勾股定理总复习

勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a+b=c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，即三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（C为斜边最长，c＞a，c＞b ） 注释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形。

（3）理解勾股定理的一些变式： c=a+b，a=c－b， b=c－a 3.图形解释：

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4.勾股数：满足a+b=c的三个正整数成为勾股数.

例如：（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13），（7，24，25）

注释：勾股数的每一项的整数倍的组合也是勾股数，例如（3，4，5）的二倍（6，8，10）同样也为勾股数。

知识点一：已知两边求第三边

1．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边 ①若a＝5，b＝12，则c＝________； ②若c＝41，a＝40，则b＝________；

③若∠A＝45°，a＝1．则b＝________，c＝________ ,a：b：c＝ . 2. 在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________． 3. 已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD= 。

2

2

2

5. 如图∠ B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3，则AB的长是多少?

总结：在应用勾股定理进行计算时，一定要分清哪条是直角边哪条是斜边。

【同步训练一】

1. 在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，b=9，求c；

(3)若∠A=30°，a=1，则c=________,b=_________； (4)若∠A=45°，a=1，则c=________,b=_________

2．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________． 3．已知直角三角形的两边长为6、8，则另一条边长是________________． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3，AC=4，则AB= 。 5．在数轴上作出表示的点．

6．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求 ①AD的长；②ΔABC的面积．

知识点二：运用勾股定理求面积

1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1= 。

2. 如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=

25，8

S22，则S3= 。

3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2= 。

【同步训练二】

1．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形

D

的面积是

cm

2

\

2. 已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=6，则图中阴影部分的面积为？

知识点三：利用列方程求线段的长

1. 若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积为

2. 矩形纸片ABCD中，AD=10cm，AB=4cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE= cm。

3. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及 水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深是多少米？

4．图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

C

E

B

【同步训练三】

1.小强想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂直到地面还多一米，当他把绳子下端拉开5米后，发现绳子下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？

2. 如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

【巩固训练】

1．在△ABC中，∠90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a=6，c=10，则b= ；若a=12，b=5，则c= ；若c=15，b=13，则a= 。 2．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= 。 3．若一个三角形的三边长分别是6、8、a，如果这个三角形是直角三角形，则a2= 。

4．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到书店，则学校与书店的距离是 。

5．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000米处，则飞机飞行的速度为 千米/时。 6.如图1，等腰△ABC的底边BC为16, 底边上的高AD为6, 则腰长AB的长为 .

7.如图2，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为 m.

AC

BC

D （ 图1）

（图2）

8.如图所示,某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再折回向北走到2.5km处往东一拐，仅走1km就找到宝藏。问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？

9．将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和

中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？

知识点四：判别一个三角形是否是直角三角形

1. 下列选项中的三条线段不能构成直角三角 形的是（ ）

A．3，4，5 B．6，8，10 C．6，7，8 D．0．9，1．2，1．5

2. 下列选项中是勾股数的是（ ）

A．30，40，70 B．30，40，50 C．0.3，0.4，0.5 D．3，4，7

3．a、b、c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论： ① 以a2，b2，c2 的长为边的三条线段能组成一个三角形 ② 以a，b，c的长为边的三条线段能组成一个三角形 ③ 以a + b，c + h，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形

111

④ 以a，b，c的长为边的三条线段能组成直角三角形

其中所有正确结论的序号为 ( )

Ａ．①④ Ｂ．①③④ C．②③④ Ｄ．②④

2

4．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 cm

5. 三边长为amn,b2mn,cmn （其中m＞n＞0）的三角形是直角三角形吗？说明理由

6． 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足abc506a8b10c，试判断 △ABC的形状.

【同步训练四】

2

2

2

2222

1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5 （2）5、12、13 （3）8、15、17 （4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有________________ 2. 若三角形的三边的比是1：3：2，则这个三角形是________________ 3. 若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为2cm,则这个三角形是________________

4. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有

5．如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻

艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？

N

知识点五：运用勾股定理解决实际问题

1. 如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米。

2.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

，高8m3. 如图，有一只小鸟在一棵高13m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

4. 如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯

上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯 米

5.如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要多少米？

【同步训练五】

1.如图，隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50m，CB=40m，那么A、B两点间的距离是 米。

2. 如图，一牧童在A处放羊，牧童的家在B处，A、B距河岸的距离AC、BD分别为500m和700m，且C、D两地相距500m，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走

3. 如图所示，一个梯子AB长5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距

离为3m梯子滑动后停在DE位置上，如图，测得DB的长为1m，则梯子顶端A下落了 米。

4. 如图有一个矩形花坛ABCD，有个别人贪图方便，从E点直插过去到C点，已知BE=7米，BC=24米，那么这些人以践踏花草为代价，仅仅是只少走了 米的路程

5．木工师傅做一个人字形屋梁，如图所示，上弦AB=AC=4m，跨度BC为6m，现有一根长为3m的木料打算做中柱AD（AD是△ABC的中线），请你通过计算说明这根木料的长度是否适合做中柱AD．（只考虑长度、不计损耗）

【巩固训练】

1．判断题。

32

⑴如果a＞0，那么a＞0；

⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；

⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

2. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8， 15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）

A.4组 B.3组 C.2组 D.1组

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3. 三角形的三边长分别为 a＋b、2ab、a－b（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ）

A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定

4．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )

A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍 5. 下列各命题的逆命题不成立的是( )

A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等

22

C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a=b

6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

7

25

2024

25

24

2024

25

20

7

24(D)

15

7

(A)

7

(B)

15

7. 如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.

A D

B

8. 如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？

12

9. 如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB. (C)

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