第二节换元积分法xdx=sin2C
一、第一类换元法
第二节
换元积分法
问题
∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C ,
1 2
解决方法 利用复合函数,设置中间变量. 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt ,
∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C = 2 sin 2 x + C .
1
1
1
定理1
u = ϕ ( x ) 可导, 设 f ( u ) 具有原函数,
则有换元公式
∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx = [ ∫ f ( u)du]u=ϕ ( x )
第一类换元公式(凑微分法)
1、 ∫ f (ax + b )dx = 例如
1 1 f ( u)du f (ax + b )(ax + b )′dx u = ax + b a∫ a∫
2、∫ xf (ax 2 + b)dx = 例如
1 1 f ( u)du f ( ax 2 + b)(ax 2 + b)′dx u = ax 2 + b 2a ∫ 2a ∫
∫
1 dx 2x −1
∫
x 2 x2 − 1
dx
∫x
n −1
f (ax n + b )dx =
1 f (ax n + b )(ax n + b )′dx na ∫ 1 u = ax n + b f ( u)du na ∫
1
3.
∫ sin xf (cos x )dx = − ∫ f (cos x )(cos x )′dx u = cos x
− ∫ f ( u)du
∫ cos xf (sin x )dx = ∫ f (sin x )(sin x )′dx u = sin x ∫ f (u)du
例如 例如
∫e
cos x
3
sin xdx
xdx
∫ cos
4、 ∫ e x f (ae x + b)dx =
1 1 f (ae x + b)(ae x + b)′dx u = ae x + b f ( u)du a∫ a∫
5、
∫
∫
f (arctan x ) dx = ∫ f (arctan x )(arctan x )′dx u = arctan x 1 + x2
∫ f (u)du
∫
1 f ( a ln x + b ) dx = ∫ f (a ln x + b )( a ln x + b )′dx x a 1 u = a ln x + b f ( u)du a∫
f (arc cot x ) dx = − ∫ f (arc cot x )(arc cot x )′dxu = arc cot x − ∫ f ( u)du 1 + x2
例如 例如
∫e
x
2e x + 3dx
∫
f (arcsin x ) 1 − x2
dx = ∫ f (arcsin x )(arcsin x )′dx u = arcsin x
∫ f (u)du
∫ x ( 2 ln x + 3) dx
1
∫
例如
f (arccos x ) 1 − x2
dx = − ∫ f (arccos x )(arccos x )′dxu = arccos x − ∫ f ( u)du
∫
10arcsin x 1 − x2
dx
例1 求 sin 2 xdx .
1 sin 2 xd ( 2 x ) 2∫ 1 = − cos 2 x + C ; 2 解(二) ∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin x cos xdx
解(一) ∫ sin 2 xdx =
∫
例2 求
∫ 3 + 2 xdx .
1
= 2 ∫ sin xd (sin x ) = (sin x )2 + C ;
解(三) ∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin x cos xdx
= −2 ∫ cos xd (cos x )= − (cos x ) + C .
2
2
例3 求
∫ x(1 + 2 ln x )dx.
1
例4 求
∫x
2
1 dx . − 8 x + 25
例5 求
∫1+ e
1
x
dx .
3
例6 求 (1 −
∫
1 x+ 1 )e x dx . x2
例7 求
∫ tan xdx .
∫ tan xdx = − ln | cos x | + C
类似地, cot xdx = ln | sin x | + C
∫
例8 求
∫ 1 + cos x dx.
1
例9 求
∫ sin
2
x ⋅ cos5 xdx .
例10 求 cos 3 x cos 2 xdx .
∫
例11 求 csc xdx .
1 解 cos A cos B = [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2 1 cos 3 x cos 2 x = (cos x + cos 5 x ), 2 1 ∫ cos 3 x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5 x )dx 1 1 = sin x + sin 5 x + C . 2 10
∫
= ln(csc x − cot x ) + C .
4
解(二) ∫ csc xdx = ∫
sin x 1 dx = ∫ 2 dx sin x sin x
例12 设 f ′(sin 2 x ) = cos 2 x , 求 f ( x ) . 解 令 u = sin 2 x ⇒
1 d (cos x ) u = cos x 1 − cos 2 x 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 + = −∫ du = − ∫ ⎜ ⎟ du 2 ⎝1− u 1+ u⎠ 1 − u2
= −∫
cos 2 x = 1 − u,
f ′( u ) = 1 − u ,
1 1− u 1 1 − cos x = ln + C = ln + C.
2 1+ u 2 1 + cos x
类似地可推出
1 f ( u) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 2 f ( x) = x − x + C . 2
∫ sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C .
例13 求
4 ∫ sec xdx .
小结
常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
1 = sin 2 x + cos 2 x 等 (2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
cos 2 x = 1 (1 + cos 2 x) ; 2
n
sin 2 x = 1 (1 − cos 2 x) ; 2
n −1
万能凑幂法 例14 求
∫ tan
3
x sec xdx .
3
f (x ) d x ∫ f ( x ) x dx = 1 n∫ 1 n 1 n n 1 ∫ f (x ) x dx = n ∫ f ( x ) x d x
n
n
n
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元
二、第二类换元法
问题
定理2 设 x = ψ ( t ) 是单调的、可导的函数,
并且ψ ′( t ) ≠ 0 ,又设 f [ψ ( t )]ψ ′( t ) 具有原函数,
∫x
5
1 − x dx = ?
2
则有换元公式
解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 x = sin t ⇒ dx = cos tdt ,
⎤ ′ ∫ f ( x )dx = ⎡ ⎣ ∫ f [ψ ( t )]ψ ( t )dt ⎦
t =ψ ( x )
其中ψ ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数.
第二类积分换元公式
∫x
5
1 − x 2 dx = ∫ (sin t )5 1 − sin 2 t cos tdt
(应用“凑微分”即可求出结果)
= ∫ sin 5 t cos 2 tdt = ∫
1 1 1 ⎞ dx = ∫ 2 2 dt = ∫ ⎛ − ⎟ dt ⎜ 1+ ex t −1 ⎝ t − 1 t + 1⎠
= ln
t −1 + C = 2 ln 1 + e x − 1 − x + C . t +1
(
)
10、倒代换:当分式的分母次数比较大时,作 x = 分母次数变小。
1 u ,将
例20 求 解
∫ x( x 7 + 2)dx
1
1 1 ⇒ dx = − 2 dt , t t 1 t t6 ⎛ 1⎞ − 2 ⎟ dt = − ∫ dt ∫ x( x 7 + 2)dx = ∫ 1 7 ⋅ ⎜ 1 + 2t 7 ⎝ t ⎠ ⎛ ⎞ 2 + ⎜ ⎟ ⎝t⎠ 1 1 1 7 = − ln | 1 + 2t | + C = − ln | 2 + x 7 | + ln | x | + C . 14 2 14
令 x=
7
例21 求 解
∫x
4
1 dx . x2 + 1 1 t
(分母的阶较高)
令 x = ⇒ dx = −
∫ x4
= −∫
1 ⎛ 1⎞ dx = ∫ ⎜ − 2 ⎟ dx 4 2 x2 + 1 ⎝ t ⎠ 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +1 t t ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
t3 t2 1 dt 2 dt = − ∫ 2 2 1+ t2 1+ t u = t2
1 dt , t2 1
1 2∫ 1 ⎛ = ∫⎜ 2 ⎝ 1 =− ( 3 1⎛ =− ⎜ 3⎜ ⎝ =−
u 1 1−1− u du = ∫ du 1+ u 2 1+ u 1 ⎞ − 1 + u ⎟ d (1 + u) 1+ u ⎠ 1 + u) + 1 + u + C
3
1 + x2 ⎞ 1 + x2 ⎟ + + C. ⎟ x ⎠ x
3
11、对 sin x, cos x 的奇、偶数次方可采取下列方法
∫ sin
2 k +1
xdx = ∫ sin 2 k x × sin xdx
= − ∫ (1 − cos 2 x )k × ( cos x )′ dx u = cos x − ∫ (1 − u 2 )k du
∫ sin
2k
xdx = ∫ (sin 2 x )k dx = ∫ (
1 − cos 2 x k ) dx 2
基 (16) 本 (17) 积 分 (18) 表 (19)
( 20)
∫ tan xdx = − ln cos x + C ; ∫ cot xdx = ln sin x + C ; ∫ sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C ; ∫ csc xdx = ln(csc x − cot x ) + C ; ∫a
2
x 1 1 dx = arctan + C ; a a + x2
小结:
1 1 x−a ( 21) ∫ 2 dx = ln + C; x − a2 2a x + a 1 1 a+ x dx = ln + C; ( 22) ∫ 2 2 a −x 2a a − x ( 23) ( 24)
1. 第二类换元法常见类型: 2. 常用基本积分公式的补充 (P205 ~ P206)
(16)
∫ ∫
1 x dx = arcsin + C ; a a2 − x2 1 dx = ln( x + x 2 ± a 2 ) + C . x2 ± a2
∫ tan x d x = − ln cos x
+C
(17)
(18)
(19)
∫ cot xdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C ∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
8
( 20)
∫ a2 + x2 d x =
1
1
x 1 arctan + C a a
作业
( 21)
( 22) ( 23)
( 24)
∫ x 2 − a 2 d x = 2a ln x + a
∫ ∫
1 a2 − x2 1 x2 + a2 1
x2 − a2
1
x−a
+C
• P.207:2(2,4,6……28)
x d x = arcsin + C a
d x = ln( x + x 2 + a 2 ) + C
2 2 d x = ln x + x − a + C
∫
9