线性代数期末考试题及答案

课程考核试题卷 ( A 卷)

（ 2011 至 2012学年 第__2_学期 ）

课程名称： 线性代数A 考试时间：110分钟 课程代码： 7100059 试卷总分： 100 分 考试形式： 闭卷 学生自带普通计算器: 否

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1、A 和B 均为n 阶矩阵，且(A -B ) 2=A 2-2AB +B 2，则必有（ ）

A A =E ； B B =E ； C A =B . D AB =BA 。 2、设A 是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ）

A. A =0 B. B≠C 时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C

3、设A 是s ⨯n 矩阵，则齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是( )

A. A 的行向量组线性无关 B. A 的列向量组线性无关 C. A 的行向量组线性相关 D. A 的列向量组线性相关 4、若x 1是方程AX =B 的解，x 2是方程AX =O 的解，则（）是方程AX =B 的解（c ∈R ）A. x 1+cx 2 B. cx 1+cx 2 C. cx 1-cx 2 D. cx 1+x 2 5、设矩阵A 的秩为r ，则A 中（

）

A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于

0 D.所有r 阶子式都不为0

二、填空题（每小题3分，共15分）

1、已知向量α=(1, 3, 2, 4) T 与β=(k , -1, -3, 2k ) T 正交，则k =⎛-1

2、 11⎫⎝01⎪⎭

3、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 4、如果X 1, X 2都是方程A n ⨯n X =O 的解，且X 1≠X 2，则A n ⨯n =

5、设向量组α1=(1, 0, 0) T , α2=(-1, 3, 0) T , α3=(1, 2, -1) T 线性

31-12-513-4

三、（10分）计算行列式.

201-11-53-3

⎛（10分）已知f (x ) =x 2+4x -1，A = 1 2 ⎝0-20⎫10⎪

⎪，求f (A ) 。02⎪⎭

四、

⎧2x 1-3x 2+x 3+5x 4=0⎪

五、（10分）求齐次线性方程组⎨-3x 1+x 2+2x 3-4x 4=0的一个基础解系及其

⎪-x -2x +3x +x =0

234⎩1

通解.

22

六、（12分）判定二次型f =-x 12-x 2-x 3+4x 1x 2+4x 1x 3-4x 2x 3的正定性，并求

该二次型的秩。

⎡1⎤⎡2⎤⎡3⎤⎡-1⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥2556

七、（10分）求向量组：α1=⎢⎥，α2=⎢⎥，α3=⎢⎥，α4=⎢⎥的秩及一

⎢2⎥⎢17⎥⎢-1⎥⎢-7⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-1-1-4⎣⎦⎣9⎦⎣⎦⎣⎦

个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.

⎡110⎤

八、（12分）已知矩阵A =⎢⎢110⎥⎡000⎤

与B =⎢030, ⎥相似 ⎢3⎥⎥⎢⎥

⎣00⎦⎢⎣00x ⎥⎦

（1）求x ；

（2）求可逆矩阵P ，使得P -1AP =B 。

-1

九、（6分）设3阶矩阵A 的特征值为2（二重），-4，求⎛ -1A *⎫

⎝2⎪

⎭

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 评分标准：选对得3分，不选或选错得0分

。

1、D ；2、D ； 3、D ； 4、A ； 5、C

二、填空题（每小题3分，共15分）： 评分标准：填对得3分，不填或填错得0分

⎛1-1⎫

1、24； 2、； 3、-2； 4、0； 5、无关 ⎪

⎝01⎭

三、计算行列式（12分）

1、原式=40； …………10分 四、（10分） 解

：

⎛-3-40⎫

⎪ ………4分

A 2= 4-30 ⎪

004⎪⎝⎭

⎛4-80⎫

⎪ ………………8分

4A = 840 ⎪

008⎪⎝⎭

⎛0-120⎫⎛033⎫

⎪= -123⎪ …………10分

f (A )= 1200 ⎪ ⎪

0 ⎪011⎪⎝⎭⎝110⎭

五、（12分）

⎧2x 1-3x 2+x 3+5x 4=0

⎪

解：齐次线性方程组的系数矩阵A 为：⎨-3x 1+x 2+2x 3-4x 4=0

⎪-x -2x +3x +x =0

234⎩1

⎛2-315⎫⎛-1-231⎫⎛10-11⎫

⎪~ 07-7-7⎪~ 01-1-1⎪ …4分

A = -312-4 ⎪ ⎪ ⎪

-1-231⎪ 0-777⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧x 1=x 3-x 4

⎪x =x +x ⎪234

一般解为：⎨ （x 3为自由未知量） ……………………6分

⎪x 3=x 3⎪⎩x 4=x 4

⎛1⎫⎛-1⎫ 1⎪ 1⎪

⎪ (k k 为常数) …………10分 故齐次线性方程组的通解为X =k1 ⎪+k2 12

1⎪ 0⎪ ⎪ ⎪0⎝⎭⎝1⎭

六、（12分）

解：二次型对应的矩阵为

⎛-122⎫

⎪ ………4分

A = 2-1-2 ⎪

2-2-1⎪⎝⎭

-1=-1

-12

=-3

2--122

2-1-2=-13

所以矩阵的秩为3，即二次型的秩为3 2分 七、（10分）

解：向量组对应的矩阵为

⎛123-1⎫⎛105 2556⎪ 01-1

⎪~ (α1α2α3α4) =

-12-717⎪ 000 ⎪ -1-1-49⎝⎭⎝0000⎫

0⎪⎪ ………3分 1⎪⎪0⎭

所以矩阵的秩为3 6分

所以α1, α2, α4为一组极大无关组 8分

α3=-5α1+α2 ………10分

八、（8分）

解：解：（1）、由于

A 与B 相似，则tr (A ) =tr (B ) 。因为tr (A ) =5，tr (B ) =3+x ，

则x =2。 ………4分

（2）、因为B 的特征值为λ1=0, λ2=3, λ3=2，所以A 的特征值为

λ1=0, λ2=3, λ3=2。

当λ1=0时，它对应的特征向量为a 1=(1, -1, 0) T 当对于λ2=3时，它对应的特征向量为a 2=(0, 0, 1) T 当λ3=2时，它对应的特征向量为a 3=(1, 1, 0) T 。

⎛101⎫

⎪-1

-101P AP =B 。 ……… 12分 取P =(a 1, α2, α3)= ，则 ⎪ ⎝010⎪⎭

九、（6分）

-1

证明：⎛ -1*⎫*⎝2A ⎪

⎭

=-8(A

)

-1

=-1

2

=

……6分