矩阵的特征多项式与特征根
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矩阵的特征多项式与特征根
定义3 设A=(aij)是数域F上的一个n阶矩阵,行列式
a11
a21fA()IA
an1a12a1na2n叫做矩阵A的特征多项式.fA(λ)a22an2ann
在C内的根叫做矩阵A的特征根.
设λ0∈C是矩阵A的特征根,而k0∈Cn是一个非零的列向量,使Ax0=λ0x0,就是说,x0是齐次线性方程组(λ0I-A)X=0的一个非零解.我们称x0是矩阵A的属于特征根λ
例6 分别在实数域R和复数域C内求矩阵
7332 25
41030的特征向量.
的特征根和相应的特征向量.
33752(1)(21)(1)(i)(i) 解fA()2
4103
① 在R内,A只有特征根1,A的属于特征根1的特征向量为k(2,-1,-1),k∈R,k≠0.
② 在C内,A有特征根λ1=1,λ2=i, λ3=-i.A的属于特征根1的特征向量为k(2,-1,-1),k∈C,k≠0;A的属于特征根i的特征向量为k1(-1+2i,1-i,2), k1∈C, k1≠0
A的属于特征根-i的特征向量为k2(-1-2i,1+I,2), k2∈C, k2≠0
注意:求A的特征根时,要考虑给定的数域,若没有指定数域,就在C内讨论;表示属于某个特征根的特征向量(关于基础解系)组合系数要取自指定的数域F(或C),且不全为零.