基于阶梯教室地面设计

基于阶梯教室地面设计的数学模型

阶梯教室地面升起高度的设计关系到学生是否会被前面的同学挡住视线，能否顺利看到黑板，对学生的学习影响很大。

本文将从实际出发，画出阶梯教室的纵剖图，做出合理的假设：只要我们使每位同学（第一排除外）的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过，就可以认为不会存在遮挡视线问题。从而将问题巧妙的转化为几何问题，然后利用几何中的相似，斜率关系等简单的数学知识有效的推导出了阶梯教室地面升起曲线的函数表达式。

并且，本文采集了学校阶梯教室的一些原始数据对模型的合理性进行了检验，最终证明模型是合理的，所求出的函数表达式证明了学校阶梯教室视线遮挡现象普遍的根本原因，也可以在一定程度上为学校阶梯教室地面升起高度的设计提供有用的理论指导。

关键词 ：阶梯教室 地面设计 地面升起曲线 数学模型

吴峰

教育技术学

学号[1**********]9

1. 问题重述

在阶梯教室上课的时候，经常发现自己被前面的同学挡在视线，问了下其他同学，发现这并不是我一个人所遇到的烦恼。显然，教室内的学生都在朝黑板上看，如果阶梯教室内的地面不做成前低后高的坡度模式，那么前边同学必然会遮挡后面同学的视线。虽然学校的阶梯教室已经有了一定的坡度，但既然已经将教室做成阶梯型，就应该做到很好的无遮挡性。而如何确定阶梯教室地面的坡度曲线就成了问题的关键，为了学校能够更好的设计出令人满意的阶梯教室，我将试着利用所学的数学知识，建立数学模型来研究良好的阶梯教室的地面所应满足的坡度曲线。

2. 问题分析

以黑板最低处的任一点O为原点，以地面的水平线为x轴，其垂直方向为y轴，建立坐标系，其中黑板的最低处的点O也称为设计视点。（其它符号见符号说明）。我们可以从下面绘出的阶梯教室的纵剖面图看出，只要我们使每位同学（第一排除外）的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过，就可以假设为不会存在遮挡视线问题。

从而问题即为求任一排x与设计视点O的竖直距离函数y=y(x),使此曲线满足视线的无遮挡要求。

3. 模型假设

（1） 阶梯教室地面的纵剖面图一致，只需求中轴线上地面的起

伏曲线即可。

（2） 同一排的座位在同一等高线上。

（3） 每个坐在座位上的同学的眼睛与地面的距离相等。

（4） 每个坐在座位上的同学的头与地面的距离也相等。结合假

设（3）知每位同学的头顶到眼睛的距离相等

4. 符号说明

a ：第一排同学与设计视点的水平距离

b ：第一排同学的眼睛到x轴的垂直距离

: 第一排同学的眼睛到地面的距离

: 黑板（最下边往上10cm处）距地的距离

h ：台阶高度

n ：相邻两排的排距

d ：同学的头顶到眼睛的垂直距离

x ：任一排与设计视点的水平距离

Y ：台阶距离地面高度

5. 模型建立与求解

模型一

由前面假设，每位同学的眼睛与地面的高度差都是一样的，因而我们可以用同学的眼睛曲线来代替所求的坡度曲线y=y(x)，而真正的地面高度Y=y+– 设眼睛的升起曲线满足微分方程

(x，y),则其应满足初始条

件：y

从第一排起，同学的眼睛与O点的连线的斜率随排数的增加而增加，而眼睛升起曲线显然与这些直线皆相交，故此升起曲线是凹的。

选择某排同学M（x，y）及相邻排，考虑，做出下图，由曲线y=y（x）是凹的，可以看出，在M点

其中K是斜率。

由图易得

= MN = AB = d

故

=

又由△MA与△OMC相似，有

=

故

MA =

代入=

=，即有

对于，由△与△ONC相似于，知

故

从而

所以可写成

＜＜

故同学的眼睛连起来的升起曲线y=y（x）所应满足的条件为：

令

解得：（x）=

令

解得：（x）

=

由＋ d（-1） 的解我们可以初步给出同学眼睛升起曲线y(x)的取值范围，即

（x）

＋d（-1）

在此，采用工程上常用的折衷法，取 y =

从而有

y=＋（-1）

故所求地面相对于设计视点所在x轴升起的高度曲线为：

Y = y +– =＋（-1）+–

模型二

如下图，以设计视点O为原点，以地面的水平线为x轴，其垂直

方向为y轴，建立坐标系，设所求曲线的方程为y = f (x)。图中点A为阶梯教室中任意一排（最后一排座位除外）同学的眼睛，其视线为OA，点B是该同学身后一排同学的眼睛，其视线为OB。

如果过点A的垂线与视线OB相交于点P，则PA就是同学的头顶到眼睛的垂直距离d。

再设点A 的横坐标为x ，两排座位之间的距离为n，则点B的横坐标为x +n，于是由三角形相似得

即

d=︱PA︱= (1)

这便是所求曲线y = f (x) 应满足的函数方程。为使问题简化，我们把它化为一阶微分方程（如果要提高精确程度，可将其化为二阶或高阶微分方程）： 由泰勒公式得

f ( x + n ) ≈ f(x) + f’( x ) n

代入（1）式，整理得

f’(x)－

(2)

方程（2）是曲线y = f (x)应满足的一阶微分方程。下面我们来求解这个方程，先求解齐次微分方程

f’(x)－= 0

得

f(x)=

再用常数变易法令

x

f(x)=

则有

(x)x

f’(x)=

把f(x)和f’(x)都代入(2),得

’(x)x+(x)

’(x)=

于是有

（x）=

从而得到

故

Y=f(x) +–=+–

即为所求阶梯教室地面升高曲线的数学模型。

6. 模型检验

为了检验模型的合理性，也为了弄清楚为什么很多阶梯教室都会出现视线遮挡现象，我在教二101和敬文讲坛等阶梯教室进行了数据的采集，数据采集结果如下表(单位：厘米)

说明：由于教二101前面四排座位是平铺的，因而测量a时直接选取第四排与黑板的距离作为模型中第一排同学的眼睛到黑板的距离。

其中与分别为第一排同学的眼睛到地面的距离和黑板（最下边往上10cm处）距地的距离,所需量b=-，由于敬文讲坛第一排就有半层台阶故值略高于其他教室。 对于模型一，代入各参量得到地面升高曲线为

教二101：y=＋

（

敬文讲坛：

-1）

y=＋

（

对于模型二：

-1）

解出C,得到

利用初值,得到

教二101：C=-1.1321，从而

敬文讲坛：C=-0.9707，从而

由Matlab程序算出模拟值，得下表

各阶梯教室地面实际高度与模拟高度数据如下（相对于模型中的x轴）

根据表格数据画出散点图如下 教二101阶梯教室

0.7

0.80.911.11.21.31.41.51.6

敬文讲坛阶梯教室

0.8

11.21.41.61.822.22.42.6

其中’.’，’+’，’*’图分别为真实值，模型一模拟值和模型二模拟值。 分析：

对于教二101阶梯教室：

前面2~3排真实值与模拟值比较接近，但随着x的不断变大，真实值与拟合值间的差距不断增大，且趋势很明显，这在一定程度上符合了实际情况（教二101阶梯教室的视线遮挡现象很明显，前排因为有四排是水平的，也存在很明显的视线遮挡，且越靠后越容易被挡住视线）

对于敬文讲坛：

前面六排座位真实值与模拟值吻合的比较好，但从第七排开始，逐渐出现差值，且逐渐增大 ，到第十排以后差距变得很明显，事实

上，在上数学软件课的时候，我有意的在不同的座位上观察后发现，前面5~6排视线存在少量的视线遮挡现象，但不会影响上课，而后面的座位存在视线遮挡，且越靠后越明显，但比较二101教室的情况要好很多，这在很大程度上证明了模型的合理性，也进一步解释了为什么很多阶梯教室会出现视线遮挡现象。

无论是教二101还是敬文讲坛，模型一与模型二的模拟值相差不是很大，且与真实值的差值相比甚至可以忽略不计，这也从一定程度上表明模型一与模型二在一定程度上可以相互替代。

学校的教室相对来说比较小，况且因为上课的需要，地面不宜升起过高，从而升起的高度有限，这也是学校的阶梯教室与模型的模拟值相差比较大，视线遮挡现象很普遍的原因。

因为敬文讲坛视线遮挡现象相对于教二101少，且数据与模型吻合的程度更高，因而下面我们选取敬文讲坛的数据对模型一进行各参数的灵敏度分析。 地面升高曲线方程为

y=＋（-1）

其中b,d一般可变化程度不大，因而我们主要考虑a和n 对于敬文讲坛：

y=

（

现将a的值分别减少、增加5%，得到

=

（=

＋

（画出函数图如下

-1）

-1）-1）＋

＋

350

300

250

200

150

100

50

-50

-[***********]02500

其中曲线由上而下分别为

现将n的值分别减少、增加10%，得到

=

（-1）

=

＋ ＋

（-1）

画出函数图如下

400

350

300

250

200

150

100

50

-50

-[***********]02500

局部放大图如下

其中曲线由上而下分别为

分析：

由图像知，地面升高曲线与a及n均成负相关，但a值变化对曲线影响不大，而b值的改变在前面几排没什么影响，但当座位距离黑板15m以后，b值的改变对地面升起曲线影响比较大。

这在一定程度上说明，取适当的a值后可以优先考虑增大b值，即增加台阶的宽度，从而可以有效减少视线遮挡现象。

7. 模型评价

模型优点：

1. 模型一和模型二均从已有的数学知识出发，进行严格的推导，得

出所求阶梯教室地面升高曲线。

2. 模型来源于生活，具有很强的适用性。

3. 模型给出了具体的地面升高曲线，为今后阶梯教室的设计及座位

的设计（发现旧体育馆的座位有些是错位的，有些不是，有效地较少了视线遮挡现象，只可惜没测到数据）提供了强有力的理论指导。

4. 模型从根本上解释了很多阶梯教室出现视线遮挡的原因。 模型缺点

1. 有些数据的测量可能不是很准确。

2. 模型简化了很多，如每个人的身高差别较大，模型中并没有深入

考虑。

8. 模型的改进与推广

进一步深入研究地面升高曲线与参数a及n的关系，充分考虑不同学生身高的影响等可对模型进行一定程度上的改进。

该模型具有很强的实用性，通过适当更改参数值，可推广到电影院或观众厅地面升高高度的设计，座位的合理编排，有效减少因地面升起而对音质造成的影响等。

【1】