构材料上，未能将多量子阱结构采用迭代法模拟得到特征明显的C-V 曲线是本次论文的不足之处。
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