高中函数定义域__值域__单调性及高考题

函数知识综合复习

讲课时间：

知识点：函数的定义域、值域、单调性及奇偶性

考点：函数知识的全面考察

一、定义域

1. 基本函数求定义域：

例1：（1）f (x ) =

（3）y=6 （2）f (x ) =3x -1+-2x +4 x 2-3x +212x +10 （4）y= （5）f (x ) =log x -1(-2x 2+5x -3) x +3x |-x

6x 2-1练习：f (x ) =2 y = 0x -3x +2(x +1) -2

2. 抽象函数求定义域：

例2：（1）已知f (x ) 的定义域为[-1, 1]，求f (2x -1) 的定义域。

（2）已知f (2x -1) 的定义域为[-1, 1]，求f (x ) 的定义域

学生练习：（1）已知f (2x -1) 定义域为[0, 1]，求f (3x ) 的定义域

（2）已知f (x ) 的定义域为[-2, 4]，则g (x ) =f (-x ) +f (x ) 的定义域为 。

（3）若f (x +1) 的定义域为[0,3]，求f (x ) 的定义域。

例3：（1

）已知函数f (x ) =R ，求实数a 的范围. （2

）已知函数y =的定义域为R ，求实数m 的范围

二、值域

1+x +x 2例1：

求下列函数的值域f (x ) =2x +，f (x ) =∆） 21+x

x 2+2x +2x -11y =y =x +y =(x >-1) x +2，x ，x +1

练习：（1）f (x ) =x +1--2x ，（2）f (x ) =2x +-2x ，

（3）f (x ) =2x 8f (x ) =2x +，（4） 1+x 2x

例2：求f (x ) =x -2+x +5的值域 练习：求f (x ) =x -3-x +的值域

例3：设函数y =f (x ) 是定义在(0,+∞) 上的减函数，且f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，

1f () =1。（1）求f (1)的值； 3

（2）若存在实数m ，使得f (m ) =2，求m 的值；

（3）如果f (x ) +f (2-x )

练习：若f (x ) 是定义在(0,+∞) 上的增函数，且f ⎪=f (x ) -f (y ) 。 y ⎝⎭⎛x ⎫

（1）求f (1) 的值；（2）解不等式：f (x -1)

（3）若f (2)=1，解不等式f (x +3) -f ()

三、单调性

1. 基本函数的单调性及证明方法

例1：函数f (x ) =log a x 在区间[2, 9]上的最大值比最小值大2，求a 例2：判断函数f (x ) =ax (a ≠0) 在区间(-1, 1) 上的单调性。 2x -11x

2. 复合函数的单调性

例2：（1）函数f (x ) =ax 2-(3a -1) x +a 2在[-1, +∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．

（2）求函数y =2log 1(x 2-3x +2) 的单调区间。

3

练习：（1）函数f (x ) =ax 2+4x -2在[-1,3]上为增函数，求a 的取值范围

（2）已知函数f (x ) =log 2(x 2-mx +m ) 的定义域是R ，并且在(-∞,1) 上单调递减，则实数m 的取值范围

（3）已知y =log a (2-ax ) 在[0,1]上是x 的减函数，求a 的取值范围

基础题型：

1. 已知二次函数y =f (x )(x ∈R ) 的图像是一条开口向下且对称轴为x =3的抛物线，试比较大小：

（1）f (6) 与f (4) （2）f (2) 与f ()

2. 函数f (x ) =x 2-2x +3，定义域为下列值时， 求f (x ) 的值域。 ①R ②[2, 3] ③[-3, 6]

23．设函数f (x ) =lg(ax +2x +1)(x ∈R ) 。

（1）若f (x ) 的定义域为R ，求a 的取值范围；

（2）若f (x ) 的值域为R ，求a 的取值范围。

中等题型：

4．求函数f (x ) =x 2-x 的单调递减区间

5．若函数f (x ) =4x 2-kx -8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围

6．函数f (x ) =a x +log a (x +1) 在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，求a

7

．求函数y =的值域

8

．求函数y =2x +

29．求函数 f (x ) = x 6的单调区间 +x -

拔高题型：

10．已知函数y ＝mx 2-6mx +m +8的定义域为R 。

（1）求m 的取值范围；（2）m 变化时，若y min =f (m ) ，求f (m ) 的值域．

11．函数y =x 2-4x +5在闭区间[-1, m ]上有最大值10，求m 的取值范围

12．二次函数f (x ) 满足f (x +1) -f (x ) =2x ，且f (0)=1。

（1）求f (x ) 的解析式；

（2）函数g (x ) =2x +m ，若f (x ) >g (x ) 在R 上恒成立，求m 的范围。

13

．已知函数g 1) =x 6，求g (x ) 的最小值

连接高考：

1. （2002全国文4，理13）函数y =a x 在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则a 等于（ ） 1A. 2 B.2 C.4 1D. 4

2. （2002全国理，10）函数y =1－1的图象是（ ）

x -1

3. （2001北京春，理7）已知f （x 6）＝log 2x ，那么f （8）等于（ ） A. 4

3 B.8 C.18 D. 1

2

4. （1997上海，2）三个数60．7，0．76，log 0．76的大小顺序是（ ）

A.0．76＜log 0．76＜60．7

C.log 0．76＜60．7＜0．76 B.0．76＜60．7＜log 0．76 D.log 0．76＜0．76＜60．7

5. （1996上海，3）如果log a 3＞log b 3＞0，那么a 、b 间的关系是（ ）

A.0＜a ＜b ＜1

C.0＜b ＜a ＜1 B.1＜a ＜b D.1＜b ＜a

6. （2009

全国卷Ⅱ文）设a =lg e , b =(lge ) 2, c =

（A ）a >b >c （B ）a >c >b （C ）c >a >b （D ）c >b >a

7. （2009

江西卷文）函数y =的定义域为 A ．[-4,1] B ．[-4, 0) C ．(0,1] D ．[-4, 0) (0,1]

8. （2009

江西卷理）函数y =的定义域为

A ．(-4, -1) B ．(-4,1) C ．(-1,1) D ．(-1,1]

9. （2009天津卷文）设a =log 12, b =log 13, c =() 0. 3，则

3212

A a⎧x 2-4x +6, x ≥010. （2009天津卷文）设函数f (x ) =⎨则不等式f (x ) >f (1)

⎩x +6, x

的解集是（ ）

A (-3, 1) ⋃(3, +∞) B (-3, 1) ⋃(2, +∞)

C (-1, 1) ⋃(3, +∞) D (-∞, -3) ⋃(1, 3)

11. （2009

湖南卷文）log 2的值为【 】

A

． B

C ．- D ． 1

21 2

12. （1998上海，11）函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1）在［1，2］中的最大值比最小值大，则a 的值为 .

13. （2009江苏卷）已知集合A ={x log 2x ≤2}, B =(-∞, a ) ，若A ⊆B 则实数a 的取值范围是(c , +∞) ，其中c = .

14. （1996上海，10）函数y ＝1的定义域是 log 1(2-x )

2a 2

15. （2009重庆卷理）若f (x ) =1+a 是奇函数，则a = ． 2x -1

⎧3x , x ≤1, 16. （2009北京文）已知函数f (x ) =⎨若f (x ) =2，则x = . -x , x >1, ⎩

⎧1, x

为____________.

18. （2002北京理，22）已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：f （a ·b ）=af （b ）+bf （a ）.

（1）求f （0），f （1）的值；

（2）判断f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；

19. （2002上海文，19）已知函数f （x ）=x 2+2ax +2，x ∈［－5，5］

（1）当a =－1时，求函数f （x ）的最大值和最小值；

（2）求实数a 的取值范围，使y =f （x ）在区间［－5，5］上是单调函数.

20. （2001春季北京、安徽，12）设函数f （x ）＝x +a （a ＞b ＞0），x +b

求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性.

21. （1999全国文，19）解方程lg x -2－3l gx +4=0.

x 2+2x +a 22. （2000上海，19）已知函数f （x ）＝，x ∈［1，＋∞) ． x

1（1）当a ＝时，求函数f （x ）的最小值； 2

（2）若对任意x ∈［1，＋∞) ，f （x ）＞0恒成立，

试求实数a 的取值范围.

23.(2005年上海·文科) 已知函数f(x)=kx＋b 的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、B, →AB ＝2→i ＋2→j ，(→i 、→j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量) ，函数g(x)=x2﹣x ﹣6.(1)求k 、b 的值；(2)当x 满足

g(x)＋1f(x)＞g(x)时, 求函数的最小值. f(x)

b →＝b ，b}，于是b ＝2，b ＝2，∴k＝1，

b 解：(1)由已知得A(﹣0) ，B(0，b) ，则AB k k k

＝2.

(2)由f(x)＞g(x)，得x ＋2＞x 2﹣x ﹣6, 即(x＋2)(x﹣4) ＜0，得﹣2＜x ＜4， g(x)＋1x 2﹣x ﹣51x+2+， f(x)x ＋2x ＋2

g(x)＋1由于x ＋2＞0，则3，其中等号当且仅当x ＋2=1，即x=﹣1时成立， f(x)

＋1f(x)的最小值是﹣3.

∴g(x)