一元函数连续性.一致连续性及其运算的封闭性
摘要
阐述一元函数在某点连续的定义，在区间连续的定义，一致连续性的定义及其运算的封闭性，更加深刻地理解这些重要概念后就能更容易的解决一元函数连续性，一致连续性及其封闭性的问题.
关键词：一元函数；连续；一致连续；封闭性
Abstract
Described the functions of one variable in a continuous definition, the definition of continuous in the interval, the definition of uniform continuity of its operations closed, and a deeper understanding of these important concepts can more easily function continuity, uniform continuity ofand closure issues. Key words: functions of one variable; continuous; uniformly continuous; closed
目 录
摘要…………………………………………….. ……... ………………………...(III) Abstract …………………………. …………. ………. ……………………. ……(III) 目录……………………………………………………………………………....(III) 一、一元函数的连续性 ... .……………………………... ………………………. .(1)
1.1函数在点的连续性……………………………………. ………………….(1) 1.2函数在区间的连续性……… …………. …………………………………..(1) 二、一元函数的一致连续性………………………... ………………………………(3)
2.1一元函数在有限区间上的一致连续…………………………………………(3) 2.2一元函数在无限区间上的一致连续…………………………………………(5) 2.3一元函数在任意区间上的一致连续. …………………………………………(6) 三、一元函数的运算封闭性 ……………………... ………………………………...(8)
3.1连续函数的运算性质……………………………………………………….(8) 3.2复合函数函数的运算性质…………………………………………………..(8) 3.3一致连续函数的运算性质…………………………………………………..(8) 四、总结 ………………………... ……….. ………………….. …………………(11) 参考文献 ……. …………………………………………………………………..(12)
一、一元函数的连续性
1.1函数在一点的连续性
定义1 函数f (x )在x 0点及其某邻域有定义，若lim f (x )=f (x 0)，则称函数f (x )在点x 0连
x →x 0
续.
用ε-δ语言描述为：对∀ε>0，∃δ>0，当x -x 0
例1 函数f (x )=2x +1 在点x =2连续. 解 因为lim f (x ) =lim (2x +1)=5=f (2).
x →2
x →2
例2 函数
1⎧
x sin , (x ≠0) ⎪
f (x ) =⎨x
⎪0, (x =0) ⎩
，证明函数在x=0点连续.
证 因为由两边夹法则容易得
lim f (x ) =lim x sin
x →0
x →0
1x
=0=f (0)所以函数在x=0点连续.
例3 （1）f (x ) =
x -4x -2
2
，点x =2；
（2）f (x ) =⎨
⎧x -1, 0
，点x =1.
解 （1）因为f (x ) 在点x =2处无定义，所以f (x ) 在点x =2处不连续（2）因为当0
x →1
-
x →1
-
f (x ) =2-x ，所以lim +f (x ) =lim +(2-x ) =1
x →1
x →1
所以f (x ) lim f (x ) ≠lim f (x ) ，故lim f (x ) 不存在，故f (x ) 在点x =1处不连续x →1
-
x →1
+
x →1
1.2 函数在区间的连续性
1. 定义 若函数f (x )在区间I 上的每一点都连续，则称 f (x )在区间I 上连续．特别地，若
I
是闭区间[a , b ]，f (x )在闭区间[a , b ]上连续是指在开区间(a , b )内连续，在a 点右连续，在点左连续．
b
⎧e x , (x
例1 设函数f (x ) =⎨, 应该怎样选择a ，使f (x ) 成为在(-∞, +∞) 内的连续函
⎩a +x , (x ≥0)
数？
分析 当x0时, f (x ) =a +x 为多项式函数，连续．只要说明在x =0点连续即可． 解 由连续函数的定义
f (x ) 在x =x 0点连续的⇔lim f (x ) =lim f (x ) =f (x )
x →-∞
x →+∞
因为lim f (x ) =e 0=1, lim f (x ) =lim (a +x ) =a ，
x →0
-
x →0
+
x →0
+
所以a =1．
注 函数在区间上连续的概念指的是函数在区间上每一点连续． 2. 在有界闭区间[a , b ]上连续的函数的性质（整体性质）
定理1 [1](最大、最小值定理) 若函数f 在闭区间[a , b ]上连续，则f 在[a , b ]上有最大值与最小值． 推论 (有界性定理) 若函数f 在闭区间[a , b ]上连续，则f 在[a , b ]上有界．
注意 1. 若区间是开区间, 定理不一定成立; 例 y =x , x 无最大值和最小值. ∈(0, 1)
⎧-x +1, 0≤x
⎪
1, x =1无最大值和最小值. 2. 若区间内有间断点, 定理不一定成立. 例 f (x ) =⎨
⎪-x +3, 1
例2 f (x ) =1+sin x 在[0，2π]上有f (x ) ≤1+sin
π
2
=2=f (
π
2
) 和f (x ) ≥1+sin
3π2
=0= f (
3π2
) ，所
以２和０分别是１+sin x 在[0,2π]上的最大值和最小值．
例3 f (x ) =tan x 在开区间(-
ππ
2, 2
) 上连续，显然无界．
定理2[1](介值性定理) 设函数f 在闭区间[a , b ]上连续，且f (a )≠f (b )．若μ为介于f (a )与f (b )之
间的任何实数(f (a )μ>f (b )) ，则至少存在一点x 0∈(a , b )，使得f (x 0)=μ.
推论(零点定理) 若函数f 在闭区间[a , b ]上连续，且f (a )与f (b )异号(即f (a )f (b )
在一点x 0∈(a , b )，使得f (x 0)=0，即方程f (x )=0在(a , b )内至少有一个根．
例4 证明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0,1)内至少有一根.
证 令f (x ) =x 3-4x +1，则f (x ) 在[0,1]上连续，又f (0)=1>0, f (1)=-2
由零点定理, ∃ξ∈(a , b ) ，使f (ξ) =0，即ξ-4ξ+1=0
∴方程x -4x +1=0在(0,1)内至少有一根ξ.
3
2
3
2
例5 设函数f (x )在区间[a , b ]上连续，且f (a )b , 证明∃ξ∈ (a , b ), 使得f (ξ) =ξ. 证 令F (x )= f (x )-x ，则F (x )在[a , b ]上连续，而F (a )=f (a ) -a 0,
由零点定理，则∃ξ∈(a , b ), 使得F (ξ)=f (ξ) -ξ=0. 即f (ξ) =ξ.
二、一元函数的一致连续性
2.1 一元函数在有限区间上的一致连续性
定义1 设函数f (x ) 是定义在区间I 上的函数. 若对∀ε>0, ∃δ=δ(ε) >0使得对∀x ', x '' ∈I , 只要x ' -x ''
定理1（Cantor 定理）函数f (x ) 在[a , b ]上一致连续的充分必要条件是f (x ) 在[a , b ]上连续. 证（应用有限覆盖定理） 由f 在[a , b ]上的连续性，任给ε>0，对每一点x ∈[a , b ]都存在
δx >0，使得当x ' ∈U (x ; δx ) 时有
|f (x ') -f (x ) |
ε
2
. （1）
考虑开区间集合
H ={U (x ,
δx
2
) |x ∈[a , b ]}，
显然H 是[a , b ]的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集
H
*
={U (x i ,
δi
2
) |i =1, 2, ⋅⋅⋅, k }
覆盖了[a , b ]. 记
δ=m in{
1≤i ≤k
δi
2
>0.
x ' 必属于H *中某开区间，对任何x ', x '' ∈[a , b ]，设x ' ∈U (x i ; |x ' -x '' |
δi
2
)
|i
δi
2
.
此时有
|x '' -x i |≤|x '' -x ' |+|x ' -x i |
δi
2
≤
δi
2
+
δi
2
=δi ，
故由（1）式同时有
|f (x ') -f (x i ) |
ε
2
和 |f (x '') -f (x i ) |
ε
2
.
由此得|f (x ' )-f (x '' )|
定理2 函数f (x ) 在(a , b )内一致连续⇔f (x ) 在(a , b )连续，且lim f (x ) 与lim f (x ) 都存
+-
x →a
x →b
在.
证 ⇒ 若f (x ) 在(a , b )内一致连续，则对∀ε>0, ∃δ>0, ∀x 1, x 2∈(a , b )，当x 1-x 2
f (x 1) -f (x 2)
于是当x 1, x 2∈(a , a +δ) 时，有
f (x 1) -f (x 2)
根据柯西收敛准则，极限lim f (x ) 存在，同理可证极限lim f (x ) 也存在，从而f (x ) 在(a , b )+-
x →a
x →b
连续，lim f (x ) 与lim f (x ) 都存在.
x →a
+
x →b
-
⇐
若f (x ) 在(a , b )连续，且lim f (x ) 和lim f (x ) 都存在，则
+-
x →a
x →b
令
=a , ⎧f (a +0) , x
⎪
F (x ) =⎨f (x ) , ∈x (a ), b ,
⎪
=b , ⎩f (b -0) , x
（4）
于是有F (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，由Contor 定理，F (x ) 在[a , b ]上一致连续，从而f (x ) 在
(a , b )内一致连续.
根据定理2容易得以下推论：
推论1 函数f (x ) 在(a , b ]内一致连续⇔f (x ) 在(a , b ]连续且lim +f (x ) 存在.
x →a
推论2 函数f (x ) 在[a , b )内一致连续⇔f (x ) 在[a , b )连续且lim -f (x ) 存在.
x →b
注 当(a , b )是无限区间时，条件是充分不必要的. 例 f (x ) =x ，g (x ) =sin x 在(-∞, +∞)上一致连续，但是lim f (x ) =+∞，lim g (x ) 不存在.
x →+∞
x →+∞
2.2 一元函数在无限区间上的一致连续性
定理3 f (x ) 在(-∞, +∞)内一致连续的充分条件是f (x ) 在(-∞, +∞)内连续，且
lim f (x ) 和lim f (x ) 都存在.
x →-∞
x →+∞
证（i ） 先证f (x ) 在[a , +∞)上一致连续.
令lim f (x ) =A ，由柯西收敛准则有对∀ε>0, ∃M >0使对∀x ', x ''>M ，有
x →+∞
f (x ') -f ('x 0, ∃δ1>0，使∀x ', x ''∈[a , M +1]，且x '-x ''
f (x ') -f (x '')
对上述ε>0，取δ=min {δ1,1}，则∀x ', x ''∈[a , +∞)，且x '-x ''
f (x ') -f (x '')
所以函数f (x ) 在[a , +∞)内一致连续.
（ii ） 同理可证函数f (x ) 在(-∞, a ]内一致连续. 由（i ）, （ii ）可得f (x ) 在(-∞, +∞)内一致连续.
注 若将[a , +∞)分为[a , M ]和[M , +∞)，则当x '与x ''分别在两个区间时，即使有
x '-x ''
由定理3还容易得出以下推论：
推论3 函数f (x ) 在[a , +∞)内一致连续的充分条件是f (x ) 在[a , +∞)内连续，且lim f (x )
x →+∞
存在.
推论4 函数f (x ) 在(a , +∞)内一致连续的充分条件是f (x ) 在(a , +∞)内连续，且lim +f (x )
x →a
与lim f (x ) 都存在.
x →+∞
推论5 函数f (x ) 在(-∞, b ]内一致连续的充分条件是f (x ) 在(-∞, b ]内连续，且lim f (x )
x →-∞
存在.
推论6 函数f (x ) 在(-∞, b )内一致连续的充分条件是f (x ) 在(-∞, b )内连续，且lim -f (x ) 与
x →b
lim f (x ) 都存在.
x →-∞
例1 判定下列函数在指定区间上是否一致连续. （1）f (x ) =x 2, x ∈(0,1)；（2）f (x ) =
11+x +x
2
, x ∈(0, +∞)；（3）f (x ) =
sin x x
⎛π⎫, x ∈ 0, ⎪.
⎝2⎭
解 （1）易见f (x ) =x 2在(0,1)内连续，且lim x 2=0, lim x 2=1，
x →0
+
x →1
-
即lim f (x ) 与lim f (x ) 都存在，从而f (x ) 在(0,1)内一致连续x →0
+x →1
-
.
（2）易见f (x ) =
11+x +x
2
在(0, +∞)内连续，且
lim f (x ) =lim
1
x →0
+
x →0
+
1+x +x
2
=1， lim f (x ) =lim
1
1+x +x
2
=0
，
x →-∞
x →-∞
因此f (x ) 在(0, +∞)内一致连续. （3）易证f (x ) =
sin x πx 在 ⎛
0,
⎫
⎝
2⎪内连续，且 ⎭
lim f (x ) =lim
sin x x →0
+
x
=1，
x →0
+
lim f (x ) =lim
sin x -
=
2
x →
π
-
π
x
π
，2
x →
2
所以f (x ) 在 ⎛
0,
π⎫
⎝
2⎪内一致连续. ⎭
注 由例1可见，上述判别法在判定某些函数f (x ) 非一致连续时十分简便.
2.3 一元函数在任意区间上的一致连续性
定理4 函数f (x ) 在区间I 上一致连续⇔∀x n , y n ∈I (n =1, 2,...) ，只要
lim n →∞
(x n -y n )=0， 就有 l i m n →∞
[f x (n -) f y n (]=) . 0
证 ⇒ 由f (x ) 在I 上一致连续知，
∀ε>0
，∃δ>0，使得∀x ', x ''∈I ，只要x '-x ''
8）
9） （ （
f (x ') -f ('x
又∀x n , y n ∈I ，lim (x n -y n )=0知，对上述ε>0存在N ∈N *，∀n >N , 有
n →∞
x n -y n
从而对∀n >N 有
f (x n ) -f y (n
n -) f y n (]=) . 0
n ⇐
若不然，则必存在ε0>0, x 'n
, x n ''∈I ，虽然 x '-x 1n
n ''
， 但是 f (x 'n ) -f x (''n ≥) ε0. 显然 l i m (x '-x n →∞
n
n '')=，0 但是 l i m '-) f x ∞
[f x (n →n
n ''(]≠) . 0 推出矛盾，故f (x ) 在I 一致连续.
注 此定理主要用来判定函数非一致连续. 例2 证明函数f (x ) =e x 在R 上非一致连续. 证 ∃ε1
1
0=
，对∀δ>0 ⎛
∃n >
⎫
2
⎝
e δ
-1⎪，取x '=ln ⎭
(n +1), x ''=ln n ，虽然有 x '-x ''=ln (n +1)-ln n =ln ⎛1 1+⎫n ⎪
=δ
，
⎝
⎭但是 f (x ') -f ('x ) =(n +)1-n =1
2
ε0=
所以f (x ) =e x 在R 上非一致连续.
13）
14） 15） 16） （ （ （（
三、一元函数的运算封闭性
3.1 连续函数的运算法则
定理1 若函数f (x ), g (x ) 在点x 0处连续, 则f (x ) ±g (x ), f (x ) ⋅g (x ),
x 0处也连续.
f (x ) g (x )
(g (x 0) ≠0) 在点
例1 sin x , cos x 在(-∞, +∞) 内连续, 故
tan x =
sin x cos x
, cot x =
cos x sin x
, sec x =
1cos x
, csc x =
1sin x
在其定义域内连续.
3.2 复合函数的连续性
定理2 连续函数的复合函数是连续的. 证 设函数u =φ(x ) 在x 0连续，且φ(x 0) =u 0.
函数y =f (u ) 在点u 0连续，即lim f (u ) =f (u 0) .
u →u 0
于是lim f [φ(x )]=lim f (u ) =f (u 0) =f [φ(x 0)]
x →x 0
u →u 0
故复合函数f [φ(x )]在点x 0连续.
例2 u =
1x
在(-∞, 0) ⋃(0,+∞) 内连续，y =sin u 在(-∞, +∞) 内连续，∴y =sin
1x
在
(-∞, 0) ⋃(0,+∞) 内连续.
3.3 一致连续函数的运算性质
定理3 当函数f (x ), g (x ) 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间) 上一致连续时, 有f (x )+g (x ) 在I 上也一致连续.
证 由f (x ) 在I 上一致连续, 可知∀ε>0, ∃δ1>0, 当x '-x ''
g (x ') -g (x '')
ε
2
, 又
ε
2
, 取δ=min {δ1, δ2}则当x '-x ''
ε
2+
f (x ') +g (x ') -(f (x '') +g (x '') )≤f (x ') -f (x '') +g (x ') -g (x '') =I
ε
2
=ε
. 从而f (x ) +g (x ) 在
上一致连续.
定理4 当函数f (x ), g (x ) 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间) 上一致连续时, 有f (x ) -g (x ) 在I 上也一致连续.
说明 函数一致连续性的减法与加法的证明方法完全相同.
定理5 若f (x ), g (x ) 在有限区间I 上一致连续, 则f (x ) ⋅g (x ) 在有限区间I 上也一致连续性.
证 由f (x ), g (x ) 在有限区间I 上是一致连续的, 则f (x ), g (x ) 在有限区间I 上都是有界的. 从而存在M >0, L >0使得f (x ) ≤L , g (x ) ≤M , x ∈I , 且有∀ε>0, ∃δ1, 当
x ', x ''∈I , x '-x ''
ε
2M
, 对上述ε, 存在δ2, 当x ', x ''∈I , x '-x ''
有g (x ') -g (x '')
ε
2L
, 取δ=min {δ1, δ2}, 于是当x ', x ''∈I , x '-x ''
f (x ') ⋅g (x ') -f (x '') ⋅g (x '') =f (x ') ⋅g (x ') -f (x '') ⋅g (x ') +f (x '') ⋅g (x ') -f (x '') ⋅g (x '')
ε
2M
⋅M +
ε
2L
⋅L =ε
所以f (x ) ⋅g (x ) 在有限区间I 上是一致连续的.
注 当I 为无限区间, 不能推出f (x ) ⋅g (x ) 在I 上是一致连续的.
例3 取f (x ) =x , g (x ) =x , I =(-∞, +∞), 则f (x ) ⋅g (x ) 在I 上不是一致连续的 定理6 若f (x ), g (x ) 在有限区间I 上一致连续时, f (x ) 也一致连续.
证 由g (x ) 在闭区间I 上是一致连续的且g (x ) 在I 上不为零, 则g (x ) 在I 上有界，即存在
M 1>0
g (x )
（g (x ) 在I 上不为零）在I 上
使g (x ) >M 1, 又有∀ε>0, ∃δ>0，当x ', x ''∈I , 且x '-x ''
1g (x ')
-
1g (x '')
=
g (x ') -g (x '') g (x ') ⋅g (x '')
g (x ') -g (x '')
M 1
g (x )
2
2
g (x ') -g (x '')
1g (x )
在I
上是一致连续的, 进而由函数一致连续性的乘法性质知f (x ) 连续的.
注 当I 不为有限闭区间时，不能推出f (x )
g (x )
在有限闭区间I 上是一致
在I 上是一致连续的.
例4 取f (x ) =1, g (x ) =x , X 1=(0,1), X 2=(0, +∞), 续的.
f (x ) g (x )
=
1x
,在区间X 1, X 2上不是一致连
总结
通过一元函数的连续性，一致连续性的定义及基本性质，我们可以更好的掌握一元函数的连续性与一致连续性，又由连续函数的运算法则，复合函数的连续性及一直连续函数的运算法则，我们更深刻地理解一元函数的运算封闭性.
参考文献
[1]华东师范大学数学系，数学分析第（三版）上下册. 高等教育出版社，2001 [2]裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M].高等教育出版社,2010.3 [3]钱吉林. 数学分析题解精粹[M].崇文书局,2010.4 [4]裘兆泰. 数学分析学习指导[M].科学出版社，2004
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[6]余桂东. 一致连续的条件[J].安庆师范学院学报(自然科学版),2004