历年全国高中数学联赛试题及答案
历年全国高中数学联赛试题及答案
1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。
2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效, 考试时不 能使用计算器。
参考公式：二次函数 图象的顶点坐标是 。
温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．2的相反数是（ ▲ ）
A ． -2 B ．2 C ．- D ．
2．下列计算正确的是 （ ▲ ）
A ． Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5
3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（ ▲ ）
A ． B ． C ． D．
4．如图是由 个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（ ▲ ）
5．使分式 无意义的 的值是（ ▲ ）
A. B. C. D.
6．如图，已知 , 若 , ，则 等于（ ▲ ）
A ． B ． C ． D ．
7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表：
小区绿化率（%） 20 25 30 32
小区个数 2 4 3 1
则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（ ▲ ）
A ．中位数是25% B ．众数是25% C ．极差是13% D ．平均数是26．2%
8．将一个半径为R ，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r ，则R 与r 的关系正确的是（ ▲ ）
A ．R ＝8r B ．R ＝6r C ．R ＝4r D ．R ＝2r
9．甲、乙两车分别从相距 的 两地同时出发，它们离A 地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲ )
A ．甲车的平均速度为；
B ．乙车行驶 小时到达 地, 稍作停留后返回 地；
C ．经 小时后, 两车在途中相遇；
D ．乙车返回 地的平均速度比去 地的平均速度小。
10．如图， 为等边三角形，点 的坐标为 ，过点 作直线 交 于点 ，交 于 ，点 在反比例函数 ＜ 的图象上，若 和 （即图中两阴影部分）的面积相等，则 值为（ ▲ ）
A ． B ． C ． D ．
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分）
11．分解因式： = ▲ 。
12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个
黄球的概率是 ▲ 。
13．如图13（1）的长方形ABCD 中，E 点在AD 上，且BE=2AE。今分别以BE 、CE 为折线，将A 、D 向BC 的方向折过去，图13（2）为对折后A 、B 、C 、D 、E 五点均在同一平面上的位置图。若图13（2）中，∠AED=15°，则∠BCE 的度数为 ▲ 。
14．如图, 将量角器和含 角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内, 使三角板的 刻度线与量角器的 线在同一直线上, 且 , 过点 作量角器圆弧所在圆的切线, 切点为 , 则点 所对应的量角器上的度数是 ▲ (只要求写出一个角的度数) 。
15．某次的测试均为判断题，如果认为该题的说法正确，
就在答案框的题号下填 “√”，否则填“×”．共10道题，每题10分，满分100分．右图中的A ，B ，C 三张测试卷，A ，B 两张已判了分数，则该判C ▲ 分。
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝4，OC ＝2．点P 从点O 出发，沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P 的运动而运动，连接DP 、DA ．则（1）当t= ▲ 时，△DPA 为直角三角形；
（2）点D 的运动路线总长为 ▲ 。
三、解答题（本大题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17． 计算： ，并求当 时原式的值。
18．如图，在沈家门天吴燧道建设工程中，工程队沿 方向凿山洞建路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，该工程队设计了如下方案：在 上取一点 , 使 , 。要使 三点成一直线，求开挖点 离点 的距离(精确到 )
19．已知线段 及点C ，在线段 上任取一点Q ，
线段CQ 长度的最小值称为点C 到线段 的准距离。
(1)如图1，已知 点的坐标分别为 ，则点 到线段 的准距离是 ▲ 。
(2)如图2，已知点 到线段 : ( ≤ ≤ ) 的准距离为 , 且点 的横坐标为 , 试求点 的纵坐标。
20．2013年伊始，一场持续多日的雾霾严重污染了一些城市的空气，我市自去年年底正式发布城市空气质量指数(AQI指数) 后，到今年2月份的若干天中，环保部门检测了每天的空气质量情况，并统计制作了如下各类空气质量相关天数的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
(1) 环保部门共检测统计了 ▲ 天；
（2）计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数（精确到1°），并将条形图补充完整；
（3）根据以上信息, 请估计我市今年3月份（31天）中，城市空气质量受到不同程度污染的有多少天(精确到整数) ？
21．如图，已知抛物线 与 轴交于点A 。
（1）平移该抛物线使其经过点A 和点B （2,0），求平移后的抛物线解析式；
（2）求该抛物线的对称轴与（1）中平移后的抛物线对称轴之间的距离。
22．普陀某佛茶厂安排30名工人采茶，每人每天采摘鲜茶叶“炒青”20千克或 “毛尖”5千克。已知生产每千克成品茶叶所需鲜茶叶的质量和销售每千克成品茶叶所获利润如下表： 类别 生产1千克成品茶叶所需鲜茶叶的质量（千克） 销售1千克成品茶叶所获利润（元） 炒青 4 40
毛尖 5 120
(1) 设其中有x 人采“炒青”，则：
①每天共采摘鲜茶叶“炒青” ▲ 千克， “毛尖” ▲ 千克(用含x 的代数式表示) 。 ②若某天该佛茶厂共生产出成品茶叶102千克，求x 的值。
(2)根据市场销售行情，该佛茶厂的生产能力是每天生产成品茶叶不少于100千克且不超过110千克，如果每天生产的茶叶全部销售，如何分配采茶工人能使获利最大？最大利润是多少？
23．已知点A,B,C 是半径为2的圆0上的三个点，其中点A 是劣弧BC 上的一动点（不与点B,C 重合），连接AB 、AC ，点D 、E 分别在弦AB ，AC 上，连接OD 、OE 。
（1）当点A 为劣弧BC 的中点时，且满足AD=CE（如图①），
①求证：OD=OE;
②当BC= 时，求∠DOE 的度数；（如图②），
（2）当BC= ，且OD ⊥AB,OE ⊥AC 时（如图③），设 △DOE 的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并求出自变量 的取值范围。
24．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=Rt∠，BC=3，AC=4，D 在AC 上，CD=1，P 是边AB 上的一动点，设BP=m .
（1）如图甲，当m 为何值时，△ADP 与△ABC 相似；
（2）如图乙，延长DP 至点E ，使EP=DP，连结AE,BE 。
①四边形AEBC 的面积S 会随m 的变化而变化吗？若不变，求出S 的值；若变化， 求出S 与m 的函数关系式；
②作点E 关于直线AB 的对称点E ˊ，连结BD ，
当∠DBA=2∠DEE ˊ时，求m 的值。