不等式3:线性规划 - 答案

不等式3:线性规划

考点：线性规划

1．二元一次不等式表示的平面区域

一般地，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线l 上的点(x ，y ) 的坐标满足ax ＋by ＋c ＝0；

②直线l 一侧的平面区域内的点(x ，y ) 的坐标满足ax ＋by ＋c ＞0； ③直线l 另一侧的平面区域内的点(x ，y ) 的坐标满足ax ＋by ＋c ＜0.

所以，只需在直线l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x 0，y 0) ，从ax 0＋by 0＋c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．

2

考点：二元一次不等式(组) 表示的平面区域 例1.

如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( ) ．

⎧⎧⎪

x ＋y －1≥0⎪x ＋y －1≤0A. ⎨ B.⎨ ⎪x －2y ＋2≥0⎪⎩⎩x －2y ＋2≤0⎧x ＋y －1≥0⎧x ＋y －1≤0⎪⎪⎨C. D.⎨ ⎪⎪⎩x －2y ＋2≤0⎩x －2y ＋2≥0

解析 两条直线方程为：x ＋y －1＝0，x －2y ＋2＝0. 将原点(0,0)代入x ＋y －1得－1＜0， 代入x －2y ＋2得2＞0，

即点(0,0)在x －2y ＋2≥0的内部， 在x ＋y －1≤0的外部，

⎧⎪x ＋y －1≥0，

故所求二元一次不等式组为⎨

⎪x －2y ＋2≥0.⎩

答案 A

例2.

若点(1,3)和(－4，－2) 在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是( ) A ．m 10 B ．m ＝－5或m ＝10 C ．－5

【解析】 由已知两点在直线的两侧， 则(2＋3＋m )(－8－2＋m )

即(m ＋5)(m －10)

⎧y ≥0，

直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎨x －y ≥－2，

⎩4x ＋3y ≤20

( ) ．

A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个

x ≥0

表示的平面区域的公共点有

[审题视点] 准确画出不等式组所表示的平面区域，比较直线2x ＋y －10＝0与4x ＋3y －20＝0的斜率即可判断．

解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分) ． 直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，

4

且斜率k ＝－2＜k AB ＝－3，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．

答案 B

考点：线性规划求最值或面积

基本方法：

b y －－a

ay ＋b a

1. 求非线性目标函数的最值，应通过转化、寻找模型求解．如y d ，从而cx ＋d c

x －c d b

转换为动点(x ，y ) 与定点(－c a 的斜率；y 例1.

x ≥1⎧⎪

已知x ，y 满足约束条件⎨x －3y ≤－4.

⎪⎩3x ＋5y ≤30

(1)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值；

(2)若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，求a 的值； y ＋5

(3)求z ＝的取值范围．

x ＋5

【解析】 (1)作出不等式组表示的可行域如图：

x －a ＋y －b 转化为距离等．

作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取得最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取最大值，

⎧⎧⎪x ＝1⎪x －3y ＝－45⎨解得A (1，，解⎨得B (5,3)．

3⎪x －3y ＝－4⎪3x ＋5y ＝30⎩⎩

511

所以z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋33

(2)一般情况下，当z 取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z ＝ax ＋y 平行于直线3x ＋5y ＝30时，线段BC 上的任意一点均使z 取得最大值，此时满足条件的点，即最优解有无数个．

333

又k BC ，所以－a ＝－，所以a ＝.

555(3)z ＝

y ＋5y －(－5)＝可看作区域内的点(x ，y ) 与点D (－5，－5) 连线的斜率． x ＋5x －(－5)

由图可知，k BD ≤z ≤k CD ，

27553＋5426

因为k BD ＝，k CD ＝，

5＋551＋515y ＋5426

所以z ＝的取值范围是[，．

515x ＋5

例2.

⎧x －4y ＋3≤0，

变量x 、y 满足⎨3x ＋5y －25≤0，

⎩x ≥1.

设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．

[审题视点] 利用目标函数所表示的几何意义求解．

解

⎧x －4y ＋3≤0，

由约束条件⎨3x ＋5y －25≤0，

⎩x ≥1.

作出(x ，y ) 的可行域如图所示． ⎧x ＝1，22⎛由⎨解得A 1，5.

⎝⎭⎩3x ＋5y －25＝0，

⎧x ＝1，

由⎨解得C (1,1)． ⎩x －4y ＋3＝0，

⎧x －4y ＋3＝0，由⎨解得B (5,2)． 3x ＋5y －25＝0，⎩

z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，

d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. ∴2≤z ≤29.

求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，

再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．

例3.

设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为

( ) ．

A ．1，－1 C ．1，－2

B ．2，－2 D ．2，－1

解析 法一 特殊值验证：当y ＝1，x ＝0时，x ＋2y ＝2，排除A ，C ；当y ＝－1，x ＝0时，x ＋2y ＝－2，排除D ，故选B.

法二 直接求解：如图，先画出不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域，易知当直线x ＋2y ＝u 经过点B ，D 时分别对应u 的最大值和最小值，所以u max ＝2，u min ＝－2. 答案 B

例4.

⎧x ＋2y －3≤0，

已知变量x ，y 满足条件⎨x ＋3y －3≥0，

⎩y －1≤0，

1⎛

－∞，－A. 2⎝⎭1⎛

C. 0，2 ⎝⎭

若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0) 仅在

点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是( ) ．

⎛1⎫

B. －20⎪ ⎝⎭⎛1⎫D. 2⎪ ⎝⎭

解析 画出x 、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即11

－a ＜－2，∴a ＞2. 答案

D

例5.

⎧0≤x ≤2，

已知关于x ，y 的不等式组⎨x ＋y －2≥0，

⎩kx －y ＋2≥0

的值为( ) ． A ．1 C ．1或－3

所表示的平面区域的面积为4，则k

B ．－3 D ．0

解析 其中平面区域kx －y ＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx －y ＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．

平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A (2,4)，代入直线方程，得k ＝1. 答案 A