平面向量知识点总结
平面向量考题分类
题型一:平面向量的基本概念 1. 下列说法中错误的是( ) A.零向量没有方向
B.零向量与任何向量平行
C.零向量的长度为零 D.零向量的方向是任意的 2.下列命题正确的是( )
A、向量的长度与向量的长度相等。
B、两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同。
C、若非零向量与CD是共线向量,则A、B、C、D四点共线。 D、若a平行b且b平行c,则a平行c。
3.给出下面四个命题:
①对于任意向量a、b,都有|a·b|≥a·b成立;
22
②对于任意向量a、b,若a=b,则a=b或a= -b;
③对于任意向量a、b、c,都有a·(b·c)=(b·c)·a成立; ④对于任意向量a、b、c,都有a·(b·c)=(b·a)·c成立.
其中错误的命题共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型二:有关平行四边形
ABa2b,BC4ab,CD5a3b,其中a,b不共线,则4.在四边形ABCD中,
四边形ABCD为 ( )
A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 5.已知D点与ABC三点构成平行四边形,A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求D点坐标.
题型三:坐标运算及其向量的加减法
6. 在平面上,已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论: ①ABCABC ②OAOCOB ③2 其中正确结论的个数是 ..
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
7. ++=0为“A、B、C是三角形三个顶点”的. 8.设点A(2,2),B(5,4),O为原点,点P满足=+t,(t为实数); (1)当点P在x轴上时,求实数t的值;
(2)四边形OABP能否是平行四边形?若是,求实数t的值 ;若否,说明理由,
题型四:向量的模
9.已知向量a
m,1,若,
=2,则 m ( )
A.1
C. 1
D.10. 已知非零向量a、b,则|a+b|= |a|+|b| 的充分必要条件是( ) A、a与b同向 B、a=b C、a与b平行 D、 a与b反向 11. 已知||=5,||=8,则||的取值范围为 ( )
A、(3,8) B、[3,8] C、 (3,13) D、[3,13]
12.设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值 ( ) A.32 B.9 C.1892 D.322
题型五:向量的夹角 数量积
13.已知a=1,b=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为:_____。 14.向量a=(1,1),且a与(a+2b)的方向相同,求a·b的取值范围。
2
2
15.已知向量a,b,c满足|a|1,|b|2,cab,ca,则a与b的夹角等于 ( )
A.1200 B 600 C 300 D 90o
16.已知向量a、b满足
==1
,3=3,则
3a =
17.已知两向量a(1,,13),,b(1,1),求与b所成角的大小,
18.若|a|1,|b|
3,|ab|2,则|ab|_____f(x)axbabx
19.设a,b是非零向量,若函数f(x)axbabx的图象是一条直线,则必有 ( ) A.a⊥b
B.a∥b
C.|a||b|
D.|a||b|
20.若|a|=1,|b
a-b)⊥a,则a与b的夹角为 ( ) A.300 B.450 C.600 D.750 21.已知向量m(1,1),向量n与向量m的夹角为
3
,且mn1.(1)求向量;
4
(2)设向量(1,0),向量(cosx,,sinx),其中xR,若0,试求|nb|的取值范围.
22.已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量,a3e12e2,b2e13e2
(1)求ab (2)求a与b (3)求ab与ab的夹角
23.已知|a|4,|b|2,且a与b夹角为120°求:
⑴(a2b)(ab); ⑵|2ab|; ⑶a与ab的夹角。
题型六:向量的平行与垂直
24.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),,且a∥b,则有 ( ) A.x1y2+x2y1=0 B.x1y2―x2y1=0 C.x1x2+y1y2=0 D.x1x2―y1y2=0,
25.已知向量a=(4,2),向量b=(x,3),且a//b,则x=
26.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥,则k的值为 ( ) A.
991919
B. C. D.
10101010
27.设两个非零向量e1、e2不共线.如果=e1+e2,2e1+8e2,=3(e1-e2) ⑴求证:A、B、D共线;⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.
28.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足(Ⅰ)求证:A、B、C三点共线;
12
. 33
b始终与a平行,那么b_____. 29.如果a是任意向量,
30.若a//b,且|a||b|1,则|ab|_______.
31.与a=(4,5)垂直的向量是 ( ) A.(-5k,4k) B. (-10,2) C. (,) D.(5k, -4k) 32.已知向量=(6,2),=(-3,k),当k为何值时,有
(1),∥b ? (2),⊥b ? (3),与b所成角θ是钝角 ?
33.已知向量a(1,k),b(2,若a与b的夹角为90,则实数 k的值为( ) 1),
5
k4k
11 B. C.2 D.2 22
34.已知a(1,2),(3,2),当k为何值时,
(1)kab与a3b垂直?(2)ka与a3平行?平行时它们是同向还是反向?
A.
题型七:与三角形有关的向量
35.已知ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满足PAPBPCAB,下列结论正确的是 ( ) A.P在ABC内部 B.P在ABC外部
C.P在AB边所在直线上 D.P是AC边的一个三等分点
36.P是△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的( ) A. 外心 37.在
ABC中,若A.钝角三角形
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
,则ABC一定是 ( )
B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定
38.在△ABC
4,且ABAC8,则这个三角形的形状是 题型八:向量的共线问题
→→→
39.设两个非零向量a与b不共线. (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A、B、D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
→→→→→→
40.已知ΔABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使AB+AC=mAM成立,则m=()
A.2 B.3 C.4 D.5
41.设e1,e2是不共线的向量,已知向量AB2e1ke2,CBe13e2,CD2e1e2,若
A,B,D三点共线,则k的值等于_________ 题型九:三角函数与向量
13
42. 设a(,sin),b(cos,),且a//b,则锐角为( )
23
A.30 B.60 C.75 D.45
43.已知△ABC的周长为9,且sinA:sinB:sinC3:2:4,则cosC的值为 A.
( )
1122B. C. D.
434 3
x),b(cosx,cosx ,)函数f(x)2ab1,(1)求f(x)的44.
已知向量ax,cos
最小正周期; (2)当x[
, ]时, 若f(x)1,求x的值 62
tanC. 45.在△ABC中,角A,B,
C的对边分别为a,b,c,
5
(1)求cosC;(2)若CBCA,且ab9,求c.
2
xx33
46.已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,sin),且x∈[0,].
22222
(1)求ab(2)设函数f(x)ab+ab,求函数f(x)的最值及相应的x的值。
题型十:函数与向量
47.已知向量,满足||||1,,
且|kab|akb|(k0),令f(k)ab.
12
⑴求f(k)ab(用k表示);⑵当k0时,f(k)x2tx对任意的t[1,1]恒成
2
立,求实数x的取值范围。