七年级数学上第一二章知识点(用)
第一章 有理数
1.1 正数与负数
①正数:大于0的数叫正数。(根据需要,有时在正数前面也加上“+”)
②负数:在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。与正数具有相反意义。 ③0既不是正数也不是负数。0是正数和负数的分界,是唯一的中性数。
注意:搞清相反意义的量:南北;东西;上下;左右;上升下降;高低;增长减少等
1.2 有理数
1、有理数(1)整数:正整数、0、负整数统称整数;(2)分数; 正分数和负分数统称分数;
(3)有理数:整数和分数统称有理数。
有理数分类:两种分类方法:
正整数 正整数
零 正有理数a 、 有理数 负整数 b 、有理数 正分数
正分数 负整数
分数 负分数 负分数
2、数轴(1)定义 :通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫数轴;
(2)数轴三要素:原点、正方向、单位长度;
(3)原点:在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点;
(4)数轴上的点和有理数的关系:所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点,不都是表示有理数。
(5)数轴上两个点表示的数,右边的数的总比左边的数大;正数都大于0,负数都小于0,正数总是大于负数。
3、相反数: (1) 几何意义:在数轴上分别位于原点的两旁,到原点的距离相等的两个点所表示的数,叫做
互为相反数;
(2) 代数意义:符号不同但绝对值相等的两个数叫做互为相反数。
(3)0的相反数是0。 (例:2的相反数是-2;0的相反数是0)
4、绝对值:(1)数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|。从几何意义上讲,数的绝对值
是两点间的距离。
(2) 一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。两个负数,绝对值大的反而小。(当a 是正数时,a =a ;当a 是负数时,a =-a ;当a =0时,a =0)
(3)任何一个数的绝对值均大于或等于0(即非负数).
5、有理数大小的比较:(1)有理数大小比较的基本法则:正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数。
(2)数轴上有理数大小的比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的大。
(3)用绝对值进行有理数大小的比较:两个正数,绝对值大的正数大;两个负数,绝对值大的负数反而小。
1.3 有理数的加减法
①有理数加法法则:
1、同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
2、绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为
相反数的两个数相加得0。
3、一个数同0相加,仍得这个数。
4、加法的交换律和结合律:加法交换律:a +b =b +a
加法结合律:(a +b ) +c =a +(b +c )
②有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数。
③有理数加减混合运算:根据有理数减法的法则,一切加法和减法的运算,都可以统一成加法运算,然后省略括号和加号,并运用加法法则、加法运算律进行计算。
1.4 有理数的乘除法
①有理数乘法法则:A. 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
B. 任何数同0相乘,都得0;
C. 乘积是1的两个数互为倒数。倒数的性质:如果a 、b互为倒数,那么a×b=1 。
D. 乘法交换律/结合律/分配律:乘法交换律:ab =ba
乘法结合律:(ab ) c =a (bc )
乘法分配律:(a +b ) ⨯c =ac +bc
E. 多个不等于0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数
个时,积为负,当负因数的个数为偶数个时,积为正,并把绝对值相乘,作为结果的绝
对值。多个有理数相乘,如果其中一个因数为0,那么积为0。
②有理数除法法则:A. 除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数;
B. 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;
C.0除以任何一个不等于0的数,都得0。
1.5 有理数的乘方
1、求n 个相同因数的积的运算,叫乘方,乘方的结果叫幂。
在a 的n 次方中,a 叫做底数,n 叫做指数。
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数, 0的任何次幂都是0。
互为相反数的两个数的偶数次幂相等,奇数次幂仍互为相反数。
特别注意:当底数是分数或负数时,先用括号将分数或负数括上,再写上指数;
一个数可以看作是它本身的1次方。
任何一个数的偶数次幂都是非负数,即大于或等于0,如:对于任何一个数a ,都有a 2≥0 。
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注意:①加法法则也可以推广到两个以上有理数相加的情况;
②小学学过的运算律同样适用,在运算时要仔细观察题中各数之间的关系,适当运用运算律,改变运算顺序,尽量简化运算;
③运算过程中,一般先把带分数化成假分数、小数化成分数,再进行乘方、乘除运算。
3、把一个大于10的数表示成a×10的n 次方的形式,使用的就是科学计数法;(a×10n )
注意:a 的范围为1≤a
负数用科学记数法表示时,只需在a×10n 前加上一个“-”号即可。
4、和实际完全符合的数叫准确数,和实际接近的数叫近似数。一个近似数,从它的左边第一个非0数字起,到
末位数字止,所有数字都是这个数的有效数字。四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始,而不是从数字的末尾往前四舍五入。比如:3.5449精确到0.01就是3.54而不是3.55.
第二章 整式的加减
2.1 整式
1、单项式:由数字和字母乘积组成的式子。
单项式指的是数或字母的积的代数式.单独一个数或一个字母也是单项式.因此,判断代数式是否是单项式,关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系,即分母中不含有字母,若式子中含有加、减运算关系,其也不是单项式.
注意:①π是一个数而不是字母;②当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写。如-x 的系数是-1, a 2的系数是1。
2、单项式的系数:是指单项式中的数字因数;
3、单项数的次数:是指单项式中所有字母的指数的和.
4、多项式:几个单项式的和。
判断代数式是否是多项式,关键要看代数式中的每一项是否是单项式.每个单项式称项,不含字母的项叫做常数项,多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数,这里a b 是次数最高项,其次数是6;
把一个多项式按多项式中某个字母的指数从高到低(或从低到高) 的顺序排列,叫把这个多项式按某个字母降幂(或升幂) 排列。
5、它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。
6、单项式和多项式统称为整式。 33
2.2整式的加减
1、同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项。与字母前面的系数(≠0)无关。
2、同类项必须同时满足两个条件:(1)所含字母相同;(2)相同字母的次数相同,二者缺一不可. 注意:①所有的常数项都是同类项;②同类项与系数、字母的排列顺序无关。
3、合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律,结合律和分配律。
4、合并同类项法则:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变; 字母的升降幂排列:按某个字母的指数从小(大)到大(小)的顺序排列。
5、去括号法则:去括号,看符号:是正号,不变号;是负号,全变号。
注意:①去括号时,可以将括号外的因数(连同符号一起) 与括号内的各项相乘,按同号得正、异号得负的原则进行;②添括号时,可以将括号内的各项与括号外的因数(连同符号一起) 相除,按同号得正、异号得负的原则进行;③添括号与去括号的过程正好相反,添括号后可以用去括号进行验证是否正确。
6、整式加减的一般步骤:
一去、二找、三合
(1) 如果遇到括号按去括号法则先去括号. (2)找出同类项. (3)合并同类项
2.3整式的乘法法则 :
单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式 ; 单项式和多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每项,再把所得的积相加。
多项式和多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
2.4整式的除法法则
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。